线性代数复习第1-6章典型例题

1、-1-线线 性性 代代 数数-2-例例12ttta ,)2 , 1, 2(,)1 , 2 , 1(101a求求 2124242122 , 1, 2121a )(2tta tt )(ttta )()(101 t )( t 21212 , 1, 2 t100att1001002)()( -3-(1) tntnbbbaaa),(,),(2121 nnnntbabababbbaaa 22112121, ttttt )(是是一一个个数数，从从而而 nnnntbababaaaabbb 22112121, (2)tttttttta )()()()(2 ?-4-计算计算 n 阶行列式阶行列式abbbbabbb

2、babbbbad 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 d将第将第 列都加到第一列上列都加到第一列上,得得n, 3 , 2 例例7-5- abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1( 1)() 1( nbabna1rri ni,2 特征特征1：对于所有行（列）元素：对于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把相加后相等的行列式，可把第第2行至行至n行加到第一行（列），行加到第一行（列），提取公因子后在简化计算。提取公因子后在简化计算。-6-nnnayayxxa2221)0(32 naaannnkkkkaaxxayxa002221

3、 )(2132 nkkkknayxaaaa爪形行列式爪形行列式kkkcayc 1nk, 2 例例8特征特征2：第一：第一行，第一列及行，第一列及对角线元素除对角线元素除外，其余元素外，其余元素全为零的行列全为零的行列式称为爪型行式称为爪型行列式。列式。-7-1111211221222122122211211111 nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaad范德蒙德范德蒙德(vandermonde)行列式行列式 例例9na na na 从最后一行开始从最后一行开始,每行减去上一行的每行减去上一行的 倍倍.na-8-0)()()(0)()()(0)()()(0111112

4、1222121131232131112211121nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaad 按最后一列展开再提取每列的公因子按最后一列展开再提取每列的公因子-9-)1(212222212122222112211111 nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa )()()1(1211nnnnnnaaaaaad1121)()( nnnnnndaaaaaad22121111)()( nnnnnndaaaaaad223133)(daaaad 121122)(aadaad -10- nijjiaa1)(11112112

5、21222122122211211111 nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaad-11-例例5证明证明 a 和和 a+2e 都可逆都可逆 , 并求其逆并求其逆.设方阵设方阵 a 满足满足,22oeaa eeaaoeaa2)(22 )(21)(211eaaeeaa eeaaaoeaa4632222 eeaeaa4)2(3)2( eeaea4)2)(3( )3(41)2(1aeea -12-例例6设设 a , b 和和 a+b 均可逆均可逆 , 11 ba证明证明 也可逆也可逆,并求其逆并求其逆.bababaeaba)()(111 1111)( bbaabaababb

6、a1111)()( -13-例例7设设a为为3阶方阵阶方阵 , ,21 a求求 aa5)2(11121 aaaa1111225215)2( aaaaa161)2(3 a-14-设设 即有初等矩阵即有初等矩阵 使得使得earlppp,21eapppl 12问问 1a? eap1 epap11作一次行变换作一次行变换再作一次行变换再作一次行变换 eapp12 epppapppll1212继续继续 eapppl12 eppapp1212考虑对考虑对 作行变换作行变换 eae1 a1 aer-15- 100110111a 200020102bbabaaxaxb 22解矩阵方程解矩阵方程解解babaax

7、axb 22bebaebax )()(2bebaxa )(baebax1)( dc例例12-16- 200020102100110111ba 200220322100010001r 222322c 101101dtttcaxdcdax )()( 223101022010002001ttcd 225100022010002001r-17-faxt 225222)( 222522111111tfax 333613-18-,2eaan 满满足足阶阶方方阵阵设设naeraer )()(证证明明证证oeaeaea )(2nearear )()(eaeea2)()( neraerear )2()()(na

8、eraer )()(naeraer )()(例例8-19-(5) 设设 a 是是 n 阶方阵阶方阵 其中其中 都是方阵都是方阵,则称则称a为为分块对角矩阵分块对角矩阵.)21(siai， a1a2asasaaaa21 )21(00siaai， 1a11 a12 a1 sa? a?0 a?1 a-20-例例1 bxxxxxaxxxxxxx261723032432143214321 babbbaar108002210140121611172303211时，时， 有无穷多解。有无穷多解。8 a43)()( arar ， 时，时， 无解。无解。1 b)()(, 3)(, 2)(arararar 8 a

9、 ， 时，时， 有无穷多解。有无穷多解。8 a1 b42)()( arar问问 a , b 为何值时为何值时, 方程组有解方程组有解, 无解。无解。解解 ：-21-例例5：系数矩阵是方阵首选行列式法：系数矩阵是方阵首选行列式法 1232)3(122043214324324321axxxxbxxaxxxxxxxx问问 为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有无穷多解时，求通解。无穷多解时，求通解。ba,aaa123231022101111 3210231022101111 aa2)1(100010221321231221 aaaaa-22-分析分析

10、：当：当 时有唯一解，当时有唯一解，当 时，此时系数矩阵中时，此时系数矩阵中的参数已确定，方程组可能无解，也可能有无穷多解，这取决的参数已确定，方程组可能无解，也可能有无穷多解，这取决于右端项。再用初等行变换法加以判别。于右端项。再用初等行变换法加以判别。0 a0 a当当 时，方程组有唯一解。时，方程组有唯一解。1 a当当 时时1 a 1101123221022101111ba 01100000000022101111br当当 时，时， ，方程组无解。，方程组无解。1 b)()(, 3)(, 2)(arararar 当当 时，时， ，方程组有无穷多解。，方程组有无穷多解。1 b4)()( ar

11、ar-23- 0011000000002210110100100000000022101111rra通解为通解为 24132122111221kxkxkkxkkx-24-向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示 na ,:21 nn2211存在数存在数 使使n ,21即即 ,21naax 有解有解|)( arar 注意注意:符号混用符号混用另外另外, 如果解唯一如果解唯一, 则表示方法是唯一的则表示方法是唯一的. 如果如果 (按定义按定义)(转换为方程组转换为方程组)(用矩阵的秩用矩阵的秩)方程组方程组 nnxxx2211-25-02211 nnkkk 存在不全为零的数存在不全为零的数

12、 使使nkkk,21即即 ,021naax 有非零解有非零解.nar )(na ,:21向量组向量组线性相关线性相关(按定义按定义)(转化为方程组转化为方程组) 齐次齐次方程组方程组(用矩阵的秩用矩阵的秩)02211 nnxxx 把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。证明向量组线性相关性的基本方法证明向量组线性相关性的基本方法（向量方程）（向量方程）-26-(7)含有含有n个向量的个向量的n元向量组线性相关（无关）元向量组线性相关（无关）

13、p101推论推论2由它构成的由它构成的n阶矩阵的行列式阶矩阵的行列式| 0(| 0)aa tttt), 3 , 1(,)3 , 2 , 1(,)1 , 1 , 1(321 t 取何值时取何值时,下列向量组线性相关下列向量组线性相关 ? ta31321111,321 记记03)(,321 aar线线性性相相关关 512021011131321111 ttta当当 t = 5 时时, 上面向上面向量组线性相关量组线性相关.例例4-27-设设 线性无关线性无关, 问问 满足什么条件满足什么条件, 321, km,312312, mk线性相关线性相关.向量组向量组: 分析分析:这是一个向量组表示另一向

14、量组的问题这是一个向量组表示另一向量组的问题, 就是矩阵乘法的关系。就是矩阵乘法的关系。p104313232121, mk记记 1001101,321321mk 则则例例6-28-01001101,321321 xxxmk 0,321321332211 xxxxxx 设设(要讨论上面方程组何时有非零解要讨论上面方程组何时有非零解)01001101321 xxxmk3,321 r(由由 )-29-31001101r mk线性相关线性相关321, 1 mk有非零解有非零解01001101321 xxxmk有有非非零零解解0332211 xxx011001101 mkmk-30- 1001101,3

15、21321mk 由于由于 是列满秩矩阵是列满秩矩阵, 故故,321 1001101,321mkrr 321, 线性相关线性相关上面秩上面秩 3-31-例例7设向量组设向量组 能由向量组能由向量组rb ,:21sa ,:21线性表示为线性表示为rssrk ,2121 且且a组线性无关。证明组线性无关。证明b组线性无关的充要条件是组线性无关的充要条件是rkrs )r(适用于一般的线性空间适用于一般的线性空间)设设0,21212211 rrrrxxxxxx -32-例例3tt)6 , 6, 1 , 1(,)3 , 4 , 1 , 2(21 ttt)9 , 4 , 4 , 2(,)7 , 2, 1 ,

16、 1(,)9, 2 , 2, 1(543 54321, 求向量求向量一个最大无关组一个最大无关组,并把其余并把其余向量用该最大无关组表出向量用该最大无关组表出. 97963422644121121112,54321 00000310003011040101r矩阵的秩矩阵的秩=?421, 线性无关吗线性无关吗?421, 是最大无关组吗是最大无关组吗?阅读书阅读书p109例例3-33- 97963422644121121112,54321 00000310003011040101r213 97963422644121121112,54321 00000310003011040101r4215334

17、 -34-213 213 4215334 4215334 421, 是右边的最大无关组是右边的最大无关组421, 是左边的最大无关组是左边的最大无关组 97963422644121121112 0000031000301104010154321 54321 r矩阵的矩阵的行行初等变换不改变矩阵的初等变换不改变矩阵的列向量组列向量组的线性关系。的线性关系。引理引理2-35-)r()r()r(的行组的行组的列组的列组aaa : 以前我们把向量组与它们排成矩阵的符号混以前我们把向量组与它们排成矩阵的符号混用，而且把它们的秩的符号也混用正是由于三秩相等用，而且把它们的秩的符号也混用正是由于三秩相等这个

18、原因。但对于无限向量组符号就不能混用了。这个原因。但对于无限向量组符号就不能混用了。向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系三秩相等定理三秩相等定理-36- 0|)( xarxannmn证证(以前证过以前证过)0, 0),(,2121 aaan即即设设0)(22112211 akakkka)(2211ankk 例例2证明齐次方程组的解集证明齐次方程组的解集是一个向量空间是一个向量空间. 以后称为齐次方程组的以后称为齐次方程组的.-37- rxximm ,|2211设设 是一向量组是一向量组, 称称m ,21为由该向量组为由该向量组.记为记为),(),(2121mmspanl 或或 特别

19、地特别地, 由矩阵由矩阵 a 的列向量生成的向量空间称为的列向量生成的向量空间称为 a的的列空间列空间(或称或称像空间像空间或称或称值域值域).记为记为r(a),|)(r2211rxxxxyyainn ,|nrxaxyy ,21na -38- ,为为则则称称满满足足阶阶方方阵阵若若aeaaant .a 是正交矩阵是正交矩阵eaat taa 1a 的列组是规范正交组的列组是规范正交组a 的行组是规范正交组的行组是规范正交组-39-非齐次方程组解的存在性定理非齐次方程组解的存在性定理对于对于方程组方程组)0( bbxanm )()()()()1(arararar 无解无解有解有解narar )()

20、()2(有有唯唯一一解解narar )()()3(有有无无限限多多解解(4-1) 向量向量 可由可由a的列向量组的列向量组 n ,21线性表示。线性表示。-40-对于对于方程组方程组0 xanmnar )(只只有有零零解解nar )(有非零解即有无限多解有非零解即有无限多解(1)a的列向量组线性无关的列向量组线性无关(2)a的列向量组线性相关的列向量组线性相关推论推论1当方程的个数当方程的个数m小于未知量的个数小于未知量的个数n，则，则(4-3)必有非零解。必有非零解。-41-例例3)()()(ttaaraarar 证明证明设设 , 首先证明首先证明nma 0)(, 0)(, 0 xaaxaxxaatt即即则则满满足足若若00)()( axaxaxt同同解解与与0)(0 xaxanntnma)()()()(aararaar narntt 因因此此即即则则满足满足若若, 0)(, 0)( xaxaxaxattt)()()()(araraaraarttttt 利用这一结论利用这一结论证证-42-例例4求