第一章概率论的基本概念(浙三)

1、 席席 雷雷 2013.022013.02教材：教材：概率论与数理统计概率论与数理统计（浙大（浙大 第三版）第三版）课时：课时：51学时（讲课学时（讲课+习题）习题）预备知识：预备知识：高等数学高等数学、线性代数线性代数。序序 言言1. 概率论与数理统计是研究什么的？概率论与数理统计是研究什么的？ 它是研究它是研究随机现象随机现象的统计规的统计规律性的数学学科。律性的数学学科。2. 什么是随机现象？什么是随机现象？ 客观现象分为三类：客观现象分为三类：(1). 确定性现象：事前可预言的现象，即确定性现象：事前可预言的现象，即在准确地重复某些条件下，它的结果是在准确地重复某些条件下，它的结果是肯

2、定的。肯定的。 如：银行利率，上课时间等如：银行利率，上课时间等(2). 非确定性现象（非确定性现象（随机现象随机现象）：事前不可）：事前不可预言的现象，即在相同条件下重复进行实预言的现象，即在相同条件下重复进行实验，每次结果未必相同；或知道事物过去验，每次结果未必相同；或知道事物过去的状况，但未来的发展却不能预见。的状况，但未来的发展却不能预见。 如：股票涨跌、等车时间、天气状况、足球比如：股票涨跌、等车时间、天气状况、足球比赛等。赛等。(3). 模糊现象：事物本身的含义不确定的现模糊现象：事物本身的含义不确定的现象。象。 如：如：“健康健康”与与“不健康不健康”、“年青年青”与与“年年老老

3、”、“网瘾网瘾”的界定等。的界定等。3. 本课程内容及其联系：本课程内容及其联系： 1-5章为章为概率论概率论的内容。的内容。 6-8章是章是数理统计数理统计的内容。的内容。 第第9章之后为章之后为多元分析多元分析的内容。的内容。4. 常见应用常见应用l 人口普查；（普查人口普查；（普查 抽样）抽样）l 经济预测；经济预测； （统计模型）（统计模型）l 气象统计分析。（多元分析）气象统计分析。（多元分析）第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念第一节第一节 随机事件随机事件一、基本概念一、基本概念 1. 试验（广义）：试验（广义）：观察与实验。 一次试验：一次试验：对某种现象的一次观察、

4、测量或进行一次科学实验。 2. 随机试验随机试验(e)：满足下列三个条：满足下列三个条件的试验：件的试验： （1）试验在相同条件下可以重复进行；）试验在相同条件下可以重复进行； （2）试验结果可能不止一个，但能确定所）试验结果可能不止一个，但能确定所有的可能结果；有的可能结果； （3）试验前不能肯定哪个结果会发生。）试验前不能肯定哪个结果会发生。 例例1： e1：抛一枚硬币，分别用：抛一枚硬币，分别用h和和t表示出正面和表示出正面和反面；反面；e2：掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；：掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； e3：记录某网站一分钟受到的点击次数。：记录某网站一分钟受到的点击次数。注：今

5、后不特别注明，试验均指随机试验。注：今后不特别注明，试验均指随机试验。 3. 样本空间样本空间: 随机试验随机试验e的所有可能结果的所有可能结果组成的集合组成的集合。常用符号。常用符号s或或 表示。表示。 基本事件基本事件: 试验的每一个可能直接出试验的每一个可能直接出现的结果。现的结果。 （样本空间亦可表述为（样本空间亦可表述为基本事件的全体组成基本事件的全体组成的集合的集合） 4. 随机事件随机事件：随机试验的结果随机试验的结果，一般，一般定义为定义为试验试验e的样本空间的子集的样本空间的子集，简称为事件，简称为事件，常用英文大写字母常用英文大写字母a.b.c表示。表示。 5. 基本事件与

6、随机事件的关系：基本事件与随机事件的关系： 基本事件是最简单的随机事件；基本事件是最简单的随机事件；随机事件由基本事件组成。随机事件由基本事件组成。 事件的两种特殊情况：事件的两种特殊情况： （1）必然事件：每次试验一定发生的事）必然事件：每次试验一定发生的事件。也用件。也用 或或s表示。表示。（2）不可能事件：每次试验一定不发生）不可能事件：每次试验一定不发生的事件，用的事件，用 表示。表示。 例例2 写出下列事件的样本空间：写出下列事件的样本空间： e1：检验产品是否合格；：检验产品是否合格； e2：袋中有编号为：袋中有编号为1，2，3，n的球，从中的球，从中任取一个球，观察球的号码；任取

7、一个球，观察球的号码； e3：将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现的：将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现的情况。情况。 二二. 事件的关系与运算事件的关系与运算 1. 子事件：事件子事件：事件b发生导致事件发生导致事件a发生，则称发生，则称b是是a的子事件，记为的子事件，记为ba 或或 ab 2. 相等事件：若相等事件：若ba 且且 ab，则称，则称a与与b是是相等事件，记为相等事件，记为a=b 3. 事件的积（交）：事件的积（交）： a与与b同时发生的事件，同时发生的事件，记为记为ab 或或 ab 4. 事件的和（并）：事件的和（并）：a发生或发生或b发生的事件，发生的事件，记为记为ab 5.

8、 事件的差：事件的差：a发生但发生但b不发生的事件，不发生的事件， 记为记为a-b 6. 互不相容事件：互不相容事件： 若若ab= ，则称，则称a与与b是互不相容事件，也称是互不相容事件，也称a与与b互斥。互斥。 7. 对立事件：若对立事件：若ab= 且且ab= ，则称，则称a是是b的对立事件，的对立事件，b是是a的对立事件。的对立事件。 记记a的对立事件为的对立事件为 a 三三. 事件的性质事件的性质 1、交换律：、交换律：abba，abba 2、结合律、结合律：(ab)ca(bc)， (ab)ca(bc) 3、分配律、分配律：(ab)c(ac)(bc)， (ab)c(ac)(bc) 4、对

9、偶、对偶(de morgan)律律： ,abababab 四四. 从集合论观点看事件从集合论观点看事件 样本空间样本空间全集全集 事件事件子集子集 基本事件基本事件单元素集单元素集 事件的运算与集合的运算一致事件的运算与集合的运算一致 （文氏图法（文氏图法 p5-6） 例例3：一个工人生产了：一个工人生产了n个零件，以个零件，以ai表示表示他生产的第他生产的第i个零件是合格品个零件是合格品(i=1,2,n)，试用试用ai表示下列事件：表示下列事件： （1）没有一个零件是不合格品；）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品；）至少有一个零件是不合格品； （3）恰有一个零件是不合格

10、品；）恰有一个零件是不合格品； （4）至少有两个零件是合格品。）至少有两个零件是合格品。第二节第二节 频率与概率频率与概率 抛一枚硬币，考察币值面向上的抛一枚硬币，考察币值面向上的概率是多少？（概率是多少？（p8 表二）表二） 用试验来发现规律，首先要定义用试验来发现规律，首先要定义频率的概念。频率的概念。 一一. 频率频率的概念的概念 1. 定义：设事件定义：设事件a在在n次试验中发生了次试验中发生了na次，则次，则 称为称为a在在n次试验中发生的频次试验中发生的频率，记为率，记为 ann( )annfan 二二. 频率的性质频率的性质 1. 随机波动性随机波动性 2. 稳定性稳定性 当试验

11、次数当试验次数n充分大时，频率常在一个确充分大时，频率常在一个确定的数定的数p(0 p1)附近波动，这个规律称为频附近波动，这个规律称为频率的稳定性。率的稳定性。 三三. 概率概率的定义的定义 1. 描述性定义：描述性定义：a发生的可能性大小的度发生的可能性大小的度量称为量称为a发生的概率，记为发生的概率，记为p(a) 2. 统计定义：当统计定义：当n较大时，较大时， p(a)=f n(a) 3. 概率的公理化定义：概率的公理化定义： 设试验的样本空间为设试验的样本空间为 ，事件的函数，事件的函数 满足下面三个条件：满足下面三个条件：（1） 0 p(a)1（2） （3）对于两两互不相容事件，）

12、对于两两互不相容事件，a1，a2， 则称则称 为概率函数，称为概率函数，称p(a)为为a发生的发生的概率。概率。()p ( )1p 11()()iiiipap a()p 四四. 概率的性质概率的性质 1. 2. 若若a1，a2， an两两互不相容，则两两互不相容，则 特例，若特例，若a，b互不相容，则互不相容，则p(ab)=p(a)+p(b)( )0p11()()nniiiipap a 3. 设设 是是a的对立事件，则有若的对立事件，则有若 4. 设设ab，则有，则有p(a) p(b)， p(b-a)= p(b)- p(a) 5. p(a b)=p(a)+p(b)-p(ab) 推广推广 p(a

13、 b c)= p(a)+p(b) +p(c)- p(ab)- p(ac)- p(bc)+p(abc)a( )1( )p ap a 例例1：某市有甲、乙、丙三种报纸，订每：某市有甲、乙、丙三种报纸，订每种报纸的人数分别占全体市民总数的种报纸的人数分别占全体市民总数的30%，其中有其中有10%的人同时定甲、乙两种报纸，的人同时定甲、乙两种报纸，没有人同时订甲、丙或乙、丙报纸。求：没有人同时订甲、丙或乙、丙报纸。求：从该市任选一人，他至少订有一种报纸的从该市任选一人，他至少订有一种报纸的概率。概率。 例例2：在：在110这这10个自然数中任取一数，个自然数中任取一数，求求 （1）取到的数能被）取到的

14、数能被2或或3整除的概率；整除的概率； （2）取到的数既不能被）取到的数既不能被2也不能被也不能被3整除的整除的概率；概率； （3）取到的数能被）取到的数能被2 整除而不能被整除而不能被3整除整除的概率。的概率。第三节第三节 古典概型古典概型一、定义：一、定义： 若某试验若某试验e满足满足1. 有限性：样本空间只包含有限个元素，即有限性：样本空间只包含有限个元素，即 s=e1,e2,en；2. 等可能性：每个基本事件发生的可能性相等可能性：每个基本事件发生的可能性相同，即同，即p(e1)= p(e2)= p(en) 则称则称e为古典概型，也叫等可能概型。为古典概型，也叫等可能概型。 二二. 古

15、典概型中的概率计算古典概型中的概率计算 n(a): 事件事件a所含的基本事件数。所含的基本事件数。 n(s): 样本空间样本空间s中的事件总数。中的事件总数。 则则 p(a)= n(a)/ n(s) 例例1：有三个子女的家庭，设每个孩子是：有三个子女的家庭，设每个孩子是男是女的概率相等，则至少有一个男孩的男是女的概率相等，则至少有一个男孩的概率是多少？概率是多少？ 解：解：设设a表示至少有一个是男孩，表示至少有一个是男孩， m表示男孩，表示男孩，n表示女孩表示女孩 则事件总数则事件总数 n(s)=mmm,mmn,mnm,mnn,nmm,nnm,nmn,nnn 事件事件a所包含的基本事件数所包含

16、的基本事件数 n(a)=mmm,mmn,mnm,mnn,nmm,nnm,nmn 故故p(a)= n(a)/ n(s)=7/8 例例2：袋中有：袋中有a个红球，个红球，b个白球，依次从个白球，依次从袋中摸球，每次摸一个，若采用不放回和袋中摸球，每次摸一个，若采用不放回和有放回两种方式摸球，分别求第有放回两种方式摸球，分别求第k次摸出次摸出红球的概率。红球的概率。 该例题可说明抽签原理抽签原理：即抽签顺序与中签的概率无关。 例例3：某批产品有：某批产品有a件正品和件正品和b件次品，从件次品，从中用有放回和不放回抽样方式抽取中用有放回和不放回抽样方式抽取n件产件产品，问恰有品，问恰有k件次品的概率是

17、多少？件次品的概率是多少？ 12nn=m +m +m解排列组合问题的一般方法解排列组合问题的一般方法 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步骤，做第个步骤，做第1 1步有步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：12nn=m mm 例：例：n个朋友随机地围绕圆桌就座，个朋友随机地围绕圆桌就座，求其中两个人一定坐在一起（即座位求其中两个人一定坐在一起（即座位相邻）的概率。相邻）的概率。 第四节第四节 条件概率条件概率问题：问题：考虑有两个孩子的家庭，假定男女考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率一样，则两个孩子（依大到小）出生率

18、一样，则两个孩子（依大到小）的性别（男，男）、的性别（男，男）、 （男，女）、（男，女）、 （女，男）、（女，男）、 （女，女）的可能性一（女，女）的可能性一样，记样，记a=“家庭中有一男一女孩家庭中有一男一女孩”，b=“家庭中至少有一女孩家庭中至少有一女孩”。求：已知家庭中有一女孩的条件下，另一个求：已知家庭中有一女孩的条件下，另一个是男孩的概率。是男孩的概率。分析：分析：该问题等价于求已知该问题等价于求已知b发生的条件下，发生的条件下，a发生的概率。记为发生的概率。记为p(ab) 由于由于ab 故故p(ab)= p(a)=1/2 p(b)=3/4 因总事件为因总事件为3（除去两个男孩的情况

19、），（除去两个男孩的情况），基本事件为基本事件为2（一男一女），（一男一女），所以所以 p(ab)=2/3， 正好等于正好等于p(ab)/ p(b)的值。的值。 一一. 条件概率的定义条件概率的定义 若若p(b)0 ,称称p(ab)= p(ab)/ p(b)为已为已知事件知事件b发生的条件下，事件发生的条件下，事件a发生的概率。发生的概率。 注：条件概率也具备概率的所有性质。注：条件概率也具备概率的所有性质。 例例1：m件产品中包含件产品中包含n件废品，今在其中件废品，今在其中任取两件，试求：在已知取出的两件中有任取两件，试求：在已知取出的两件中有一件是废品的条件下，计算另一件也是废一件是废品

20、的条件下，计算另一件也是废品的条件概率。品的条件概率。 方法一方法一(定义定义)： 设设a=“两件产品中至少有一件废品两件产品中至少有一件废品” b=“两件产品均是废品两件产品均是废品” ba， p(ab)= p(b)= p(a)= 故故p(ba)= p(ab)/ p(a)=22/nmcc1122nm nnmcccc121nmn 方法二方法二(缩减的样本空间缩减的样本空间)： *样本空间样本空间*含有的总事件数含有的总事件数= 故故p(ba)=22mm ncc222121nmm ncnccmn 二二. 推论（乘法定理）推论（乘法定理） p(ab) = p(b)p(ab) =p(a) p(ba)

21、 推广：推广： p(abc)=p(a) p(ba) p(cab) 例例2：盒中有：盒中有3个红球，个红球，2个白球，每次从个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球盒中连续取球4次，试求第次，试求第1，2次取得白次取得白球，第球，第3，4次取得红球的概率。次取得红球的概率。 解：设第解：设第ai为第为第i次取球时取到白球，则本题即求次取球时取到白球，则本题即求 的值。的值。故故1234()p a a a a12341213124123()() ()()()p a a

22、a ap a p a a p a a ap a a a a2 3 3 435 6 7 870 三三. 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式1. 划分划分的定义：设的定义：设 为试验为试验e的样本空间，的样本空间，a1,a2,an为为e的一组事件，若它们满足下的一组事件，若它们满足下面两个条件：面两个条件：(1)(2) 则称则称a1,a2,an 为样本空间的一个为样本空间的一个划分划分。12a a()ij,1,2,ni j 1niia 例例3：市场上有甲、乙、丙三家工厂生产：市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为有

23、率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的，且三家工厂的次品率分别为次品率分别为2%、1%、3%，试求市场，试求市场上该品牌产品的次品率。上该品牌产品的次品率。 解：设解：设b：买到一件次品：买到一件次品 a1：买到一件甲厂的产品：买到一件甲厂的产品 a2：买到一件乙厂的产品：买到一件乙厂的产品 a3：买到一件丙厂的产品：买到一件丙厂的产品 故故123112233( )()()()() ()() ()() ()1110.020.010.030.0225442p bp bap bap bap b a p ap b a p ap b a p a2. 全概率公式全概率公式：设：设 a1,a2,an

24、 为样本空间为样本空间s的一个划分。且的一个划分。且p(ai)0，则对任何事件，则对任何事件bs，有，有 1( )() ()niiip bp a p b a 例例4：有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白：有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，一个红球，乙袋中有两个红球，一个球，一个红球，乙袋中有两个红球，一个白球。这六个球的质感相同。白球。这六个球的质感相同。 （1） 今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率。概率。 （2）若已知取到一个红球，则从甲袋放入）若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概

25、率是多少。乙袋的是白球的概率是多少。解：（解：（1）设）设b：从乙袋任取一球是红球：从乙袋任取一球是红球 a1：从甲袋放入乙袋的是白球：从甲袋放入乙袋的是白球 a2：从甲袋放入乙袋的是红球：从甲袋放入乙袋的是红球 因因p(a1)=2/3 p(a2)=1/3 所以所以a1 , a2是一划分是一划分则则1122( )() ()() ()2 11 373 23 412p bp a p b ap a p b a（2） 由上一问中假设，即求由上一问中假设，即求p(a1b)的值的值 1111() ()()()( )( )1 242 37712p b a p ap abp a bp bp b3. 贝叶斯公式

26、贝叶斯公式：设事件：设事件 a1,a2,an 为样本空为样本空间间s的一个划分。且的一个划分。且p(ai)0，b为为s内的任内的任一事件，一事件， p(b)0 ，则有，则有1() ()()() ()jjjniiip a p b ap a bp a p b a 例例5：商店论箱出售玻璃杯，每箱：商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，只，其中每箱含其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，（，某顾客选中一箱，（1）若选）若选中的一箱中有一个次品，从中任选中的一箱中有一个次品，从中任选4只检只检查，结果都是好的，问这一概率是多少？查，结果都是好的，

27、问这一概率是多少？（2）若任选一箱，检查了）若任选一箱，检查了4只都是合格的，只都是合格的，便买下了这一箱，问这一箱含有一个次品便买下了这一箱，问这一箱含有一个次品的概率是多少？的概率是多少？解：解：（1）设）设a：从一箱中任取：从一箱中任取4只检查只检查,结果都是好结果都是好的的. b0 , b1 , b2：分别表示每箱含：分别表示每箱含0，1，2个次品个次品 已知已知 p(b0)=0.8, p(b1)=0.1, p(b2)=0.1， 则则 41914204(|)5cp a bc（2） 由已知，由已知，由贝叶斯公式由贝叶斯公式0(|)1p a b41914204(|)5cp a bc418242012(|)19cp a bc11120() (|)(|)() (|)40.150.08484120.8 1 0.10.1519iiip b p a bp bap b p a b 第五节第五节 事件的独立性事件的独立性一、两个事件独立性的定义：一、两个事件独立性的定义： 若若a、b满足满足p(ab) = p(a) p(b)，则称，则称a与与b互相独立。互相独立。 注：必然事件或不可能事件与任何事件注：必然事件或不可能事件与任何事件独立。独立。 定理定理1 a与与b独立的充要条件是独立的充要条件是 p(ab) p(a)或或 p(ba