线性代数第六章

1、线性代数答疑课 本章内容要点 重点难点解读 典型题第六章 二次型 本章内容要点二次型二次型化二次型为标准形化二次型为标准形正定二次型的判别正定二次型的判别1. 二次型的定义二次型的定义12( ,)nf x xx n 元二次型是指如下形式的二次齐次多项式211 112 1 213 1 31,1 1111222 223 2 32,1 2122233 33,1 313321,111,122222222222nnnnnnnnnnnnnnnnn nnnn na xa x xa x xax xa x xaxa x xax xax xa xax xax xaxaxxax n 元二次型的特点： 含有 n 个变

2、量； 是二次齐次多项式：只含有平方项 或交叉 相乘项 ，不含有一次项和常数项222221121),(nnnxdxdxdxxxf2ixjixx 特殊的二次型标准形（只有平方项，无交叉相乘项）2. 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示axxtf其中aa t称矩阵 a 为二次型的矩阵， 为二次型的秩arank3. 合同矩阵合同矩阵 对 和 ，若可逆矩阵 使得bacctnnannbnnc则称 a 与 b 合同barankrank若 a 与 b 合同 由二次型写其矩阵的方法：由二次型写其矩阵的方法： 先写对角线先写对角线：平方项的系数写在对角线上； 再写其他再写其他：交叉相乘项的系数除以2，一对一对 地写4

3、. 化二次型为标准形化二次型为标准形即寻找可逆的线性变换 使得标准形标准形cyx axxtfcyx )()(tcyacyacycyttyy t 对二次型的矩阵实对称矩阵 a寻找可逆矩阵 c , 使得 acct 由第五章内容知：实对称矩阵一定正交相似于对角阵 aqqt即对实对称矩阵 a，其特征值为 ，则存在正交矩阵q，使得5. 化二次型为标准形的方法化二次型为标准形的方法正交变换法正交变换法作正交变换n,21qyx axxtfqyx )()(tqyaqyaqyqyttyy t2222211nnyyy此时标准形的系数即为a的特征值6. 化二次型为标准形的规律化二次型为标准形的规律惯性定理惯性定理

4、对同一个二次型化为标准形时，用到的可逆的线性变换不唯一，得到标准形也不唯一 对同一个二次型化得的所有标准形，有以下规律： 系数非零的平方项个数 = 二次型的秩; 正项个数 p 固定，称为二次型的正惯性指数; 负项个数 r-p 固定，称为二次型的负惯性指数;7. 正定二次型正定二次型 对 ， ，称 f 为正定二次型，a 为正定矩阵；0 x0t axxf 对 ， ，称 f 为负定二次型，a 为负定矩阵；0 x0t axxf 正定矩阵是在二次型的基础上给出的，所以正定 矩阵一定是对称矩阵8. 正定二次型的充要条件正定二次型的充要条件 n元实二次型 为正定二次型axxt f f 的正惯性指数为n f

5、所有标准型的平方项系数都大于0 a 的特征值全为正（ a 实对称） a 的顺序主子式全为正（ a 实对称） （ a 实对称）0det a0 iia9. 负定二次型的充要条件负定二次型的充要条件 n元实二次型 为负定二次型axxt f f 的负惯性指数为n f 所有标准型的平方项系数都小于0 a 的特征值全为负（ a 实对称） a 的奇数阶顺序主子式全为正a 的偶数阶顺序主子式全为负 （a 实对称）0 iia 重点与难点解读 正确的写出二次型的矩阵是处理二次型的基础，正确的写出二次型的矩阵是处理二次型的基础， 它可将二次型问题转化为对称矩阵的问题；它可将二次型问题转化为对称矩阵的问题； 正定二次

6、型和正定矩阵的判别正定二次型和正定矩阵的判别 正交变换化二次型为标准形是非常重要的一类题，正交变换化二次型为标准形是非常重要的一类题， 因为用到的知识点非常多；因为用到的知识点非常多； 典型题目1. 写二次型的矩阵作业集p26，第1题例3221222122xxxxxxf01012210211a方法：方法：先写对角线先写对角线：平方项的系数写在对角线上； 再写其他再写其他：交叉相乘项的系数除以2，一对一 对地写则axxtf32312123222162252xxxxxxxxxf531321111a则axxtf2. 正交变换化二次型为标准形作业集p32，第七题例已知二次型32312123222132

7、1444),(xxxxxxxxxxxxf 将 f 写成矩阵形式； 用正交变换将 f 化为标准形，并写出所用的正交 变换解二次型的矩阵为122212221a下面求实对称矩阵 a 正交相似于对角阵 先求 a 的特征值) 3() 3(122212221)det(2ea323121232221321444),(xxxxxxxxxxxxf所以a 的特征值为3, 3321 再求 a 的特征向量 对 ，求解方程组0 xea)3(311 这一步可以通过 来验证nnnaaa2211210000001112222222223ea所以 对应的特征向量为311t2t1) 1 , 0 , 1 ()0 , 1 , 1 (

8、pp这可以代入原方程组验证由于 不正交，需要对它们正交化t3) 1 , 1 , 1(p21, pp记t11)0 , 1 , 1 ( p ttt11112221 ,21,21)0 , 1 , 1 (21) 1 , 0 , 1 (, pp这可通过正交的定义来验证 对 ，求解方程组0 xea)3(33 0001101014222422243ea所以 对应的特征向量为33321,p 现在 已经正交，下面将它们单位化记t1110 ,21,21 t22262,61,61 t33331,31,31pp 可以求它们的模，看是否为1记31623161213161213210),( q则我们所求的正交变换为qyx

9、 此正交变换将二次型化为232221333yyyf 这个标准形平方项的系数就是a的特征值，无需再 计算，但要注意顺序要和正交矩阵相对应232221333yyyf的第一列所对应的特征值的第二列所对应的特征值的第三列所对应的特征值作业集p27，第6题解解3. 含参数二次型例例1 二次型在正交变换下的标准形，其平方项的系数即 为a的特征值已知二次型313221232221321222),(xxxbxxaxxxxxxxfba,经正交变换化为标准形 ，试求参数 及所用的正交变换 23222yyf二次型的矩阵为11111bbaaa由题目中标准形 知 a 的特征值为 23222yyf2, 1, 0321由

10、得：n21deta0)(det221abnaab 0)223)(11111)det(22aaaaaea因为 a 的特征值为0,1,2，所以0,1,2为上式的根，代入求得0 ba101,010,101321ppp求解相应的方程组，可得 a 的特征值所对应的特征向量分别为2, 1, 0321它们已经两两正交，分别将它们单位化得212132212110,010,0 因为实对称，所以的不相等的特征值对应的特征向量应该两两正交记2121212132100100),( q则我们所求的正交变换为qyx 写正交变换时需要注意：因为标准形已给，即特征值 的顺序已定，要根据标准形平方项（即的特征值） 的顺序排列2

11、1y的系数所对应的特征向量2121212100100q的系数所对应的特征向量22y23y的系数所对应的特征向量作业集p37，第1.6题例例2t33351315a设二次型解解先写出二次型的矩阵32312123222132166255),(xxxxxxtxxxxxxf的秩为2，则 t 应满足由前面复习知，由前面复习知，二次型的秩二次型的秩即为即为二次型的矩阵的秩二次型的矩阵的秩方法一因为2ranka所以0deta0)62(1233351315dettta所以3t30012035133351315tta方法二因为 ，所以对 a 进行初等行变换求秩2ranka3t4. 判断二次型的正定性作业集p33，第1.6题例例解解 方法：对于具体的二次型判断正定性，都是用顺序主子式的方法（而且这是一个充要条件）f 为正定二次型，则 a 为正定矩阵，其充要条件是 a的各阶顺序主子式都大于0设二次型 ，则 f 为正定二次型的充要条件是 t 满足212322213212),(xtxtxxxxxxfttt000101a先写出二次型的矩阵ttt000101aa