矩阵中的基础解系解法

1、(1)0 ( ).m nnaxar anan含 个未知量的齐次线性方程组有非零解系数矩阵 的秩 的列向量组的秩有解判定定理有解判定定理4 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构.)()( )()(时时有有无无穷穷多多个个解解当当时时有有唯唯一一解解；当当且且：nbrarnbrar ).()( )2(brarabxannm增增广广矩矩阵阵的的秩秩的的秩秩系系数数矩矩阵阵有有解解方方程程组组个个未未知知量量的的非非齐齐次次线线性性含含 ? ?有无穷多解有无穷多解(1)0 ( ).m nnaxar an aan含 个未知量的齐次线性方程组只有零解系数矩阵 的秩（ 列满秩） 的列向量组的秩=一、齐次

2、线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构? ?11 112 2121 122 221 12 200(2)0n nn nmmmn na xa xa xa xa xa xa xa xa x mnmmnaaaaaaaaaa1121222111211系数矩阵系数矩阵12nxxxx未知矩阵未知矩阵(2)axo 满足齐次线性方程组满足齐次线性方程组方程组的方程组的解向量解向量12(,)tiiini 1122,iinnixxx 称称 是齐次线性方程组的一个解。是齐次线性方程组的一个解。ix iao 成立。成立。1、解的性质、解的性质212, 若若是是（ ）的的解解向向量量，12,aoao1212()aa

3、aooo 性质性质1 齐次线性方程组的两个解的和齐次线性方程组的两个解的和212 则则也也是是（ ）的的解解向向量量。仍是方程组的解仍是方程组的解.即即证证 ()a kkakoo ，ao 2 若若 是是（ ）的的解解向向量量，性质性质22也也是是（ ）的的解解向向量量。 k则则k为实常数为实常数,证证 齐次线性方程组的解的线性组合仍是方程组的解齐次线性方程组的解的线性组合仍是方程组的解2注意：是（ ）的解向量满足 ao (2)axo 2、基础解系、基础解系回顾方程组（回顾方程组（2）的求解过程及解的表示）的求解过程及解的表示(),r arn a则则 的的行行最最简简形形不妨设不妨设a的前的前r

4、个列向量线性无关个列向量线性无关,111211210010000n rrrrn rbbbbbba （2）的同解方程组）的同解方程组11111221221122221122rrn rnrrn rnrrrrrrn rnxb xb xbxxb xb xbxxb xb xbx 1122rrnn rxcxcxc 111 11221221 122221 12211221212100010001n rn rn rn rrrrrn rn rrn rrn rrn rxb cb cbcxb cb cbcxb cb cbcxcccxcccxccc 111121221222121212100010001n rn rr

5、rrrn rn rrrnxbbbxbbbxbbbcccxxx （2）的通解）的通解否则，可调换否则，可调换未知量先后顺序未知量先后顺序(2)axo 111121221222121212100010001n rn rrrrrn rn rrrnxbbbxbbbxbbbcccxxx （2）的通解）的通解1122nrnrxccc 12nr 12,nr , , ,线线性性无无关关（2）的任意一个解可由）的任意一个解可由12,nr , , ,线线性性表表示示212,nr , , ,是是组组（ ）的的全全部部解解向向量量组组的的最最大大无无关关组组！2组组（ ）的的全全部部解解向向量量的的组组记记为为s s

6、（无穷多个向量的组）20ss 的的最最大大无无关关组组称称为为组组（ ）的的基基础础解解系系2 组组（ ）的的含含n n- -r r个个解解向向量量( (r r= =r r基基础础解解系系( (a a) ) )2 组（ ）的全部解向量组的(p97秩为n-rth7)212,nr , , ,是是组组（ ）的的一一个个基基础础解解系系r（a）=n时，时，组（组（2）没有基础解系）没有基础解系2组组（ ）的的解解向向量量组组的的秩秩为为0 0自由未知量的个数自由未知量的个数 求出方程组求出方程组(2)的通解的通解, 可求出其一个基础解系可求出其一个基础解系 (rn)行变换行变换a 行最简形行最简形3、

7、求解方法、求解方法111121221222121212100010001n rn rrrrrn rn rrrnxbbbxbbbxbbbcccxxx 12 nr 要求方程组要求方程组(2)的全部解的全部解, 只需求出其一个基础解系只需求出其一个基础解系 (rn)行变换行变换a 行最简形行最简形111,1,100100000000nrrr nrbbbb 11111221221122221122rrn rnrrn rnrrrrrrn rnxb xb xbxxb xb xbxxb xb xbx ,00121 nrrxxx； 100,010 rxxx21,12111 rbbb,22212 rbbb,22

8、212 rbbb3、求解方法、求解方法求基础解系求基础解系令自由未知量取令自由未知量取n-r维维基本单位向量的分量，基本单位向量的分量，得得n-r维基本单位向量组；维基本单位向量组；得出相应的非自由未知量得出相应的非自由未知量值，构成方程组的解向量。值，构成方程组的解向量。 rxxx21,12111 rbbb,22212 rbbb )()(2)(1rnrrnrnbbb,00121 nrrxxx,010 ； 100,111121,100rnbxbxx 121222,010rnbxbxx ,112,001n rrn rn rnbxbxx 12,n r 是是方方程程组组的的基基础础解解系系通解为通解

9、为1122n rn rxccc 为任意常数为任意常数12,n rc cc 0377023520432143214321xxxxxxxxxxxx解解 121377352111a 07/47/30007/5107/20143243174757372xxxxxx 同解方程组为同解方程组为),(21rcc 得基础解系得基础解系例例1( (p.99例例12) )求方程组的求方程组的 基础解系和通解基础解系和通解12237754,771001 令令3142xcxc先求基础解系再写出通解先求基础解系再写出通解121234237754771001xxccxx 得通解为得通解为 0377023520432143

10、214321xxxxxxxxxxxx 121377352111a 07/47/30007/5107/20143243174757372xxxxxx 同解方程组为同解方程组为),(21rcc 得基础解系得基础解系通解为通解为tttccxxxx) 1, 0,74,73()0, 1,75,72(),(214321 12237754,771001 令令3410,01xx 先求基础解系再写出通解先求基础解系再写出通解 先求基础解系，再写出通解先求基础解系，再写出通解 (i) 写出系数矩阵并将其化为行最简形写出系数矩阵并将其化为行最简形 i ；(ii) 由由 i 确定出确定出 nr 个自由未知量，并写出同

11、解方程组个自由未知量，并写出同解方程组;(iii) 令这令这 nr 个自由未知量分别为基本单位向量个自由未知量分别为基本单位向量,1rnee 可得相应的可得相应的 （nr 个解）基础解系个解）基础解系;,1rn (iv) 写出通解写出通解 .2211rnrnkkk 当然，基础解系并不惟一！当然，基础解系并不惟一！43243174757372xxxxxx 比如本题同解组比如本题同解组77347,7可令 xx 1251,9对应有 1xx 得基础解系得基础解系通解为通解为123412(,)(5,9,7,7)( 1,1,7,7)tttx xxxcc ),(21rcc 125191,7777 但解集合惟

12、一但解集合惟一基础解系不惟一基础解系不惟一只要自由未知量取为只要自由未知量取为n-r维的线性无关向量组维的线性无关向量组再解再解 121377352111a) 1(211312 rrrrr 00126813411121232rrrr 0520 143 1 0000 为为自自由由变变量量取取21, xx 2142132534xxxxxxtttccxxxx) 2, 3, 1, 0 () 5, 4, 0, 1 (),(214321 ),(21rcc 12001,1xx 令令344352,xx 对对应应有有 - -12(1,0,4,5)(0,1,3,2)tt ，得基础解系得基础解系通解为通解为自由未知

13、量取法也不唯一自由未知量取法也不唯一只要确定a的秩，确定自由未知量，自由未知量确定n-r维的无关组，得基础解系，写出通解。即可行！倒行最简形倒行最简形,()()m nn labor ar bn 设设证证明明 12,labao 则则1,2,(,),lb 设设,1,2,iaoil 的列向量都是方程组的解abobaxo 例例13(13(p. 100 ) )12设 ，tttmaaaa 的行向量都是方程组 的解taboax bo 12则 tttmaaaboboa 矩阵的性质（矩阵的性质（8）分析分析只证： ( )( ),( )( )r bnr a or r anr b,1,2,tja bojm ,()(

14、)m nn labor ar bn 设设证证明明1,2,lxao 方方程程组组都都是是的的解解向向量量，1,2,( )(,)( )lr brnr a ( )( ).r ar bn例例13(13(p. 100 ) )证证1,2,(,),lb 设设 12,labao ,1,2,iaoil ()而 的解向量组的秩是，onr axa 1,2,即方程组组的部分组都是的解向量，loxa 此即此即p109.24证明证明2,.aaar ar a en 若若= =（即即 为为幂幂等等方方阵阵 ） 则则 （ ）（- - ）证证 r( (ae) ) = r( (ea) ),故只需证故只需证 2(,aaa eao =

15、 =） r( (a) )+ r( (ea) ) n,又又 e = a +( (e a),), r a +( (e a).r ar a en （ ）（- - ）p100. 例例13 r( (a) ) + r( (e a) ) , n = r( (e) )= r( (a) )+ r( (ea) ) n,且且 r( (a) )+ r( (ea) ) n ax= 与与bx= 同解，同解， 例例14(14(p. 100 ) )()().元齐次方程组证明:与同解axobxor arnb 此处利用齐次线性方程组解集合的秩的结论证明此处利用齐次线性方程组解集合的秩的结论证明证证则则s的秩的秩解集合设为解集合设

16、为s ,( )( )( )r snr anr b( )( ).r ar b该结论说明该结论说明同理同理 bx=b 与与ax=b 同解同解 bx=b 与与ax=b 等价等价 bx= 与与ax= 同解同解 bx= 与与ax= 等价等价 （ a 的行组与的行组与 b 的行组等价）的行组等价）证明秩相同的一个方法证明秩相同的一个方法bx= 与与ax= 等价必有等价必有 bx= 与与ax= 同解同解反之，反之，bx= 与与ax= 同解同解 必有必有r(a)=r(b) 及及a的行向量组可由的行向量组可由b的行向量组线性表示的行向量组线性表示必有必有bx= 与与ax= 等价等价bx= 与与ax= 同解同解

17、1112121222111nmmmnaaaaaaaaa12000nxxx 11121212221211121nnmmmnnaaaaaaaaabbb12000nxxx 与与同解同解a与b1同秩，同秩，显然前者显然前者行向量组行向量组可由后者可由后者行向量组行向量组线性表示线性表示从而两矩阵的从而两矩阵的行向量组行向量组等价等价11121,nbbb可由可由a的的行向量组行向量组线性表示线性表示a1b即有两者的即有两者的行向量组行向量组同秩同秩同理同理b的每一行都可由的每一行都可由a的的行向量组行向量组线性表示线性表示a的每一行也都可由的每一行也都可由b的的行向量组行向量组线性表示线性表示a与与b的

18、的行向量组行向量组等价等价bx= 与与ax= 等价等价 本章第一节第二次课最后一屏！本章第一节第二次课最后一屏！ m nbab行行 变变 换换m nm n若若矩矩阵阵a a与与 的的行行组组等等价价.axobxo齐次线性方程组与同解1,0p pbpap baaxobxo？同理同理 bx=b 与与ax=b 同解同解 bx=b 与与ax=b 等价等价 非齐次组同解，必有导出组同解非齐次组同解，必有导出组同解系数矩阵同秩系数矩阵同秩增广矩阵同秩增广矩阵同秩a的增广矩阵的行组可由的增广矩阵的行组可由b的增广矩阵的行组表示的增广矩阵的行组表示反之亦然反之亦然例例15(15(p. 100 ) )证明证明()( )tr a ar a 证证设a为 矩阵,mn xn为为维维 列列 向