罗玉案例数形结合思想在解决问题中的应用

1、湖北省教育学会2014年“课堂教学特色案例（教学设计）”评比中荣获一等奖数形结合思想在解决问题中的应用六年级下册数学广角教学案例武汉市育才行知小学 罗玉【教学背景】通过专门设立的“数学广角”单元，系统而有步骤地把重要的数学思想方法通过学生可以理解的形式，采用生动有趣的事例呈现出来，使学生受到数学思想方法的熏陶，是人教版课标实验教材的一个显著特色。数学广角教学的关键是对学生进行数学思想方法的渗透，目的是培养学生的思维及解决实际问题的能力。数学思想方法作为数学知识内容的精髓，是数学的一种指导思想和普遍适用的方法，是铭记在人们头脑中起永恒作用的精神和观点。它能使人们领悟数学的真谛，懂得数学价值，学会

2、数学地思考和解决问题。小学生由于年龄较小，其认知发展有自己的特点，他们主要是以具体形象思维为主，随着生活经验的不断累积，具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡。数学广角是义务教育课程标准实验教科书数学（人教版）六年级下册第71页例2的教学内容。例2介绍的是另一种类型的“抽屉问题”，即“把多于 个的物体任意分放进 个空抽屉（ 是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（ +1）个物体。”实际上，如果设定 =1，这类“抽屉问题”就变成了例1的形式。因此，这两类“抽屉问题”在本质上是一致的，例1只是例2的一个特例。在学习例2时，学生在动手操作或分解数的方法上仍有其直观、简单的特点，但由于枚举的方法毕竟受

3、到数据大小的限制，当数据很大时，用枚举法解决就相当繁琐了，这就需要学生借助直观，在教师的引导下，用“有余数除法”逐步理解并掌握更一般的方法，即假设法。本课通过直观和实际操作，使学生进一步经历“抽屉原理”的探究过程，并利用数形结合思想对一些简单的实际问题“模型化”，从而在用“抽屉原理”加以解决的过程中，促进逻辑推理能力的发展，培养分析、推理、解决问题的能力以及探索数学问题的兴趣，同时也使学生感受到数学思想方法的奇妙与作用，在数学思维的训练中，逐步形成有序地、严密地思考问题的意识。【课堂写真】数形结合就是通过数(数量关系)与形（空间形式）的相互转化、互相利用来解决数学问题的一种思想方法。数形结合，

4、可将抽象的数学语言与直观的图形相结合，是抽象思维与形象思维结合。“形”的呈现可以给学生直观感受，让学生从浅显的形象操作更好地理解教学重点，从而抽象出“数”，帮助学生建立解题模型。片段一：出示课件：研究5本书放进2个抽屉。教师：把5本书放进2个抽屉，会出现什么情况？请同学们独立思考后，把结果记录下来。如果有需要的同学可以借助老师提供的学具。（5根吸管代替5本书，2个杯子代替2个抽屉。）学生独立思考。教师：同学们都有自己的想法了吧？和小组内的同学交流交流。小组交流。教师：停！老师刚才看见很多小组交流的很热烈，非常好。通过交流你们的发现，能不能得到一个结论？学生：我们得到的结论是总有一个抽屉至少有3

5、本书。教师：你们同意他们的结论吗？学生：同意。教师：你们是用什么方法得到这个结论的？学生1：先把每个抽屉各放1本，还剩下3本，再把每个抽屉各放1本，还剩1本，这样不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。（操作小棒和吸管。）学生2：把5本书放进2个抽屉里，如果每个抽屉里先放2本，还剩1本，这本书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有3本书。（操作小棒和吸管。）教师：这两位学生的操作过程，有没有共同点？学生：都是把5本书平均分。教师：为什么要把5平均分呢？学生：把5平均分到两个抽屉，可以使每个抽屉的数是最少，这样才能很快找出至少数。教师：有用不同的方法也得到这个结论的吗？学生3：52=2.1 2

6、+1=3教师：说说这个算术的意义？你们听懂了吗？学生：听得懂。教师：谁来说说？学生：5本书平均分到每个抽屉，每个抽屉先放2本，剩余的一本放入任意一个抽屉，都能发现总有一个抽屉至少有3本书。（课件呈现。） 教师：这个算术中每个数代表什么呢？学生：5表示书的本数（板书：书的本数）、2表示抽屉数（板书：抽屉数）、2表示每个抽屉先分的本数、1是剩余的一本，每个抽屉有2本，剩余的一本放到哪个抽屉都至少有3本。评析：通过动手操作，大家对抽屉原理的脑像图就基本上形成了。由于有部分学生的抽象思维能力较强，也会自己体会出用有余数除法的算术分析结论。在学生的汇报后，教师利用课件的动态演示作了引导，及时抽象出有余数

7、的除法，并沟通了操作过程和竖式各部分之间的联系。这样，学生有了表象能力的支撑，有了真正地体验，直观、明了地理解了原本抽象的算理，初步建立了抽屉原理与有余数除法之间的计算模型。学生学得很轻松，理解得也比较透彻。在实际教学中，数形结合的思想并不是先出现直观的“形”在得到抽象的“数”，有的时候为了很好地突破教学难点，需要用“形”的直观帮助“数”的理解。片段二：课件出示：8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有（ ）只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？学生集体读题。教师：你知道什么信息？学生：8只鸽子、3个鸽舍、至少有几只鸽子飞进同一个鸽舍。教师：这道题没有书和抽屉，还能用刚才的方法解答吗？学生独立完成。学生：我认

8、为总有一个鸽舍至少放3只鸽子，83=2（只）.2（只）2+1=3（只）。教师板书算式：83=2（只）.2（只）2+1=3（只）学生：我认为总有一个鸽舍至少放4只鸽子，83=2（只）.2（只）2+2=4（只）教师板书算式：83=2（只）.2（只）2+2=4（只）教师：说说算式的意义。边说课件边演示。 教师追问：他们的结论符合题目要求吗？教师：那谁是正确的？还是都正确？学生争论。学生：最后余的2只可以飞进一个鸽笼，也可以各飞进一个鸽笼。两个答案都可以。学生：题目是总有一个鸽笼至少放几只鸽子，如果余的2只飞进一个鸽笼就不符合至少的要求。所以总有一个鸽舍至少放3只鸽笼。学生：保证至少的只数必须要平均分

9、，被分的物体平均分之后余下的物体也要平均分。所以总有一个鸽舍至少放3只鸽笼。学生：余下的物体不管几个，每个抽屉只可能增加1个。所以商+1才是每个抽屉至少放进的个数，而不是商+余数。引导学生得出结论：商+1才能保证至少数的要求。评析：抽屉原理的难点理解上对于至少数是“商+1”还是“商+余数”，例题教学并不能突破这个难点，并且有负迁移的影响。因此在教学过程中，两种结果都有孩子出现，而且达到小部分学生都是错误答案。看来这个“数”的理解需要直观的“形”来帮助。教师设计了两种动态课件的演示，从“形”上帮助学生理解“至少数”，并在学生的争论中逐步明了抽屉原理。这个过程既是解题过程，又是学生的形象思维与抽象

10、思维协同运用、互相促进、共同发展的过程。【分析研究】我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合思想方法能巧妙地实现数与形之间的互换，使得看似无法解决的问题简单化、明朗化，让人有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。数形结合思想方法在解题中的重要性决定了它在平时的教学中也应该受到重视。在数学教学中教师要有意识地沟通数、形之间的联系，帮助学生逐步树立起数形相结合的观点，提高主动运用的意识，并使这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思想观念和思维工具，从而提高学生数学修养与解题能力。 1、 先“形”后“数”在动手操作中运用数形

11、结合思想突出教学重点。本节课的第一个教学重点是用平均分的意义，并能用有余数的除法算式解答抽屉原理的问题。从例1的文字表述过渡到算式表述，学生应该感悟其中的算式意义。所以教师设计学生动手将5本书放进两个抽屉，在操作中思考会出现什么情况？（实际教学中用5根吸管代替5本书、2个杯子代替2个抽屉）。学生在直观演示中慢慢体会“平均分”的过程，通过不同学生的上台演示，理解假设法的核心。在不同方法的展示中突出教学有余数的除法算式，并将算式与操作的两种结果形态进行联系，先出现“形”再展现“数”，然后将数形有机结合，以便提高学生理解有余数除法的含义。 在例2的实际教学中，教师让学生通过自己的动手操作体会其中的发

12、现。巡视时，发现学生的操作方式是不同的，但都慢慢趋向于“平均分”。汇报操作方法时，教师特意请不同方式的学生进行了展示，并请学生比较不同操作方式，在对比中学生领悟出“平均分”。此时有了“形”的直观呈现。当然有的学生并没有进行操作，而是根据已有的知识经验进行算术的解答。教师根据学生口述展现了有余数除法的算术，此时出现了“数”的抽象理解。教师及时请学生讲清了算理，初步将数与形进行了结合。但是，教师此时如果将算式与前面的操作再次结合起来，就能更直接地沟通了数形结合的思想，也便于学生、特别是后进生进一步理解有余数除法的算式。 2、先“数”后“形”在课件对比中利用数形结合思想分化教学难点。运用课件教学，图

13、文声像并茂，能有效地化抽象为具体，变枯燥为有趣，变静态为动态，给学习者提供多种感官的综合刺激，使学生易学、会学、乐学。尤其是计算机的动画效果能够模拟许多复杂的数学动态过程，再现知识形成过程和学生的探究过程,既能激发学生的学习兴趣，又有利于学生对数学知识的理解。本节课的教学难点是在理解有余数除法算式基础上发现总有一个抽屉的至少数应该是“商+1”，而不是“商+余数”。例2的教学中由于数据的原因，余数都是1，此时不好化解难点。教师选择在教学“做一做”时，突破难点。此时，由于有前面教学重点的指导到位，学生基本会用算术的方法展现结果，此时是先呈现“数”，利用课件制作将两种不同结果的直观操作形式进行了设计

14、，并作了选择性的链接，便于教师灵活展示这是一种“形”的直观呈现。在这种数形结合的视觉对比中，让学生不是在枯燥的语言中理解总有一个抽屉的至少数应该是“商+1”，而不是“商+余数”；而是通过对动态演示的直观感受理解原来应该是“商+1”，而不是“商+余数”。 在实际课堂教学中，没想到学生在例2的归纳方法中出现了“商+1”、“商+余数”的不同之处，如果此时将两种进行讨论交流，由于数据无法体现结果，这种讨论也是无效的。但正是这种课堂生成的问题，也为本节课的教学增添了精彩。因此教师将这个疑问放在黑板上，通过“做一做”的教学，突破教学难点。在两位不同方法的同学讲解中，教师板书算式，呈现“数”。此时学生发生了争议，在交流中教师及时辅助课件动态展示展现“形”，利用数形结合让“商+余数”的同学理解如果这样就不能符合“至少数”的要求。在直观视觉中学生逐步领悟到其中的规律，纷纷不自觉地闪着“明白了”的表情。在数形结合的教学过程中，应该慎重考虑“先数后形”还是“先形后数” 两者呈现的结果是不一样的，要把握好。数形结合思想有助于学生思维更形象，数形结合思想的方法不是万能妙药，提高学生的抽象逻辑思维能力也是非常重要的，两者之间应平衡。总之，在小学数学教学中，数形结合能