小升初几何真题和专项训练

1、仅供个人参考时间：15分钟 满分5分北京名校小升初真题（几何篇）姓名测试成绩1（ 06年清华附中考题）BE=- AB,已知四边形 EDCA的面积是35,3如图，在三角形 ABC中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且 求三角形ABC的面积.不得用于商业用途（如图）如果小正方形面积是 1平方米，大正方米.2 （ 06年西城实验考题）四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方 形面积是5平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是3（ 05年101中学考题）一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪一看到小灵通，王师傅热情地招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪

2、我把它分成东、西、南、北四部分（如图）修剪西部、东部、南部各需10分钟，16分钟，20分钟.请你想一想修剪北部需要多少分钟？4（05年三帆中学考题）右图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE的面积是平方厘米.5（06年北大附中考题）三角形ABC中，C是直角，已知 AC= 2, CD= 2,CB=3,AM=BM那么三角形 AMN（阴影部分）的面积为多少?【附答案】ABED 1x111根据定理： =-，所以四边形 ACDE的面积就是 6-1=5份，这样三角形 35- 5X 6=42。ABC 2汇3 62 小正方形面积是1平方米，大正方形面积是 5平方米，所以外边

3、四个面积和是5-仁4,所以每个三角形的面积是1,这个图形是“玄形”，所以长直角边和短直角边差就是中间正方形的边长，所以求出 短边长就是1。如下所示:将北部分成两个三角形,并标上字母00 + x) :20 = y:16、(16 + y):x = 20:10即有丿5y = 40 + 4x2x = 16 + y解得丿x = 20y = 24所以修剪北部草坪需要 20+24 = 44分钟.评注：在本题中使用到了比例关系，即：SA ABG SA AGC= SA AGE SA GEC= BE: EC; SA BGA SA BGC= SA AGF SA GFC= AF: FC; SA AGC SA BCG=

4、 SA ADG SA DGB= AD DB; 有时把这种比例关系称之为燕尾定理.111 14 四边形 AFDC的面积=三角形 AFD+三角形 ADC=( X FDX AF) + ( X ACX CD) = ( FE+ED X AF+_ 2 2 2 211 11(AB+BC X CD= ( X FEX AF+_ X EDX AF) + ( X ABX CD X BCX CD。2 2 2 21111所以阴影面积=四边形AFDC三角形 AFE-三角形 BCD(- X FEX AF+ X EDX AF) +( X ABX CD2222111111X BCX CD -一 X FEX AF- X BCX

5、CD X EDX AF+- X ABX CD X 8 X 7+ X 3X 12=28+18=46。222222因为缺少尾巴，所以连接ABC的面积为3 X 2 - 2=3这样我们可以根据燕尾定理很容易发现ACN : .ANB=CD同理. CBN : ACN =BM设.AMN面积为1份，则.MNB的面积也是1份，所以.ANB得面积就是 1+1=2 份，而 ACN : . ANB =CD BD=2 1,所以 ACN 得面积就是 4 份；.CBN : . ACN =BMBD=2AM=11 ；1；13AM=1 1,所以 CBN也是4份，这样 ABC的面积总共分成 4+4+1 +仁10份，所以阴影面积为

6、3 X丄=卫。10 10第二讲小升初专项训练几何篇一、小升初考试热点及命题方向几何问题是小升初考试的重要内容，分值一般在12-14分（包含1道大题和2道左右的小题）。尤其重要的就是平面图形中的面积计算，几何从内容方面，可以简单的分为直线形面积（三角形四边形为主），圆 的面积以及二者的综合。其中直线形面积近年来考的比较多，值得我们重点学习。从解题方法上来看，有割补法，代数法等，有的题目还会用到有关包含与排除的知识。二、2007年考点预测2007年的小升初考试将继续以大题形式考查几何，命题的热点在于等积变换和燕尾定理在求解三角形面积里的运用.同时还需要重点关注在长方形和平行四边形框架内运用边长比等

7、于相似比的定理，请老师重点补充沙漏原理的讲解。三、典型例题解析1等积变换在三角形中的运用首先我们来讨论一下和三角形面积有关的问题，大家都知道，三角形的面积=1/2 X底X高因此我们有【结论1】等底的三角形面积之比等于对应高的比【结论2】等高的三角形面积之比等于对应底的比这2个结论看起来很显然， 可大家小看它们， 在许多和三角形面积比有关的题目中它们都能发挥巨大的作 用，因为它们把三角形的面积比转化为了线段的比，我们来看下面的例题。【例1】（）如图，四边形 ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形 ADO的面积=5,三角形DOC勺面积 =4,三角形 AOB勺面积=15,求三角形BOC的面积是多少

8、？仅供个人参考【解】：SA AD0=5,笙D0C=4艮据结论 2, ADOW DOC同高所以面积比等于底的比，即AO/OC=5:4同理S AOB/S BOC=AO/OC=5:4因为 S AOB=15所以 SA BOC=12【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2,先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁”，请同学们体会一下。【拓展】SAAOD SA BOC=S COD SA AOB也适用于任意四边形。【练习】如下图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线

9、 AC BD分成四个部分， AOB面积为1平方千米， BOC面积为2平方千米， COD勺面积为3平方千米，公园陆地的面积是 6.92平方千米，求人工 湖的面积是多少平方千米？不得用于商业用途【例2】（）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之 比为2:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为 1，那么重叠部分的面积为多少？【解】：粗线面积：黄面积 =2: 3,绿色面积是折叠后的重叠部分，减少的部分就是因为重叠才变少的, 这样可以设总共 3份，后来粗线变2份，减少的绿色部分为 1份，所以阴影部分为 2-1=1份，【总结】份数在小升初中运用的相当广,2 燕尾定理

10、在三角形中的运用下面我们再介绍一个非常有用的结论【燕尾定理】：在三角形 ABC中，AD,BE,CF相交于同一点 O,那么SA ABO:S ACO=BD:DC【证明】：根据结论 2 BD/DC=S ABD/SAADC=S BOD/SACOD因此 BD/DC=( S ABD- S BOD)/( S ADC- SA COD)=SA ABO/SA ACO证毕上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和厶ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理。该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用。【例 3】（）在厶 ABC中 BD =2:1, E =1:3，求 =?DCECOE【分析】

11、题目求的是边的比值，我们可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比 来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以方法二是我们要首选的方法。本题的图形一看就知道是燕尾定理的基本图，但2个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步我们要连接OC【解:连接OC因为 AE:EC=1:3 （条件），所以 SA AOE/SA COE=1:3 若设 SA AOE=x，贝U SA COE=3x 所以 SA AOC=4x, 根据燕尾定理 S A AOB/ S A AOC=BD/DC=2:1 所以 SA AOB=8x 所以 BO/OE=S AOB/SA AOE=8x/x=8:1。仅供个人参考【例4】

12、（）三角形 ABC中，C是直角，已知 AC= 2, CD= 2,CB=3,AM=BM那么三角形 AMN（阴影部分）的面积为多少？【解】：因为缺少尾巴，所以连接BN如下,ABC的面积为3 X 2 - 2=3这样我们可以根据燕尾定理很容易发现AACN : AANB=CD BD=2 1;同理. CBN : ACN =BM AM=1 1;设.AMN面积为1份，则.MNB的面积也是1份，所以.ANB得面积 就是 1+1=2 份，而 ACN : ：ANB=CD BD=2 1,所以 ACN 得面积就是 4 份；UCBN : . ACN =BM13AM=1 1,所以 CBN也是4份，这样 ABC的面积总共分成

13、4+4+1 +仁10份，所以阴影面积为3 X丄=卫。10 10定理需牢记做题有信心!3 平行线定理在三角形中的运用（热点）下面我们再来看一个重要定理：平行线的相关定理：（即利用求面积来间接求出线段的比例关系）同学们应该对下图所示的图形非常熟悉了相交线段AD和AE被平行线段 BC和DE所截，得到的三角形ABC和 ADE形状完全相似.所谓“形状完全相似”的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例.体现在右图中， 就是AB: AD=BC DE=AC CE=E角形ABC的高：三角形 ADE的高.这种关系称为“相似”， 同学们上了中学将会深入学习.相似三角形对应边的比例关系在解几何问题的时候非常有用

14、，要多加练习.在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化（如右下图），往往不易看出相似关系.如（右下图）AB平行于DE,有比例式 AB: DE=AC CE=BC CD三角形ABC与三E角形DEC也是相似三角形.下图形状要牢记并且要熟练掌握比例式.13【例5】（）如图所示，BD, CF将长方形ABCD分成4块， DEF的面积是4 cm2 , CED的面积是6cm2。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？【解】：方法一：连接 BF，这样我们根据“燕尾定理”在梯形中的运用知道三角形BEF的面积和三角形 EDC的面积相等也是6，再根据例1中的结论知道三角形BCE

15、的面积为6X 6十4=9,所以长方形的面积为：15X 2=30。四边形面积为 30 - 4- 6-9 = 11。方法二：EF/EC= 4/6 = 2/3=ED/EB，进而有三角形 CBE的面积为：6X 3/2 = 9。则三角形 CBD面积为15, 长方形面积为15X 2 = 30。四边形面积为 30-4 6-9= 11。【例6】（）如右图，单位正方形ABCD , M为AD边上的中点，求图中的阴影部分面积。【解所以AM/BC=GM/GBi ,所以 GB/BM=2，而三角形2 3_ _ . 1 1 1SA BAG- SA ABM - X X 1 * 2=，所以阴影面积为X 2=6631】：两块阴影

16、部分的面积相等,ABG和三角形 AMB同高,3【解2】：四边形AMCB勺面积为（0.5+1 ）X 1* 2= 3，根据燕尾定理在梯形中的运用,41BAG : CMG =AM2 : BC2 : AMX BC: AMX BC= 2 : 1 223面积分成1+4+2+2=9份，阴影面积占4份，所以面积为 -X4【解3】：如右图，连结 DG有：SA ACM= BAM（同底等高）又 SA BAG=SADG（A BAG与 ADG关于 AC对称）又SA AGM=AGDM（等底同高）SAAGM =丄 SAAGD = -SAABG2 22sAagb=-sAabm.3知道.AMG : /： BCG :因此,因此,

17、丄 AM* AB 二丄2 2 所以卜 所乩=2x s*曲1 1:=1: 4: 2 22+2 =1422 32：2;所以四边形 AMCB勺仅供个人参考【例7】（）如图，正方形 ABCD勺面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形 BGHF勺面积是平方厘米。ADBFC【解】：解：延长EB到K,使3,由于三角形 DEK=9Q所以 以BH HD=1: 2，所以三角形BK=CD 三角形EGK与三角形 DGC成比例，DC EK=2 3，所以DG GK=2EGK=9O 3/5=54，所以四边形 EBFG=EGK-BKF=24同理，EB: DC=1 : 2, 所EBH=1/3EBD=10所以

18、，四边形 BGHF的面积是 24-10=144 利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系【例8】（）如图，正方形 ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形 DEFG的长DG为5厘米，求它的 宽DE等于多少厘米？【解】：连结 AG自A作AH垂直于DG于耳在厶ADG中，AD=4, DC=4 （AD上的高） SAAGD=*4- 2=8,又 DG=5 SA AGD=AHDG 2, AH=8 2-5=3.2 （厘米）， DE=3.2 （厘米）。【例9】（）如下图所示，四边形 ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。【证明】：这道题两个平行四边形的关系不太明了，似乎无从下手。我们添加一条辅助

19、线，即连结CE （见图），这时通过三角形 DCE，就把两个平行四边形联系起来了。在平行四边形ABCD中，三角形 DCE的底是DC ,高与平行四边形 ABCD边DC上的高相等，所以平行四边形 ABCD的面积是三角形 DCE的两 倍；同理，在平行四边形 DEFG中，三角形DCE的底是DE，高与平行四边形 DEFG边DE上的高相等， 所以平行四边形 DEFG的面积也是三角形 DCE的两倍。两个平行四边形的面积都是三角形DCE的两倍，所以它们的面积相等。5差不变原理的运用【例10】（）左下图所示的ABCD的边BC长10cm,直角三角形 BCE的直角边EC长8cm,已知两块阴影部分的面积和比厶EFG的面

20、积大10cm2，求CF的长。D【解】：两块阴影部分的面积和比 EFG的面积大10,两部分分别加上四边形BCFG这样四边形ABCD的面积比三角形BEC的面积大10cm2SA BCE=1/2X 10X 8=40所以四边形 ABCD勺面积是50。 底是10,所以高是5cm【例11】（）如图， ABCG是 4 X 7的长方形，DEFG是 2X 10的长方形，那么，三角形 BCM的面积与 三角形DCM的面积之差是多少？F仅供个人参考方法一:思 路:公共部分的运用，这是小升初的常用方法，熟练找出公共部分是解题的关键。【解】：GC=7, GD=10推出 HE=3;BC=4, DE=2阴影BCM面积-阴影MD

21、E面积=（BCM面积+空白面积）-（MDE面积+空白面积）=三角形BHE面积-长方形CDEH面积=3X 6 - 2-3 X 2=3总 结:对于公共部分要大胆的进行处理，这样可以把原来无关的面积联系起来，达到解题的目的拓 展:如图，已知圆的直径为 20,S1-S2=12,求BD的长度？方法二:思 路:画阴影的两个三角形都是直角三角形，而BC和DE均为已知的，所以关键问题在于求 CM和DM这两条线段之和 CD的长是易求的，所以只要知道它们的长度比就可以了，这恰好可以利用平行 线BC与DE截成的比例线段求得.解：GC=7 , GD=10 知道 CD=3BC=4, DE=2 知道 BC:DE=CM:D

22、M 所以 CM=2 MD=1阴影面积差为：4 X 2十2-1 X 2十2=3方法三:连接BD.BCM S . DEM =S BCD S .Bde =(3 X 42X 3)十2=3.6 其他常考题型【例12】（）下图中，五角星的五个顶角的度数和是多少?仅供个人参考【解】：连接 AB（见右图）。因为/ A0B2 COD所以/ OAB+Z OBA= OCE+/ OEC由此推知，五角星五个 顶角之和等于三角形 ABD的三个内角之和，是 180度。18厘米，求图中阴影部分【例13】用同样大小的 22个小纸片摆成下图所示的图形，已知小纸片的长是 的面积和。73j1【解】：由图形的等量关系：5乂长=3X长+

23、 3X宽，则宽=18X 2/3 = 12。再由弦图的特点，阴影中正方形的边长为18- 12= 6。可见阴影部分面积为 3X 6X 6 = 108。小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1） 等积变换在三角形中的运用。参见例1 , 22） 燕尾定理在三角形中的运用。参见例3, 43） 平行线定理在三角形中的运用。参见例5, 6, 74） 利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系。参见例8, 95）差不变原理的运用。参见例 10, 116） 其他常考题型。参见例12, 13【课外知识】春秋战国时代，一位父亲和他的儿子出征打战。父亲已做了将军，儿子还只是马前卒。又一阵号角吹响，战鼓雷鸣了，父亲庄严地托起

24、一个箭囊，其中插着一只箭。父亲郑重对儿子说：这是家袭宝箭，配带身边，力量无穷，但千万不可抽出来。”那是一个极其精美的箭囊，厚牛皮打制，镶着幽幽泛光的铜边儿，再看露出的箭尾。一眼便能认定用 上等的孔雀羽毛制作。儿子喜上眉梢，贪婪地推想箭杆、箭头的模样，耳旁仿佛嗖嗖地箭声掠过，敌方的 主帅应声折马而毙。果然，配带宝箭的儿子英勇非凡， 所向披靡。当鸣金收兵的号角吹响时，儿子再也禁不住得胜的豪气，完全背弃了父亲的叮嘱，强烈的欲望驱赶着他呼一声就拔出宝箭，试图看个究竟。骤然间他惊呆了。一只 断箭，箭囊里装着一只折断的箭。我一直刳着只断箭打仗呢！儿子吓出了一身冷汗，仿佛顷刻间失去支柱 的房子，轰然意志坍塌

25、了。结果不言自明，儿子惨死于乱军之中。拂开蒙蒙的硝烟，父亲拣起那柄断箭，沉重地啐一口道：不相信自己的意志，永远也做不成将军。把胜败寄托在一只宝箭上，多么愚蠢，而当一个人把生命的核心与把柄交给别人，又多么危险！比如把希 望寄托在儿女身上；把幸福寄托在丈夫身上；把生活保障寄托在单位身上温馨提示：自己才是一只箭，若要它坚韧，若要它锋利，若要它百步穿杨，百发百中，磨砺它，拯救 它的都只能是自己。仅供个人参考作业题（注：作业题-例题类型对照表，供参考）题1, 2 类型1 ;题3, 4类型5;题5, 6 类型6;1、（）如右图所示，已知三角形 延长CA至F，使AF=3AC求三角形ABC面积为1，延长AB至

26、D,使BD=AB延长DEF的面积。BC至 E,使 CE=2BCC解：作辅助线FB,贝USA BAF= 3 X SA ABC= 1/2 X SADAF;则有 SA ABC=1/6 X SA DAF;作辅助线AE,贝USA ACE= 2 X SA ABC= 1/4 X SA CEF;贝U SA ABC= 1/8 X SA CEF;作辅助线 CD 则有：SA CBD= SA ABC= 1/3 X SA CEF;综上，三角形 DEF由这四个三角形构成，那么由已求出的比例关系可知， 三角形 DEF的面积为1+6+8+3= 18。15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少?15aISc db 30解

27、：设定阴影部分面积为 X,则不难由长方形面积公式看出比例关系为:X/30=15/18，贝U X=25。3、正方形 ABFD的面积为100平方厘米，直角三角形 ABC的面积，比直角三角形（CDE的面积大30平方厘米，求 DE的长是多少？解：公共部分的运用，三角形ABC面积-三角形CDE勺面积=30,两部分都加上公共部分（四边形BCDF,正方形 ABFD三角形BFE=3Q所以三角形 BFE的面积为70,所以FE的长为70 X 2十10=14，所以DE=44、（）如下图，已知 D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且 ADG的面积比 EFG 的面积大6平方厘米。ABC的面积是多少平方厘米？2、（）右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为仅供个人参考解：因为 S ADG - S EFG 6,所以 S.ADE = S.DEF 6。根据已知条件：S ade = S -AEC = 2S ecf = 2S pEF。所以三角形 DEF的面积为6。因此三角形 ABC的面积为48平方厘米。5、（）长方形 ABCD的