二面角的求法

1、 从一条直线出发的两个半从一条直线出发的两个半一一、二面角的定义二面角的定义 平面所组成的图形叫做二面角平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱二面角的棱。这两个半平面叫做这两个半平面叫做二面角的面二面角的面。二面角二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内注意：二面角的范围：0, loab二二、二面角平面角的定义二面角平面角的定义 在二面角在二面角-l-的棱的棱l上任取一点上任取一点o，以点，以点o为垂足，在半平面为垂足，在半平面和和

2、内分别作垂直于棱内分别作垂直于棱l的射线的射线oaoa、obob则则aobaob叫做二面角叫做二面角 的平面角。的平面角。二面角1、传统法、传统法pabpaboabp定义法定义法三垂线定理法三垂线定理法垂面法垂面法三三、二面角的求法二面角的求法传统法求二面角传统法求二面角步骤：步骤：二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：二面角作图作图 证证明明 计算计算l将二面角转化为二面角的两个面的方向向量将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。夹角。如图，设二面角如图，设二面角 的大小为的大小为 ，其中其中l ,abl

3、abcdl cd coscos,ab cdab cdab cd dcba方向向量法：方向向量法：2、向量法求二面角、向量法求二面角二面角ll法向量法法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12n n ，cos12cos, n ncos12cos, n n二面角求出了两法向量的夹角后，应结合图形与题意判断求出了两法向量的夹角后，应结合图形与题意判断求出的是二面角的大小还是它的补角的大小，从而确定二求出的是二面角的大小还是它的补角的大小，从而确定二面角的大小。面角的大小。法向量法求二面角的法向量法求二面角的步骤：步骤：1.1.建立适当空间直角坐标系，写出相关点的

4、坐标建立适当空间直角坐标系，写出相关点的坐标2.2.求出二面角两个半平面的法向量求出二面角两个半平面的法向量3.3.求出两个法向量的夹角求出两个法向量的夹角4.4.判断二面角的平面角与两个法向量夹角的关判断二面角的平面角与两个法向量夹角的关 系，是相等还是互补系，是相等还是互补例例1.如图，已知正四面体a-bcd（各条棱都相等）求二面角c-ab-d的余弦值大小abc解：解：abmcmdm取的中点点连接、abcabdmabcmabdmab、是等边三角形，点是的中点、cmdcabd是二面角 的平面角a设正四面体的棱长为3cmdmcd2aa，222cd-cd1cosc d2cm dm313mm由余弦

5、定理得： m =，即二面角的余弦值为 。moabpc过过o o点作点作oeoeab于e点，连连peo为为 ac 中点中点， abc=902221在rtpoe中， oe ，po 22tanpeo22所求的二面角所求的二面角p-ab-c 的正切值为的正切值为例例2 2如图，三棱锥如图，三棱锥p-abcp-abc的顶点的顶点p p在底面在底面abcabc上的射影是底面上的射影是底面rtrtabcabc斜边斜边acac的中点的中点o o，若，若pb=ab=1pb=ab=1，bc= bc= ，求二面角，求二面角p-ab-cp-ab-c的正切值的正切值。2由三垂线定理可知abpe peo就就是二面角是二面

6、角p-ab-c 的平面角的平面角23在在rtpbe中中，be ，pb=1，pe21e解：解：eop二面角oebc且且 oe bc=2122c1baca1b1例3 已知正三棱柱abc-a1b1c1的各条棱长均为a，d为cc1中点，求：平面a1bd与平面abc所成二面角的大小。分析：面abd与面abc在图中只有一个公共点，由公理保证，它们必有一条经过点的公共直线，即二面角的棱。思路：延长a1d，ac，交于e点，连结be，则be是面a1bd与面abc所成二面角的棱。易证be 面a1b，可知a1ba是所求二面角的平面角， 从而得出二面角的大小是45 。ef过c点作cf 于点连接则cfd就是二面角的平面

7、角。cf=cd则cfd= 45 解法1（传统法）c1baca1b1解法2（向量法）zyxa- xyz解： 建立空直角坐系如所示,a( 0, 0, 0) ,1aa( 0, 0, ) ,3b22aa(, , 0) ,d2a,a( 0, ) ,11(0,0, )naaa易知面abc 的法向量113a b(,),(0, ,)222aaaaada 12a bd( , , ),nx y z 的法向量设平面2121a b,a,nnd 由得：32xyzy2( 3,1,2)n 任取1212122cos,2|n nn nnn 即所求的二面角为45023022aayzaaxyazc1baca1b1zyx1a2aa(

8、 0, -, ) ,3b02a(, , 0) ,d2 2a a,( 0, ) ,o注意注意:法向量法的关键就是建立适当的空间直角坐标系，法向量法的关键就是建立适当的空间直角坐标系，以便较容易得到关键点的坐标，从而实现计算的优化。以便较容易得到关键点的坐标，从而实现计算的优化。例例4 （2010陕西卷）如图，在四棱锥陕西卷）如图，在四棱锥p-abcd中，底面中，底面abcd是矩形，侧棱是矩形，侧棱pa底面底面abcd， bc= e、f分别是分别是ad和和pc的中点，求平面的中点，求平面bef与与平面平面bap所成锐二面角的大小。所成锐二面角的大小。dbcap pzxya- xyz建立空直角坐系如

9、所示,a( 0, 0, 0) ,d2( 0, 2, 0) ,1(0,2 2,0)nad易知面pab的法向量be( 2,2,0),bf( 1,2,1) 2bef( , , ),nx y z 的法向量设平面22be,bf,nn 由得：22020 xyxyz 2xzyz 2( 1,2,1)n 任取1212122cos,2|n nn nnn 即所求的二面角为45解：解：2,pa ab2 2,f fe eb 2 0 0， ，e 02 0， ，f 121， ， 练练 习习二面角正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，p是ad的中点,求二面角abd1p的大小.dacbd1a1c1b1p解法1（传统法）da

10、cbd1a1c1b1fep过p点作pe ad1于于e点，过点，过e点作点作efbd1于于f点，连结点，连结ef。ab面面aa1d1d ab pe pe abd1由三垂线定理可由三垂线定理可知知bd1 pf pfe就是二面角a-bd1-p的平面角11115132pbpdfbdd f=bdpf2222又， 点是的中点1sin 302pepfepfepf11111ap dd22appead42d由的等 可得=积变换dacbd1a1c1b1pzyx解法2（法向量法）ab( 1,0,0),ad(0, 1,1) 1111abd( ,),nx y z的法向量设平面1110 xyz1(0,1,1)n 任取12

11、12123cos,2|n nn nnn 即所求的二面角为30c- xyz建立空直角坐系如所示,11100 xyza( 1, 1, 0) ,1p 102，d 101， ，b( 0, 1, 0) ,11pb( 1,0),pd(0,1)22 2222pbd(,),nxyz 的法向量设平面22221y02102xyz2222y22xyz2(1,2,1)n 任取小小结结二面角1. 求二面角有两种方法：传统法、向量法。两种方法千秋求二面角有两种方法：传统法、向量法。两种方法千秋2.传统法求二面角的一般步骤是：一作（找），二证，三传统法求二面角的一般步骤是：一作（找），二证，三计算。作（找）出所求的角是计算的基础。二面角的平面计算。作（找）出所求的角是计算的基础。二面角的平面角多采用定义法或线面垂直法等方法来寻找角多采用定义法或线面垂直法等方法来寻找.最后，一般通最后，一般通过解三角形求出角的大小。过解三角形求出角的大小。3.向量法的关键就是建立适当的空间直角坐标系，以便较容向量法的关键就是建立适当的空间直角坐标系，以便较容易得到关键点的坐标，从而实现计算的优化。易得到关键点的坐标，从而实现计算的优化