空间向量求角ppt课件

1、13.2.3立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法空间空间“角角”问题问题空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角2范围：范围： 0,2ABCD1D|一、线线角：一、线线角： ab，ab，设直线的方向向量为 ，的方向向量为CAaBbDaabb异面直线所成的锐角或直角异面直线所成的锐角或直角思考：空间向量的夹角与思考：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么关系？异面直线的夹角有什么关系？结论：结论：coscos,CD AB |3x xz zy y 向量法向量法A AD DC CB BD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1E E1 1F F1 1

2、传统法：平移传统法：平移例例1.如图所示的正方体中，已知如图所示的正方体中，已知F1与与E1为四等分点，求异面直线为四等分点，求异面直线DF1与与BE1的夹角余的夹角余弦值？弦值？4所以 与 所成角的余弦值为A1AB1BC1C1D1Fxyz解：如图所示，建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则： Cxyz11CC(1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0,1),( ,1)22 2FD所以：11(,0,1),2 AF111( ,1)22 BD11cos, AF BD1111|AFBDAFBD 113041053421BD1AF3010例例2：090 ,中，现将沿着Rt ABCBC

3、AABC平面的法向量ABC1，BCCACC11求与所成的角的余弦值.BDAF111平移到位置，已知ABC111111取、的中点、 ，ABACDF5练习：如图，正三棱柱练习：如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为的底面边长为a,侧棱长为侧棱长为 求求AC1和和CB1的夹角，的夹角，2aABCA1B1C1131(,2 )22ACaaa 131(,2 )22CBaaa21111211312cos,32| |aAC CBAC CBaACCB AC1和和CB1的夹角为：的夹角为：3xZD6直线与平面所成角的范围： 0,2结论：结论：sin|cos,| n AB二、线面角：二、线面角：直线和直线在平

4、面内的射影所成的直线和直线在平面内的射影所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角.思考：如何用空间向量的夹角表示线面角呢？思考：如何用空间向量的夹角表示线面角呢？n7例例3、如图，在正方体、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，中，求求A1B与平面与平面A1B1CD所成的角所成的角ABCDA1B1C1D1O向量法向量法 传统法传统法8ABCD1A1B1C1DMxyzBCD1A1B1C1DMN解：如图建立坐标系A-xyz,则(0,0,0),A)6 , 2 , 6(M可得由, 51NA)3 , 4 , 0(N).3 , 4 , 0(),6 , 2 , 6(NAM

5、A由的法向量设平面),(zyxn 00nNAnMA0340626zyzyx即在长方体在长方体 中，中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.例例4：1111ABCDABC D1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，15,AN , 61AA, 8, 6ADAB9ABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1B1C1DMN)34, 1 , 1 (n得,34343)34(118|0810|222(0,8,0),AD 又又ADANM与平面所成角的正弦值是34343|sin|nDAnDA在长方体在长方体 中，中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.例例4：1111ABCDABC D11

6、12,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，15,AN , 61AA, 8, 6ADAB10例例5.如图，在四棱锥如图，在四棱锥S-ABCD中，底面中，底面ABCD为平行四边形，侧面为平行四边形，侧面SBC 底面底面ABCD。已知。已知 AB=2，BC= ，SA=SB= .(1)求证求证 (2)求直线求直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。045ABC2 23.SABCSABCDOxyz101011二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两

7、边分别在两个面内 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10 lOAB:0,范 围三、面面角：三、面面角：12二面角的计算几何法：二面角的计算几何法：1、找到或作出二面角的平面角找到或作出二面角的平面角2、证明证明 1中的角就是所求的角中的角就是所求的角3、计算出此角的大小计算出此角的大小一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”1613ll三、面面角：三、面面角：向量法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n

8、，cos12cos, n ncos12cos, n n关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围21,coscosnn结论：14 证明：以证明：以 为正交基底，建立空间直角坐标系为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得如图。则可得1DA DC DD 、 、1(2 0 0)(0 2 0)(0 01)(2 2 2)(110)ACMBO， ， ， ， ， ，。1(2 01)(0 21)( 112)MAMCBO 所以， ， ， ， ， ， ，1120200220BO MABO MC ，11BOMABOMC 所以 ， 11BOMABOMCMAMCC即 ， 。又1BOMAC所以平面 例例6.6.已知正

9、方体已知正方体 的边长为的边长为2 2，O为为AC和和BD的交点，的交点，M为为 的中点的中点 （1 1）求证：）求证： 直线直线 面面MAC; （2 2）求二面角）求二面角 的余弦值的余弦值. .1111DCBAABCD1DDOB11BMA C B1A1 C1D1DCBAOMxyz151BOMAC由知 平面 B1A1 C1D1DCBAOMxyz1BOMAC所以是平面的一个法向量1(2 0 0)(0 01)(2 2 2)AMB由， ， ， ，得1()BMAnxyz设平面的一个法向量为， ，1(2 01)(2 21)MAMB ， ， ， ，10020021-2220n MAn MBxzzxyxy

10、z 所以，即 取 = 得 = ， =1(12 2)B MAn 所以平面的一个法向量为， ，1( 112)BO 且， ，11246cos669BOn ，166BMAC所以二面角的余弦值为。由图可知二面角为锐角由图可知二面角为锐角16,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0如所示，ABC D 是一直角梯形， ABC =90S平面求面与面所成二面例：角的余弦值四ABCDSxzyA- xyz解： 建立空直角坐系如所示,A( 0, 0, 0) ,C ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量11(1,0),(0, 1)22

11、 CDSD2( , , ), SCDnx y z的法向量22, nCD nSD由得：设平面设平面0202yxyz22yxyz2(1,2,1) n任取1212126cos,3|nnn nnn 63即所求二面角得余弦值是例717ABCDEMN练习练习.如图所示的几何体如图所示的几何体ABCDE中，中，DA平面平面EAB，CB/DA，EA=DA=AB=2CB，EAAB，M是是EC的中点，的中点，() 求证：求证：DMEB； ()求二面角求二面角M-BD-A的余弦值的余弦值.18EDCBAMzyxa2 解解: 分别以直线分别以直线AE，AB，AD为为x轴、轴、y轴轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

12、轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设设CB=a，则则A(0，0，0)，E(2a，0，0)，B(0， 2a， 0)，C(0， 2a，a)，D(0，0，2a)，所以所以M(a，a， )DMEB，即即DMEB()解:设平面设平面MBD的法向量为的法向量为n=(x，y，z)DB=(0，2a，2a)由由nDB， nDM得得DM EB =a (2a) +a 2a +0=0()证证:DM=(a，a，1.5a)， EB=(2a，2a，0)，19取取z=2得平面得平面MBD的一非零法向量为的一非零法向量为n=(1，2，2)， 又平面又平面BDA的法向量为的法向量为 n1=(1，0，0)，2222221

13、+0+0=1 +2 +21 +0 +01.3cos 即二面角即二面角M-BD-A的余的余弦值为弦值为13EDCBAMzyxn DB = 2ay2az = 03n DM = ax +ayaz = 02 y = z3x + yz = 0220练 习：如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC，AOC=90，SO面面OABC，且，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求：。求： 异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值，所成的角的余弦值， OS与面与面SAB所成角所成角的正弦值的正弦值 ， 二面角二面角BASO的余弦值。的余弦值。则A（2，0，0）；于是我们有OABCS解：如图建立直角坐标系，xyz=（2，0，-1）；SA=（-1，1，0）；AB=（1，1，0）；OB=（0，0，1）；OSB（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）； O（0，0，0）；21020zxyx令x=1，则y=1，z=2；从而)2 , 1 , 1 (n36612,cossinnOSnOSnOS（2）设面SAB的法向量),(zyxn SAnABn,显然有OABCSxyz22OBSAOBSAOBSA,cos.510252.由知面SAB的法向量 =（1，1，2） 1n又OC面AOS，OC 是面AOS的法向量，令)0 , 1 , 0