第七节正弦定理和余弦定理

1、知识能否忆起知识能否忆起1正弦定理正弦定理2rsin a2rsin b2rsin ca b c2余弦定理余弦定理分类分类内容内容定理定理在在abc中，有中，有a2 ；b2 ；c2变形变形公式公式cos a ；cos b ；cos c解决的解决的问题问题已知三边，求各角；已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角个角b2c22bccos aa2c22accos ba2b22abcos c3三角形中常用的面积公式三角形中常用的面积公式小题能否全取小题能否全取答案：答案：ba30 b45c60 d75答案：答案：c3(教材习题改编教材习题改编)

2、在在abc中，若中，若a18，b24，a45，则此三角形有，则此三角形有()a无解无解 b两解两解c一解一解 d解的个数不确定解的个数不确定答案：答案：b答案：答案：25abc中，中，b120，ac7，ab5，则，则abc的的 面积为面积为_(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在abc中，中，ababsin asin b.(2)在在abc中，已知中，已知a、b和和a时，解的情况如下：时，解的情况如下：a为锐角为锐角a为钝角为钝角或直角或直角图形图形关系关系式式ab

3、sin absin aab解的解的个数个数一解一解两解两解一解一解一解一解利用正弦、余弦定理解三角形利用正弦、余弦定理解三角形(1)求角求角b的大小；的大小；(2)若若b3，sin c2sin a，求，求a，c的值的值在本例在本例(2)的条件下，试求角的条件下，试求角a的大小的大小1应熟练掌握正、余弦定理及其变形解三角形应熟练掌握正、余弦定理及其变形解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷意用哪一个定理更方便、简捷2已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两

4、边和一边的对角，该三角形具有不唯唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断理进行判断利用正弦、余弦定理判定三角形的形状利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例例2在在abc中中a，b，c分别为内角分别为内角a，b，c的的对边，且对边，且2asin a(2bc)sin b(2cb)sin c.(1)求求a的大小；的大小；(2)若若sin bsin c1，试判断，试判断abc的形状的形状依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：要

5、有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用从而判断出三角形的形状，此时要注意应用abc这个结论这个结论注意注意在上述两种方法的等式变形中，一般两边不在上述两种方法的等式变形中，一般两边

6、不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解(1)求角求角a的大小；的大小；与三角形面积有关的问题与三角形面积有关的问题(1)求求a；1正弦定理和余弦定理并不是孤立的解题时要正弦定理和余弦定理并不是孤立的解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用(1)求角求角a的大小；的大小；(2)若若a3，sin b2sin c，求求sabc. 正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点主要考查利用正弦定理、余弦定理解决高考的热点主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的

7、三角形的度量问题以及测量、几何计算有一些简单的三角形的度量问题以及测量、几何计算有关的实际问题正、余弦定理的考查常与同角三角函关的实际问题正、余弦定理的考查常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差倍角公式甚至三角函数的数的关系、诱导公式、和差倍角公式甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题解答题中的低档题“大题规范解答大题规范解答得全分得全分”系列之系列之(四四)解三角形的答题模板解三角形的答题模板课件演示更丰富见配套光盘课件演示更丰富见配套光盘超链接超链接教你快速规范审题教你快速规范审题1审条件，挖解题信息审条件

8、，挖解题信息2审结论，明解题方向审结论，明解题方向3建联系，找解题突破口建联系，找解题突破口4a 代代入入 1审条件，挖解题信息审条件，挖解题信息2审结论，明解题方向审结论，明解题方向3建联系，找解题突破口建联系，找解题突破口教你准确规范解题教你准确规范解题常见失分探因常见失分探因 易忽视角易忽视角bc的范围，直接由的范围，直接由sin(bc)1，求得，求得结论结论. 教你一个万能模板教你一个万能模板 解三角形问题一般可用以下几步解答：解三角形问题一般可用以下几步解答：利用正弦定理或余弦定理利用正弦定理或余弦定理实现边角互化实现边角互化(本题为边本题为边化角化角)第一步第一步三角变换、化简三角

9、变换、化简、消元，从而向、消元，从而向已知角已知角(或边或边)转化转化第二步第二步代入求值代入求值 第三步第三步 反思回顾，查看反思回顾，查看关键点，易错点关键点，易错点，如本题中公式，如本题中公式应用是否正确应用是否正确 第四步第四步 教师备选题（给有能力的学生加餐）（给有能力的学生加餐）答案：答案：1解题训练要高解题训练要高效见效见“课时跟课时跟踪检测（二十踪检测（二十四）四）”2在在abc中，中，a2bcos c，则这个三角形一定是，则这个三角形一定是 ()a等腰三角形等腰三角形b直角三角形直角三角形c等腰直角三角形等腰直角三角形 d等腰或直角三角形等腰或直角三角形解析：法一：解析：法一：(化边为角化边为角)由正弦定理知：由正弦定理知：sin a2sin bcos c，又，又a(bc)，sin asin(bc)2sin bcos c.sin bcos ccos bsin c2sin bcos c，sin bcos cc