线性代数课件5.1

1、第第5章章 矩阵的对角化矩阵的对角化5.1.1 特征值与特征向量的概念及计算特征值与特征向量的概念及计算 5.1.2 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质 5.1 特征值与特征向量特征值与特征向量北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组注注1) 特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念 5.1.1 特征值与特征向量的概念及计算特征值与特征向量的概念及计算 (1) 特征向量特征向量x 0, ,而言的而言的.(2) 若若x是矩阵是矩阵a的属于特征值的属于特征值l l的特征向量的特征向量, , k 0, , 则非零向量则非零向量kx也是矩阵也是矩阵a的属于特征值的属于特征值l

2、 l的特征向量的特征向量.0 x axxl l 成立成立, ,则称则称l l为矩阵为矩阵a的一个的一个特征值特征值. 定义定义5.1 设设a是是n阶阶方阵方阵, ,如果存在复数如果存在复数l l 和和n维列向量维列向量, ,使得等式使得等式 ()kxl l, ,( () )a kx kax ()kxl l 0.kx 特征值特征值l l对应的特征向量不唯一对应的特征向量不唯一. 非零向量非零向量x称为矩称为矩阵阵a的属于特征值的属于特征值l l的特征向量的特征向量, ,简称为简称为特征向量特征向量北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组1331542420ax/p>

3、1xxa . .1342a 例例5.1 若若l l5 , ,34x , , ，取，取 则则因此因此, , 是矩阵是矩阵a的的特征值特征值，2l l, , 11x 如果取如果取 , ,则则有有2l l 因此因此, ,也是矩阵也是矩阵a的的特征值特征值，3554x . .5l l 34x 是是a的属于的属于的的特征向量特征向量5l l 属于属于 的的特征向量特征向量2l l 11x 是是a的的北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组11220k xk x , ,1122()a k xk x 1122k axk ax 1122().k xk xl l1122()()kxkxl ll l

4、的属于特征值的属于特征值 的特征向量的特征向量. .121 122,k kk xk x l la是是a的属于特征值的属于特征值l l的线性无关特征向量，的线性无关特征向量，21,xx例例5.2证明：对任意不全为零证明：对任意不全为零的的都是矩阵都是矩阵证明证明 由已知由已知, ,axxl l11 , ,22.axxl l 而而所以所以1122k xk x 是属于是属于l l 的特征向量的特征向量. 北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组2) 特征方程与特征多项特征方程与特征多项式式xxaxl l00 , ,. .0 ()0 xea xl l , ,. .eal l 0 . .0e

5、al leal l( )afl l 为为a的的特征根特征根( (特征值特征值) ). .在复数域内在复数域内, , a有有n 个特征值个特征值(可能有重复可能有重复).xaxxl l0 , ,. .()0 xea xl l 为为l l为矩阵为矩阵a的的特征值特征值, ,x为为a的属于特征值的属于特征值l l的特征向量的特征向量. .是是l l 的的n 次多项式次多项式, ,通常称为矩阵通常称为矩阵a的的特征多项式特征多项式, ,记作记作或或( )afl l( )fl l, ,称为称为a的的特征方程特征方程, ,它的根称它的根称的非零解的非零解. .111212122212.nnnnnnaaaa

6、aaaaal ll ll ll ll lmmlmmmlml l北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组3) 特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法步骤：步骤：(1)(2)对每一特征值对每一特征值0l l12n r , , ,1122n rn rkkk . .12(n rk kk , , , , , ,0()0ea xl l , ,求出求出 的一个基的一个基xaxxl l0 , ,. .l l为矩阵为矩阵a的的特征值特征值, ,x为为a的属于特征值的属于特征值l l的特征向量的特征向量.特征值特征值l l0 0的的特征向量特征向量为为为任意一组不全为零的数为任意一组不全为零的数

7、). .( )0afeal ll l 求解求解 , ,得得a的全部的全部特征值特征值; ;础解系础解系0()rearl l ，其中其中计算矩阵计算矩阵a的特征多项式的特征多项式 ( ( ) )afe al ll l ; ;(3)eal l ()0 xea xl l 为为的非零解的非零解.则则a的属于的属于0 . .北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组naaaa12. 00( )feallll12naaal ll ll l 1()().naal ll l 1122,.nnaaal ll ll l a的的特征多项式特征多项式为为所以所以a的的特征值特征值为为注注 对角矩阵的特征值就

8、是对角矩阵的特征值就是主对角线上的元素主对角线上的元素. 分析分析北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组( )afl leal l 3113l ll l (2)(4),l ll l 12l l 2. 4l l ( 2)0,ea x ( () )11211ea 11,1 解解 方阵方阵a的特征多项式为的特征多项式为所以所以, 方阵方阵a有两个特征值有两个特征值解齐次线性方程解齐次线性方程组组3113a 例例5.3 求出二阶方阵求出二阶方阵的特征向量的特征向量的全部特征值和相应的全部特征值和相应当当时时,1, 2l l 11,00 得基础解系得基础解系(1)2(所以属于所以属于 的全

9、部特征向量的全部特征向量12l l 行行北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组24l l ( 4)0ea x , ,解齐次线性方程解齐次线性方程组组当当时时,( () )11411ea 1100, ,211 , ,2kkk , ,0.k 得基础解系得基础解系1kkk , ,0.k 是是所以属于所以属于24l l 的全部特征向量的全部特征向量是是行行北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组例例5.4 求出三阶方求出三阶方阵阵相应的特征向相应的特征向量量的全部特征值和的全部特征值和解解111131111eal ll ll ll l ( () )2(1)2,l ll l 2

10、(1) (3)11(3)(1)(1)l ll ll ll ll l 1231,2.l ll ll l (1)所以所以a的的特征值特征值为为a的的特征多项式特征多项式为为111131111a 北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组)2(ea 110011 ,000 011121110 111 ,1 11l l 当当 时时,得基础解系得基础解系()0,ea x 解齐次线性方程组解齐次线性方程组 11l l 1,0.kk 所以属于所以属于的全部特征向量的全部特征向量是是行行北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组1112111111ea 1 110 00 ,0 00 得基础

11、解系得基础解系23100 , 1 ,11 说明说明 223323, ,kkkk 不同时为不同时为零零. 二重根二重根2对应着对应着两个两个线性无关的特征向量线性无关的特征向量. .232llll的全部特征向量是的全部特征向量是232llll当当 时时,(2)0,ea x 解齐次线性方程组解齐次线性方程组 所以属于所以属于行行北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组解解110430102eal ll ll ll l (2)l l1143l ll l (2)l l 2(1) ,l l (1)1232,1.l ll ll l a的的特征多项式特征多项式为为所以所以a的的特征值特征值为为1

12、10430102a 例例5.5 求出三阶方求出三阶方阵阵应的特征向量应的特征向量的全部特征值和相的全部特征值和相北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组)2(100 ,1 得基础解系得基础解系12l l 当当 时时, ,(2)0,ea x 解方程组解方程组1,0.kk 12l l 的全部特征向的全部特征向量量所以属于所以属于是是行行2110242301022ea 100010 ,000北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组111041301012ea 101012 ,000212 ,1 说明说明 二重根二重根1对应着对应着一个一个线性无关的特征向量线性无关的特征向量.

13、 .231llll当当 时时,得基础解系得基础解系2,0.kk 向量是向量是231llll()0,ea x 解方程组解方程组的全部特的全部特征征所以属于所以属于行行北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组110121011a 例例5.6 求出三阶方阵求出三阶方阵相应的特征向量相应的特征向量解解1 1 0( ) 1 2 1 0 1 1afeal ll ll ll ll l 2(1) (2)(1)(1)llllllll(1)(3),l l l ll l (1)1230,1,3.lllllla的的特征多项式特征多项式为为所以所以a的的特征值特征值为为的全部特征值和的全部特征值和北京科技大

14、学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组)2(11,11 得基础解系得基础解系10l l 当当 时时,(0)0,ea x 解方程组解方程组10l l 的全部特征向的全部特征向量量所以属于所以属于1,0.kk 是是101011 ,000 110121011 行行北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组21,10 得基础解系得基础解系21l l 当当 时时,()0,ea x 解方程组解方程组21l l 的全部特征向的全部特征向量量所以属于所以属于2,0.kk 是是32 ,11 得基础解系得基础解系33l l 当当 时时,(3)0,ea x 解方程组解方程组33l l 的全部特征向量的

15、全部特征向量所以属于所以属于3,0.kk 是是北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组l laal lxkl lkakakl lkakal lkl lk)(a )(l l xxx)(a )(l l ,axxl l ()(),a axaxl l 2()a xaxl l )( xl ll l 2, xl l , .kka xxl l )()(xkaxkl l ()() .ka xkxl l 2012( ),nnxaa x a xa x 2012( ),nnaa e a a a aa a xaaaaaaeaxann)()(2210 xaxaxaxannl ll ll l 22102012

16、() .nnaaaaxllllll证明证明例例5.7是是的特征值，的特征值，是的属于的特征向量是的属于的特征向量, ,是是的特征值，的特征值，是的属于的特征向量是的属于的特征向量; ;是是的特征值，的特征值，是的属于是的属于 的特征向量的特征向量; ;是是 的特征值，的特征值， 是是 的属于的属于 的特征向量的特征向量. .则则:所以所以北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组例例20l l30023llll必有一个特征值为必有一个特征值为( )( )则则必有一个特征值为必有一个特征值为( )( )2akl l0l la的特征值，的特征值，是是l laal lxkl lkakaka

17、kal lkl lk)(a )(l l xxx)(a )(l l 例例5.7是是的特征值，的特征值，是的属于的特征向量是的属于的特征向量, ,是是的特征值，的特征值，是的属于的特征向量是的属于的特征向量; ;是是的特征值，的特征值，是的属于是的属于 的特征向量的特征向量; ;是是 的特征值，的特征值，是是 的属于的属于 的特征向的特征向量量. .则则:323aae北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组定理定理5.1 方阵方阵a的属于不同特征值的特征向量线性无关的属于不同特征值的特征向量线性无关.证明证明11122212,xaxxaxl ll ll ll l 12,l l l l

18、设设是方阵是方阵a的两个的两个不同不同的特征值，的特征值，x x12, ,是属于这两个特征值的特征向量是属于这两个特征值的特征向量, ,则有则有 11220,k xk x 设设1122()0,a k xk x 1112220.kxkxl ll l 2l l 1121()0.kxl ll l 由于由于xl ll l121,0 , ,所以所以k10, 20.k 从而从而所以所以 线性无关线性无关.12,x x- -分别分别北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组证明证明 设方阵设方阵a的的互不相同互不相同的特征值的特征值12,ml lll ll的特征向量为的特征向量为12,.mx xx

19、下证下证 线性无关线性无关12,mx xx11220mmk xk xk x 则则即即1112220,mmmk xk xk xl ll ll l ,1,2,.iiiaxximl l 12,mk kk 设有常数设有常数1122()0mma k xk xk x 21122()0mma k xk xk x 得得2221112220,mmmk xk xk xl ll ll l 12,ml lll ll12,mx xx定理定理5.2 方阵方阵a的的m个不同特征值个不同特征值 特征向量特征向量 线性无关线性无关.所对应的所对应的所对应所对应使使2a 北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组333

20、1112220,mmmk xk xk xl ll ll l 1111112220.mmmmmmk xk xk xllllll11220mmk xk xk x 1112220,mmmk xk xk xl ll ll l 1111112220mmmmmmk xk xk xl ll ll l 即即122221211112111mmmmmml ll ll ll ll ll ll ll ll l 系数行列式系数行列式1()0ijm ijllll ,ijijl ll l 因因 时时3a 1ma 北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组jjk xjm0(1,2, ) . .jkjm0(1,2,)

21、 . .0,jx 12,mx xx线性无关线性无关.所以特征向量所以特征向量故故但但即即北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组121122(1);nnnaaal ll ll l 12(2).nal lll ll 定理定理5.3 称为称为a的迹的迹, ,记记这里这里.tra( )afeal ll l 证明证明 (1)1nl l nllllllllllll12()()(). .12,nl l l ll l()ijaa 若若n阶方阵阶方阵 的全部特征值是的全部特征值是那么那么: : 112212( ).nnntr aaaal ll ll l 比较等式两边多项式比较等式两边多项式中中项的

22、系数项的系数, ,可知可知111212122212nnnnnnaaaaaaaaal ll ll l 1122()()()nnaaal ll ll l 1122nnaaa 北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组feallll( ) , ,nfeaaa(0)0( 1). 12( )()()(),anfl ll ll ll ll ll ll l (0)f nnl l l ll l12( 1) , ,nal l l ll l12. 证明证明 (2)又又所以所以121122(1);nnnaaal ll ll l 12(2).nal lll ll 定理定理5.3 称为称为a的迹的迹, ,记记

23、这里这里.tra12,nl lll ll()ijaa 若若n阶方阵阶方阵 的全部特征值是的全部特征值是那么那么: : 1122nnaaa 北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组定义定义5.2对于对于n阶方阵阶方阵a， 是是a的特征值的特征值, ,则则 0l l0().nreal l的的代数重数代数重数： 0l l的的几何重数几何重数: :0l l0()0ea xl l 的基础解系所的基础解系所含含个数个数0l l的特征向的特征向量量作为作为特征多项式特征多项式 的的根的重数根的重数. .0l l( )afl l向量向量ea x(2)0 , ,100. 210021002a afl

24、 ll l3( )(2) , ,例例5.8 方阵方阵 的特征多项式的特征多项式为为a有一个三重特征有一个三重特征值值解方程组解方程组得到基础解系得到基础解系123. 2l ll ll l 特征值特征值2的代数重数是的代数重数是3, ,几何重数是几何重数是1. . 北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组特征值特征值1的代数重数是的代数重数是1, ,几何重数是几何重数是1. . 特征值特征值2的代数重数是的代数重数是2, ,几何重数是几何重数是2. . 任一特征值的代数重数不小于它的几何重数任一特征值的代数重数不小于它的几何重数. . 例例5.4中中, ,的特征值为的特征值为1111

25、31111a 1231,2.l ll ll l 11,11 11l l 当当 时时, 解解得基础解系得基础解系:()0ea x得基础解系为得基础解系为23 100 11, .1 232llll当当 时时, 解解(2)0ea x北京科技大学北京科技大学线性代数线性代数课程组课程组定理定理5.4 任一特征值的代数重数任一特征值的代数重数不小于不小于它的几何重它的几何重数数12,.mx xx12,mmnxxx 121(,),mmnpx xxxx 0l l,mn 证明证明 设设n阶方阵阶方阵a的特征值的特征值 的几何重数的几何重数是是那么，那么， 有有m个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量, ,不妨记为不妨记为再另选再另选构成构成n阶可逆方阵阶可逆方阵0l lnm 个向量个向量121(,)mmnax axaxaxax 010201(,)mmnxxxaxaxl ll ll l 0121(,)0mmmnebx xxxxcl l 则有则有00,mebpcl l 121(,)mmnapa x xxxx ()mnm 其中其中b是是 矩阵，矩阵，阶方阵阶方阵. 由于由于p