一般二次曲线的化简与分类

1、4.2 一般二次曲线的化简与分类一般二次曲线的化简与分类（simplification and classification of general quadratic curves） 在中学平面解析几何中,曾经学习了椭圆(圆)、双曲线和抛物线等圆锥曲线及其标准方程,它们都是二次曲线。本章讨论更一般的二次曲线。 在平面直角坐标系下,关于x和y的二元二次方程所表示的曲线，称为一般二次曲线（a11，a12和a22不全为零）。4.2.1 一些常用记号一些常用记号（notations）为了以后讨论问题和书写的方便,引进下面的一些记号： 根据这些记号的含义,可验证下面的恒等式成立：f(x,y)= xf1(

2、x,y) + yf2(x,y) + f3(x,y)称f (x,y) 的系数所组成的矩阵为二次曲线(4.2-1)的系数矩阵,或称f (x,y) 的矩阵 再引入几个记号：332313232212131211aaaaaaaaaa例例1 试求二次曲线 的系数矩阵a,f1(x,y), f2(x,y) , f3(x,y), i1 , i2, i3, 和k1.解解 由以上记号知,0112612862yxyxy4.2.2 直角坐标变换下，二次曲线方程的系数变直角坐标变换下，二次曲线方程的系数变换规律换规律（variation low of coefficients equation of quadratic

3、curves under descartes coordinates） 为了选择适当的坐标变换来化简二次曲线的方程，需要了解在坐标变换下方程的系数是怎样变化的。 由上节讨论，知道一般的坐标变换可以分解为移轴和转轴两部分。因此，将分别考察移轴变换和转轴变换对方程系数的影响。1) 平移变换下二次曲线方程的系数的变化规律平移变换下二次曲线方程的系数的变化规律将平移公式：x = x+x0 ，y = y+y0 代入曲线方程，化简整理，设曲线方程变为f(x,y)=a11x2+2a12xy +a22y2+2a13x+2a23y+a33=0比较方程系数，得平移变换下曲线方程系数的变化规律： (1) 二次项系数

4、不变； (2) 一次项系数变为f1(x0,y0), f2(x0,y0)； (3) 常数项变为f(x0,y0).若取新坐标原点o (x0,y0)满足方程v则在新坐标系下,方程中将无一次项,曲线对称于原点,点(x0,y0)就是曲线的对称中心。如果对称中心是唯一的,称为曲线的中心。此时方程称为中心方程。v注：当i20时,上一方程组就有唯一解,这时曲线称为中心型二次曲线；当i2=0时,方程组就没有解或有无穷多解,这时曲线称为非中心型二次曲线或无心型二次曲线。例例2 求二次曲线 的中心.解解 (x0,y0)是对称中心必须且只需满足中心方程,即解得(x0,y0)=(0,3). 所以(0,3)是曲线的中心

5、.223630 xxyyxy100002000013(,)0,221,30.2f xyxyfxyxy 2) 旋转变换下二次曲线方程的系数的变化规律旋转变换下二次曲线方程的系数的变化规律 将旋转公式： x = xcos ysin , y = xsin + ycos 代入曲线方程，化简整理，曲线方程变为f(x,y)=a11x2+2a12xy +a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 比较方程系数，得旋转变换下曲线方程系数的变化规律: (1) 二次项系数一般可变,但新系下方程的二次项系数仅与旧系下方程的二次项系数及旋转角 有关,而与一次项系数及常数项无关； (2) 一次项系数一般也可变，但新

6、系下方程的一次项系数仅与旧系下方程的一次项系数及旋转角 有关，而与二次项系数及常数项无关； (3) 常数项不变。根据公式的表达式，若选取角，使则方程中没有交叉乘积项。 注：若要通过旋转变换消去交叉项，只须旋转角 满足： a12=(a22-a11)cos sin +a12(cos2 -sin2)=0,即 (a22-a11)sin2 + 2a12cos2 =0从而得旋转角 满足 因为余切的值可以是任意实数，所以一定存在 满足上式。这就是说，一定可以通过转角 消去交叉项。 上式中的 不是唯一的，为确定起见，一般规定0 需要说明的是,我们为什么不用 ? 这是因为当 a11=a22 时, 该式没有意义,

7、而 完全可以决定旋转角= /4.当a12=0时,虽然 也无意义,但这时方程中已经不含交叉项,就用不到转轴变换了. 1211222tan2aaa112212cot 202aaa112212cot 22aaa112212cot 22aaa例例 利用转轴变换,消去二次曲线x2+2xy+y2-4x+y-1=0中的交叉项.解解 设旋转角为,由决定方程得 可取 ,故转轴公式为： 代入原方程化简整理得转轴后的新方程为4.2.3 二次曲线的判别二次曲线的判别（quadratic curve discriminant） 从前面的讨论可知，二次曲线化简的关键是如何消去方程中的交叉项xy和一次项。化简一般二次曲线方

8、程，首先要判别二次曲线的类型，然后根据曲线的类型，采用不同的坐标变换。 二次曲线的类型可以用i2来判别：当i20时,二次曲线是中心型曲线；当i2=0时,二次曲线是非中心型曲线.又可以细分为以下3种类型： (1) 椭圆型：i20， (2) 双曲型：i20， (3) 抛物型：i2=0。注注：二次曲线类型判别的严格证明，参看后文的利用不变量化简曲线方程部分。4.2.4 二次曲线的化简与作图二次曲线的化简与作图（simplification and graphing of quadratic curves） 根据坐标变换下方程系数的变化规律，对于中心型二次曲线，可以先求出曲线的中心，通过移轴变换消去一

9、次项，然后再作转轴变换时，就不用整理一次项了。而对于非中心型二次曲线，由于曲线没有中心，只能先作转轴变换。这就是说，要根据曲线的类型，采用不同的化简方法。 1)中心型二次曲线中心型二次曲线(i20)的化简与作图的化简与作图：对于中心型二次曲线，采用“先移后转”，较为简便。 其具体步骤是： 1、解中心方程组，求出曲线的中心(x0,y0) ； 2、作平移变换，消去一次项； 3、利用旋转角公式，求出cos 、sin ； 4、作旋转变换，消去交叉项，得到曲线的标准方程； 5、将旋转变换代入平移变换，得到直角坐标变换公式； 6、作出新旧坐标系o-xy、o-xy和o-xy ，在新坐标系下按照标准方程作出曲

10、线的图形。例例 化简二次曲线方程5x2+4xy+2y2-24x-12y+18=0，并画出它的图形。解解 因 i252-2260，所以曲线为中心型二次曲线。“先移后转”。 1、解中心方程组得到曲线中心（2,1）2、做移轴变换 原方程变为5x2+4xy + 2y2-12=0 这里实际上只需计算f (2,1)12，因为移轴时二次项系数不变,一次项系数变为0。3、再做转轴变换消去xy项，令得 tan =1/2 或 tan =-2取 tan =1/2，可得 cos =2/51/2，sin = 1/51/24、转轴变换公式 ：代入,可将方程化简为标准方程是这是一个椭圆,如图所示. 作图要点：要比较准确地画

11、出新旧坐标系和曲线的图形,必须掌握好比例、新旧原点的位置以及坐标轴的旋转角.本题中坐标系o-xy平移到(2,1)成o-xy,再把坐标系o-xy旋转角得 o-xy.在新坐标系o-xy 中根据椭圆的标准方程作图.xyxyxyooo .5251,5152yxyyxx12622 yx112222 yx注：注：本题转轴时若取tan-2，则可得cos =1/51/2，sin = -2/51/2 ，所得的转轴公式是 得到的标准方程为 ,图形相对于原坐标系的位置不变。此时ox轴的正向恰好是图中y 轴的反向。例例 化简二次曲线方程x2-3xy+y2+10 x-10y+21=0,写出坐标变换公式并作出它的图形解解

12、 因为i20,所给的二次曲线是双曲型的. 中心方程组解得中心坐标为 ( 2,2) .作移轴变换原方程化为再作转轴变换 ，得旋转角为 .故转轴变换为 . 01023, 01032yxyx, 2, 2yyxx01322yyxx1 1cot2034 ).(21),(21yxyyxx二次曲线的方程化简为标准方程为 这是一条双曲线,其图形如图所示。 作图时,先将坐标系o-xy平移到(-2,2)成o-xy,再把坐标系o-xy旋转角 / 4得 o-xy.在新坐标系o-xy 中根据双曲线的标准方程作图. 221225xy xxyyxyoo22151022xy 将转轴公式代入移轴公式,得坐标变换公式为, 2,

13、2yyxx1()2,21()2.2xxyyxy ).(21),(21yxyyxx注：注：利用移轴可以直接化简缺少xy项的二次曲线方程, 化简的关键是找到恰当的移轴公式.常用的方法有配方法和代入法.在应用配方法时必须注意,要分别先对关于x与y的项进行集项,然后把x2与y2项的系数括出来再配方. 利用直角坐标变换的方法化简曲线方程，不仅能够得到曲线的标准方程，而且同时得到坐标变换公式，并能作出曲线的图形，这是其它方法所不能做到的。2)非中心型二次曲线非中心型二次曲线( i2=0)的化简与作图的化简与作图：对于非中心型二次曲线，采用“先转后移”，较为简便。其具体步骤是： 1、利用旋转角公式，求出co

14、s 、sin ； 2、作旋转变换,消去交叉项，同时消去1个二次项； 3、对转轴后的方程“配方”，先配二次项,再配一次项； 4、令“配方”后的括号内分别为x和 y (相当于作平移变换),得到曲线的标准方程。 5、将平移变换代入旋转变换,得到直角坐标变换公式。 6、作出新旧坐标系o-xy，o-xy和o-xy ,在新坐标系下按照标准方程作出曲线的图形。例例 化简二次曲线方程下x2+4xy+4y2+12x-y+1=0 ,写出坐标变换公式并画出它的图形。解解 由于i2=14-22=0,曲线是非中心型的,应先转轴后移轴。 1、设旋转角为,则有得 tan =-1/2 或 tan =2取 tan =2(若取

15、tan =-1/2 ,同样可将原方程化简),则有： cos =1/51/2，sin = 2/51/2 2、得转轴公式为代入原方程化简整理得转轴后的新方程为配方得：3、再做移轴变换曲线方程就化为最简形式4、写成标准方程为：yx 52 这是一条抛物线.它的顶点是新坐标系o-xy 的原点,原方程的图形可以根据它在坐标系o-xy 中的标准方程作出,如图 所示.将移轴公式代入转轴公式,得坐标变换公式为 作图要点：坐标系o-xy旋转角tan2成o-xy,再把坐标系o-xy 平移,得到o-xy.在新坐标系o-xy 中可根据抛物线的标准方程作图.为了看出曲线在原坐标系中的位置,作图时需要将新旧坐标系同时画出. 11(2),5512(2).55xxyyxy例例 化简二次曲线方程 2x2+xy-3y2-13x-2y+21=0解解 计算得i2 0。 1 实椭圆: a330, a11 a330 ； 3 点椭圆: a33=0。() 双曲型双曲型： i2=a11a220。 4 双曲线： a330； 5 两条相交直线： a33=0。对于非中心型曲线也称为抛物型曲线,通过转轴消