福建省2016届高三4月质量检查数学理

1、机密启用前2016年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至3页，第卷4至6页，满分150分考生注意： 1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2第卷每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号第卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答，答案无效 3考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回第卷一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个

2、选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（a）（b）（c）（d）（2）执行如图所示的程序框图，若要使输出的的值等于3，则输入的的值可以是 （a） （b） （c）8 （d）（3）已知，则的值等于（a） （b） （c） （d）（4）已知，则“”是“”的（a）充分不必要条件 （b）必要不充分条件 （c）充要条件 （d）既不充分也不必要条件（5）若满足约束条件则的取值范围为（a） （b） （c） （d）（6）已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前项积为，且，则使得的的最小值为（a）4 （b）5 （c）6 （d）7（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出

3、的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最小的值为（a） （b）8 （c） （d）（8）在中，则（a）（b）（c）（d） （9）若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（a） （b） （c） （d）（10）在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为 （a） （b） （c） （d）（11）已知分别为双曲线的左、右焦点，若点是以为直径的圆与右支的一个交点， 交于另一点，且，则的渐近线方程为 （a） （b） （c） （d）（12）已知是定义在上的减函数，其导函数满足，则下列结论正确的是（a）对于任意， 0 （c）当且仅当，0第卷注意事项： 第卷共3页，

4、须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答，答案无效本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）若随机变量，且，则 （14）若展开式中的常数项为，则 （15）若数列的各项均为正数，前项和为，且，则 （16）已知点，且平行四边形的四个顶点都在函数的图象上，则四边形的面积为 三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）在中，点在边上，且（）若的面积为，求； （）若，求 （18）（本小题满分12分）如图，三棱柱中，底面为等腰直角三角

5、形，（）证明：；（）若，求与平面所成角的正弦值 （19）（本小题满分12分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪， 40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：（）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（）若将频率视为概率，回答以下问题：（）记乙公司送餐员日工资为(单位：元), 求的分布列和数学期望； （）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工

6、资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.（20）（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线与抛物线交于两点，以为圆心的圆过点，且（）求抛物线和圆的方程；（）设是圆上的点，过点且垂直于的直线交于两点，证明：（21）（本小题满分12分）已知函数，曲线与在原点处的切线相同（）求的单调区间；（）若时，求的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。 （22）（本小题满分10分）选修：几何证明选讲如图，的两条中线和相交于点，且四点共圆（）求证：；（）若，求 （23）（本小题满分10分)选修：坐标系与参数方程在

7、平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为. （）求的普通方程和的倾斜角；（）设点，和交于两点，求（24）（本小题满分10分）选修：不等式选讲已知函数.（）求不等式的解集；（）设，证明：2016年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题答案及评分参考 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分

8、数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5分，满分60分 （1）b （2）c （3）d （4）a （5）b （6）c （7）b （8）c （9）d （10）d （11）a （12）b 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5分，满分20分 （13） （14） （15） （16） 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知

9、识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等满分12分解法一：（）因为, 即，2分又因为,，所以 3分在中,由余弦定理得，,5分即，解得6分（）在中，可设，则，又，由正弦定理，有，7分所以8分在中, ，由正弦定理得，即，10分化简得，于是11分因为，所以，所以或, 解得，故12分解法二：（）同解法一（）因为，所以取中点，连结，所以7分设，因为，所以在中，8分以下同解法一（18）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等满分12分解法一：（）连结，在中，由余弦定理得， ，1分，

10、2分又为等腰直角三角形，且，又，平面4分又平面，5分（），6分如图，以为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，7分则， 8分设平面的法向量，由得令，得平面的一个法向量为 9分，10分，.11分与平面所成角的正弦值为12分解法二：（）同解法一（）过点作平面，垂足为，连结，则为与平面所成的角6分由（） 知，又，平面，7分8分取中点，连结，又在中，9分， ，即，10分平面，平面，三棱柱中，11分在中，所以与平面所成的角的正弦值为12分（19）本小题主要考查古典概型、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然

11、思想、化归与转化思想满分12分解：（） 记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件，则4分（）（）设乙公司送餐员送餐单数为，则当时，； 当时，； 当时，；当时，；当时， 所以的所有可能取值为152,156,160,166,1726分故的分布列为：1521561601661728分 9分（）依题意， 甲公司送餐员日平均送餐单数为10分所以甲公司送餐员日平均工资为元11分由（）得乙公司送餐员日平均工资为元因为，故推荐小明去乙公司应聘12分（20）本小题考查圆与抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思

12、想等满分12分解法一：()将代入，得，所以，1分又因为，所以是等腰直角三角形，所以，即，解得，所以抛物线，3分此时圆的半径为，所以圆的方程为4分 ()设，依题意，即5分（）当直线斜率不存在时，当时，由，得不妨设，则即 当时，同理可得，.6分（）当直线斜率存在时，因为直线与抛物线交于两点，所以直线斜率不为零，且 因为，所以，所以，.7分直线由得， ，8分即，所以，9分所以10分，所以 12分解法二：()同解法一()设，依题意，即， （*） 5分设，则，6分由于，所以 7分注意到， 8分由（1）知，若，则，此时不满足（*），故，从而（1），（2）可化为9分以下同解法一.（21）本小题主要考查导数的

13、几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等满分12分解法一：（）因为，2分依题意，解得，3分所以，当时，；当时，故的单调递减区间为， 单调递增区间为5分（）由（）知，当时，取得最小值0 所以，即，从而设则，6分（）当时，因为，所以（当且仅当时等号成立），此时在上单调递增，从而，即7分（）当时，由于，所以8分由（）知，所以，故，即9分（）当时， 令，则，显然在上单调递增，又，所以在上存在唯一零点，10分 当时，所以在上单调递减，从而，即所以在上单调递减，从而当时，即，不合题意11分综上，

14、 实数的取值范围为12分解法二：（）同解法一 （）由（）知，当时，取得最小值0 所以，即，从而设则，6分（）当时，在恒成立，所以在单调递增 所以，即9分（）当时，由（）知，当时，（当且仅当时等号成立），所以当时，所以10分于是当时，所以在上单调递减.故当时，即，不合题意11分综上， 实数的取值范围为12分解法三：（）同解法一 （）（）当时，由（）知，当时，取得最小值0所以，即，从而，即所以，6分（）当时，设则，令，则显然在上单调递增7分当时，所以在上单调递增，；故，所以在上单调递增，即9分当时，由于，所以在上存在唯一零点，10分当时， 单调递减，从而，即在上单调递减，从而当时，即，不合题意11

15、分综上， 实数的取值范围为12分请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号（22）选修：几何证明选讲 本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等满分10分解法一：（）连结，因为四点共圆，则2分又因为为的两条中线，所以点分别是的中点，故3分所以，4分从而5分（）因为为与的交点，故为的重心，延长交于，则为的中点，且6分在与中，因为，所以，7分所以，即9分因为，所以，即，又，所以10分解法二：（）同解法一5分 () 由() 知，因为四点共圆，所以，6分所以

16、，所以，7分由割线定理，9分又因为是的中线，所以是的重心，所以,又，所以，所以，所以，因为，所以10分（23）选修；坐标系与参数方程本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等 满分10分解法一：（）由消去参数，得，即的普通方程为2分由，得，（）3分将代入（），化简得，4分所以直线的倾斜角为 5分 （）由（）知，点在直线上， 可设直线的参数方程为（为参数），即（为参数），7分代入并化简，得8分设两点对应的参数分别为，则，所以9分所以10分解法二：（）同解法一. 5分（）直线的普通方程为.由消去得，7分于是.设，则，所以，8分故.10分（24）选修：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识