大学物理第5章机械波课件

1、第第5章章 (mechanical wave) (6)重点重点: 行波方程。行波方程。核心核心:位相。位相。1大学物理第5章机械波一一.机械波的产生和传播机械波的产生和传播5.1 波动的基本概念波动的基本概念 1.产生机械波的条件：产生机械波的条件： 波源波源持续振动的质点；持续振动的质点； 弹性介质弹性介质传递振动状态的介质。传递振动状态的介质。波动波动振动状态的传播过程。振动状态的传播过程。up242大学物理第5章机械波 横波横波 transverse wave 质点的振动方向与波的传播方质点的振动方向与波的传播方向相互垂直。向相互垂直。 纵波纵波 longitudinal wave 质点

2、的振动方向和波的传播质点的振动方向和波的传播方向相互平行。方向相互平行。 在波的传播过程中，不管是横波，纵波，介质在波的传播过程中，不管是横波，纵波，介质中的质点并不中的质点并不“随波随波逐流逐流”, , 它们在各自的平衡它们在各自的平衡位置附近振动；位置附近振动；传播传播的是波源的的是波源的振动状态振动状态。 传播横波介质：介质的传播横波介质：介质的切向应变切向应变。固体。固体(理想气体，理想气体，液体不能传播液体不能传播)传播纵波的介质：介质的传播纵波的介质：介质的弹性应变弹性应变。气体，液体，。气体，液体，固体固体3大学物理第5章机械波二二 . 描述波动的物理量描述波动的物理量p261)

3、.波的周期波的周期(period) t传递一个完整波所需的时间，传递一个完整波所需的时间，也是介质质元完成一次全振动的时间。波的也是介质质元完成一次全振动的时间。波的周期周期完完全由全由波源波源(周期周期)确定确定。 2).波长波长 (wave length) 一个周期内波动传播的距离。一个周期内波动传播的距离。它由波源和介质共同决定。它由波源和介质共同决定。波长是波的波长是波的“空间周期空间周期”。1.描述简谐波的解析参量描述简谐波的解析参量t1波数波数 1频率频率 角频率角频率 t2波矢波矢 2k4大学物理第5章机械波3).波速波速u 单位时间内波传播的距离单位时间内波传播的距离 tu对与

4、简谐波而言，波速等于振动的初相的传播速度，又对与简谐波而言，波速等于振动的初相的传播速度，又称称相速相速。波速完全由。波速完全由介质的性质来确定介质的性质来确定。 沿着波的传播方向沿着波的传播方向, , 质点振动的相位是依次落后的。质点振动的相位是依次落后的。pyuxo(波源波源)xuxt ux5大学物理第5章机械波2.波面和波线波面和波线波线波线(波射线波射线 wave line) 波的传播方向。波的传播方向。波面波面(波阵面波阵面wave surface) 波动过程中，振动相位波动过程中，振动相位相同的点连成的面。最前面的那个波面称为波前相同的点连成的面。最前面的那个波面称为波前wave

5、front 。平面波平面波(plane wave )波面为平面的波动。本章只讨波面为平面的波动。本章只讨论这种波。论这种波。 球面波球面波(spherical wave) 波面为球面的波动。波面为球面的波动。 在各向同性介质中，波线总是与波面垂直。在各向同性介质中，波线总是与波面垂直。 波面波面6大学物理第5章机械波三三 . 惠更斯原理惠更斯原理 作用：如果已知了作用：如果已知了t时刻的波阵面，以时刻的波阵面，以ut为为半径，就半径，就能确定能确定t 时刻的波阵面，从而确定波的传播方向。利用惠时刻的波阵面，从而确定波的传播方向。利用惠更斯原理可以解释波的干涉，衍射等现象。更斯原理可以解释波的干

6、涉，衍射等现象。 介质中波动传播到的各点介质中波动传播到的各点,都可以看作是都可以看作是发射子波的波源发射子波的波源,其后任一时刻其后任一时刻,这些子波的包这些子波的包迹就是新的波阵面。迹就是新的波阵面。 7大学物理第5章机械波惠更斯原理的不足：不能求出波的强度分布。惠更斯原理的不足：不能求出波的强度分布。球球面面波波 tt + t平面波平面波t+ t时刻波面时刻波面u t波传播方向波传播方向t 时刻波面时刻波面8大学物理第5章机械波5.2 平面简谐行波的平面简谐行波的波动方程波动方程 ! 注意注意这里：这里： x表示各质点的平衡位置到坐标原点的距离；表示各质点的平衡位置到坐标原点的距离； y

7、表示各质点对平衡位置的位移。表示各质点对平衡位置的位移。yxouxp 一平面余弦行波在均匀无耗介质中沿一平面余弦行波在均匀无耗介质中沿x轴轴正方向传播，波速正方向传播，波速u，坐标原点的振动方程为，坐标原点的振动方程为 y=acos( t+ o)求：坐标为求：坐标为x的的p点的振动方程点的振动方程(波动方程波动方程)。9大学物理第5章机械波 因因: 均匀无耗介质、平面波均匀无耗介质、平面波, 所以所以p点的振幅仍点的振幅仍是是a。原点原点o的振动方程为的振动方程为 y=acos( t+ o) p点比点比o点时间点时间落后落后: t=x/uyxouxp角频率仍为角频率仍为 。)(cosottay

8、 则则p点的振动方程点的振动方程(即即波动方程波动方程)为为10大学物理第5章机械波 则则p点比点比o点时间超前点时间超前: t=x/u，波动方程应为，波动方程应为)(cosouxtay )(cosouxtay p点的振动方程点的振动方程(即即波动方程波动方程)为为yxouxpu若波沿若波沿x轴负方向传播，轴负方向传播，11大学物理第5章机械波波动方程波动方程的标准形式的标准形式:式中：式中：“ ”号表示波沿号表示波沿x轴正方向传播；轴正方向传播； “ ”号表示波沿号表示波沿x轴负方向传播。轴负方向传播。 o是是坐标原点坐标原点的初相。的初相。 考虑到，考虑到， =2 /t， =ut , 波动

9、方程还可写为波动方程还可写为)ox ttay(2cos otay cos()2 xtay(cos )oux 12大学物理第5章机械波 1.当当x=xo(确定值确定值) )时，位移时，位移y y只是时间只是时间t t的余弦函数的余弦函数: :)(cosoouxtay 这是这是xo处质点的振动方程。处质点的振动方程。 2.当当t=to(确定值确定值) )时，位移时，位移y y只是时间只是时间x的余弦函数的余弦函数:)(cosoouxtay 此式表示给定时刻此式表示给定时刻to各振动质点的位移分布情况各振动质点的位移分布情况,相相应的应的y-x的曲线就叫做的曲线就叫做波形曲线波形曲线，如下图所示。，

10、如下图所示。tay(cos )oux 讨论：讨论：13大学物理第5章机械波)(cosouxtay ta(cos t x+u tu)+ o 上式表明，上式表明，t 时刻时刻x点的振动状态，经时间点的振动状态，经时间 t后传播到了后传播到了x轴正方向的轴正方向的x+u t 处。处。3.当当x,t 都变化时，代表一列沿都变化时，代表一列沿x轴正方向传播的波。轴正方向传播的波。yxou 14大学物理第5章机械波t时刻时刻yxouu tt+ t时刻时刻cosokxtaytay(cos)oux15大学物理第5章机械波 解解 (1)比较法比较法:)22cos(5 . 0 xty 波沿波沿x轴正方向传播；轴正

11、方向传播；a=0.5m, = , k= /2, 于于是是 t=2s, =1/2hz, u= /k=2m/s,原点的初相原点的初相 o= /2)(si),2121(cos50 xt.y 例题例题2-1 已知：已知： 求：求：(1)波的传播方向，波的传播方向，a、t、 、u，原点，原点的初相；的初相； (2)x=2m处质点的振动方程，及处质点的振动方程，及t=1s时质点时质点的速度和加速度。的速度和加速度。 (3)x1=1m和和x2=2m两点的相差。两点的相差。cosokxtay16大学物理第5章机械波)m2cos(50 t.y)2sin(50 t.dtdy)2cos(502 t.dtdat=1-

12、0.5 (m/s)t=10(3)x1=1m和和x2=2m两点的相差：两点的相差：xk2) 12(2)2121(cos50 xt.y (2)x=2m处质点的振动方程：处质点的振动方程： x=2xx: 波程差波程差17大学物理第5章机械波解解 (1) o比比c点位相超前点位相超前 l /u,(2)标准函数法标准函数法:,uxtayo)(cos o=( + l /u)(cos ulxtaytay(cos )oux 例题例题2-2 波以波以u沿沿x轴正方向传播，轴正方向传播，yc=acos( t+ ), 求求: (1)原点原点o的振动方程；的振动方程； (2)波动方程。波动方程。则则o点的振动方程为点

13、的振动方程为: y=acos( t+ + l /u)xycluo18大学物理第5章机械波p(x)点比点比已知点已知点c时间时间落后落后：ulxt yc=acos( t+ )ulx tay(cos )令令x=0得坐标原点得坐标原点o的振动方程为的振动方程为:tay cos( ) ul 用用t ( t t )法法:xpp(x)点比点比已知点已知点c 超前用超前用“+”； 落后用落后用“ ”。 coxylu波动方程波动方程: y=acos( (t t)+ )19大学物理第5章机械波 解解 (1)以以a为坐标原点。为坐标原点。 tay(cos )oux =0.4cos4 (t20 x )cm1.标准函

14、数法：标准函数法： 例题例题2-3 波速波速u=20cm/s，沿，沿x轴负方向传轴负方向传播，播， ya=0.4cos4 t(cm), 求求波动方程：波动方程： (1)以以a为坐标原点；为坐标原点； (2)以以b为坐标原点。为坐标原点。x5cmabuyox5cmabu20大学物理第5章机械波已知已知a点的振动方程点的振动方程: ya=0.4cos4 t (cm)p(x)点比点比a点时间超前：点时间超前：uxt 20 x 波动方程：波动方程：y=0.4cos4 (t20 x )cmt 2. t ( t t )法法(超前、落后法超前、落后法)yox5cmabuu=20pxy=0.4cos4 (t

15、)cm21大学物理第5章机械波(2)以以b为坐标原点。为坐标原点。y=0.4cos4 (t20 x ) + o cmx5cmabuyo1.标准函数法：标准函数法：ya=0.4cos4 t u=20抓住已知点抓住已知点a(的位相的位相)：由此得由此得 o = 波动方程为波动方程为 y=0.4cos4 (t20 x )+ cm,to)205(4 4 ttay(cos )oux 22大学物理第5章机械波已知已知a点的振动方程为点的振动方程为 ya=0.4cos4 t (cm)p(x)点比点比已知点已知点a时间超前：时间超前：uxt5 205 xx5cmabuyopxu=20cm/s波动方程：波动方程

16、：2. t ( t t )法法(超前、落后法超前、落后法)=0.4cos4 (t20 x )+ cmy)205 x=0.4cos4 (ty=0.4cos4 (t )cmt 23大学物理第5章机械波cmkxtyo7cos10当当t=1时时, 对对a点有：点有：107ok2 对对b点有：点有：207ok3 解得：解得：k= /12, o=-17 /3 /3波动方程为波动方程为cmxty3127cos10解解 例题例题2-4 波沿波沿x轴正向传播，轴正向传播，a=10cm, =7 rad/s; 当当t=1s时时, ya=0, a0。设设 10cm, 求该波的求该波的波动方程。波动方程。ab10cmu

17、10cmoxycosokxtay24大学物理第5章机械波 例题例题2-5 波沿波沿x轴正方向传播轴正方向传播, t=0，t=0.5s时时的波形如图，周期的波形如图，周期t 1s，求，求 ：(1) 波动方程；波动方程；(2) p点点(x=2m)的振动方程。的振动方程。 a=0.2， =4mt= /u=2， = 解解 (1)tay(cos )oux 25 . 012 uo1234x(m)y(m)0.2t=0.5t=0p o=+ /2 波动方程波动方程:ty(cos2 . 0 m2 )2x (2)p点点:y=0.2cos( t - )(m)2 25大学物理第5章机械波 例题例题2-6 t=2s时的波

18、形如图，时的波形如图，u=0.5m/s，求：求：(1)图中图中p点的振动方程；点的振动方程；(2)该波的该波的波动波动方程。方程。 解解 (1) a=0.5, =2t.y2cos(50 )m2 (2)该波的该波的波动方程波动方程:t.y(2cos50 m2 )50.x py(m)x(m)o1-0.5utay(cos )oux =t= /u=4， = /2+ /226大学物理第5章机械波5.3 平面行波的动力学方程平面行波的动力学方程p165t221t1x+dxxxy例：推导轻质、柔弦的微振动方程例：推导轻质、柔弦的微振动方程如图，由牛顿定律有如图，由牛顿定律有221122sinsintydst

19、t 0coscos1122 tt微振动时微振动时1coscos21 xxy 1sin dxxxy 2sin 联立求解得联立求解得022222xyatyta 27大学物理第5章机械波coso)uxt (ay cos222o)uxt (aty cos2222o)uxt (auxy 22222xyuty 由此得由此得对比对比022222xyaty有：有：uta即：波动方程空间二次导数即：波动方程空间二次导数前的系数就是波的传播速度前的系数就是波的传播速度28大学物理第5章机械波某些介质中波的传播速度某些介质中波的传播速度(m/s)钢钢5854(纵波纵波)， 3150(横波横波)海水海水1531(25

20、 c)砖或水泥块砖或水泥块3650(纵波纵波)地表地表8000(纵波纵波)， 4450(横波横波)空气空气331(20 c)木材木材34004700(纵波，沿纤维方向纵波，沿纤维方向)某些介质中波的传播速度某些介质中波的传播速度29大学物理第5章机械波讨论讨论：影响波的传播速度的因素：影响波的传播速度的因素对其它波动形式的方程作类似推导，可得各种波动对其它波动形式的方程作类似推导，可得各种波动的波动方程及传播速度，由传播速度的表达式，容的波动方程及传播速度，由传播速度的表达式，容易知道影响波传播速度的因素易知道影响波传播速度的因素绳的微振动横波绳的微振动横波 ta t t：绳的张力：绳的张力杆

21、的纵向微振动波杆的纵向微振动波 ya y y：杨氏弹性模量：杨氏弹性模量杆的横向微振动波杆的横向微振动波 ga g g：切变弹性摸量：切变弹性摸量声音在空气中传播声音在空气中传播 ba b b：体变模量：体变模量真空中的电磁波真空中的电磁波001 a 真空介电常数，真空介电常数， 真空磁导率真空磁导率30大学物理第5章机械波介质的几种典型模量介质的几种典型模量 若在截面为若在截面为s，长为，长为l的细棒两端加上大小相等、方向相反的轴的细棒两端加上大小相等、方向相反的轴向拉力向拉力f，使棒伸长，使棒伸长 l，实验证明：在弹性限度内，正应力，实验证明：在弹性限度内，正应力f/s与线性应变与线性应变

22、 l/l成正比，即成正比，即 杨氏模量杨氏模量 l l+l s s f f llysf 比例系数比例系数y由材料的弹性决定，称为由材料的弹性决定，称为杨氏模量杨氏模量 (2).切变模量切变模量 (1).杨氏模量杨氏模量 h x s s f f 切变模量切变模量在柱体上下表面在柱体上下表面s上作用一大小相上作用一大小相等，方向相反的切向力等，方向相反的切向力f，使柱体，使柱体31大学物理第5章机械波发生切变。实验证明：在弹性限度内，切应力发生切变。实验证明：在弹性限度内，切应力f/s与切应变与切应变 x/h成正比，即成正比，即 gsf 比例系数比例系数g由材料的切变弹性决定，称为由材料的切变弹性

23、决定，称为切变模量切变模量 (3).体变模量体变模量 设流体体积在压强为设流体体积在压强为p时等于时等于v，如果是压强增加到，如果是压强增加到p+ p，体，体积变化为积变化为v+ v，则在通常压强范围内有，则在通常压强范围内有 vvbp v p 体变模量体变模量比例系数比例系数b称为体变模量。式中负号表示当称为体变模量。式中负号表示当 p0时，时， v 0 32大学物理第5章机械波5.4 行波中的能量和能流行波中的能量和能流一一.波的能量密度波的能量密度 波动过程也是能量的传播过程。波动过程也是能量的传播过程。 质元质元dm= dv ( 为为介质的密度介质的密度)，长长dx、伸长量、伸长量dy

24、。质元的振动动能和势能分别为。质元的振动动能和势能分别为)uxt (ay cos,dmdwk221 221)dy(kdwp dx dydm= dvup17233大学物理第5章机械波)(sinuxtaty )(cosuxtay 221 dmdwk )(sin21222uxtadv 由胡克定律，由胡克定律，dxdyysf ,kdy dxysk 杨氏弹性模量杨氏弹性模量: y= u2221)dy(kdwp 2221)xy(dvu )(sin21222uxtadv 34大学物理第5章机械波质元质元dm的总能的总能:)(sin222uxtadvdwdwdwpk (3)能量密度能量密度(单位体积中波的能量

25、单位体积中波的能量)为为)(sin222uxta (1)任意时刻任意时刻,质元的质元的动能和势能都相等动能和势能都相等。即。即 (2)质元的质元的总能总能量随时间作周期性的量随时间作周期性的变化变化。在波动。在波动中中, 随着振动在介质中的传播随着振动在介质中的传播, 能量也从介质的一部能量也从介质的一部分传到另一部分分传到另一部分, 所以所以,波动是能量传播的一种方式。波动是能量传播的一种方式。pkdwdw 35大学物理第5章机械波平均能量密度：平均能量密度：220211 adttt 二二.波的能流密度波的能流密度(波强波强) 单位时间内，通过垂直于波动传播方向的单位单位时间内，通过垂直于波

26、动传播方向的单位面积的能量面积的能量,称为称为能流密度能流密度。 显然，显然，能流密度能流密度也就是通过垂直于波动传播方也就是通过垂直于波动传播方向的向的单位面积的功率单位面积的功率。2221auui 容易证明容易证明, 能流密度能流密度(或或波强波强)为为sudt36大学物理第5章机械波三三. 声波声波 声强级声强级 引起人听觉的机械波的频率范围：引起人听觉的机械波的频率范围： 20-20000hz 人耳的听觉并不与声强成正比，而是与声强的对人耳的听觉并不与声强成正比，而是与声强的对数成正比。取声强数成正比。取声强io=10-12(w/m2)为标准，则声强级为标准，则声强级:oiillg10

27、 (db)树叶沙沙：树叶沙沙：20db; 正常谈话：正常谈话： 60db; 闹市：闹市：70db; 飞机起飞：飞机起飞：150db。37大学物理第5章机械波(a)质元质元a的动能为零的动能为零 , 势能最大。势能最大。(b)质元质元a的动能最大的动能最大 , 势能为零。势能为零。(c)质元质元b的动能最大的动能最大, 势能最大。势能最大。(d)质元质元b的动能最大的动能最大, 势能为零。势能为零。答答: (c) 例题例题4-1 图为某一时刻的波形曲线图为某一时刻的波形曲线, 由图可知由图可知uoxyab38大学物理第5章机械波 例题例题4-2 一电台一电台(视为点波源视为点波源)平均发射功率平

28、均发射功率10kw，求离电台，求离电台1km处的波强。处的波强。 解解 能流密度能流密度(波强波强)为为2221auui 能流密度也就是能流密度也就是通过通过垂直于波传播方向的垂直于波传播方向的单位单位面积的功率面积的功率。于是所求能流密度。于是所求能流密度(波强波强)为为24 rpi =7.9610-4(w/m2)39大学物理第5章机械波5.5.1波的叠加原理波的叠加原理5.5 波的干涉波的干涉 驻波驻波 每列波的每列波的传播特性传播特性不因其它波的存在而不因其它波的存在而改变改变。任。任一点的振动为各个波单独在该点产生的振动的合成。一点的振动为各个波单独在该点产生的振动的合成。这一规律称为

29、这一规律称为波的独立传播原理波的独立传播原理或或波的叠加原理波的叠加原理。 适用条件：波强较小。适用条件：波强较小。p395.5.2 波的干涉波的干涉 两列波两列波: (1)频率相同；频率相同； (2)振动方向相同；振动方向相同； (3)相差恒定；相差恒定； 相干条件相干条件 则在相遇区域会出现有些地方的振动始终加强，则在相遇区域会出现有些地方的振动始终加强，而另一些的振动始终减弱的稳定分布，这种现象称为而另一些的振动始终减弱的稳定分布，这种现象称为波的干涉波的干涉。 40大学物理第5章机械波s2s1r1r2ps1: y10=a1cos( t+ 1)cos(1111krtay)cos(2222

30、krtays1 p:s2 p:p点的合振动为点的合振动为 y =y1+y2=acos( t+ )(同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成)它们它们单独在单独在p点引起的振动分别为点引起的振动分别为s2: y20=a2cos( t+ 2)41大学物理第5章机械波合振幅合振幅: cos2212221aaaaa式中式中)(1212rrk合振动的初相为合振动的初相为)(cos)(cos)(sin)(sin222111222111krakrakrakratgp点的合振动为点的合振动为 y =y1+y2=acos( t+ )波强波强: cos22121iiiii42大学物理第5章机械波)(121

31、2rrk干涉的强弱取决于两列波的相位差：干涉的强弱取决于两列波的相位差：=2n , a=a1+a2 , 加强加强(相干相长相干相长)， 特别是特别是a1=a2 时，时，a=2a1，imax=4i1。=(2n+1) , a=|a1-a2| , 减弱减弱(相干相消相干相消)， 特别是特别是a1=a2 时，时，a=0，imin=0。(n=0,1,2) cos2212221aaaaa cos22121iiiii43大学物理第5章机械波 例题例题5-1 两个振幅都为两个振幅都为a的相干波源的相干波源s1和和s2相距相距3 /4， s1比比s2超前超前 /2，设两波在连线上的波强不随传，设两波在连线上的波

32、强不随传播距离而改变，试分析播距离而改变，试分析s1和和s2连线上的干涉情况。连线上的干涉情况。axxb 解解 干涉的强弱取决于干涉的强弱取决于相位差：相位差： )(1212rrks1左側左側a点点: =s2右側右側b点点: =2 , 2)43(2 s1左側各点都加强，左側各点都加强，imax=4i12 , )43(2s1s23 /4s2右側各点都减弱，右側各点都减弱， imin=044大学物理第5章机械波 s1和和s2之间之间c点点:s1s23 /4)243(2x x42 2n ,解得解得x= /2处加强。处加强。(2n+1) ，解得解得x=3 /4处处减弱减弱。2 xc =)rr(1212

33、2 45大学物理第5章机械波 例题例题5-2 原点原点o是波源是波源, 波长为波长为 。ab为波的反射平为波的反射平面，反射时无半波损失。面，反射时无半波损失。a点位于点位于o点的正下方，点的正下方，ao=h，ox轴平行于轴平行于ab。求。求ox轴上干涉加强点的坐标。轴上干涉加强点的坐标。oxabh)rr(12122 解解)22(222xxh =2n , 加强加强(n=1,2,3)nnhx24222解得解得(最大最大n: 令令x=0，得，得n=2h/ )(n=1,2,3 2h/ )xp q46大学物理第5章机械波 例题例题5-3 已知已知: yb=3cos2 t, yc=4cos(2 t+ /

34、2)(si),从从b、c两点发出的波在两点发出的波在p点相遇，点相遇，bp=0.45m, cp=0.3m, u=0.2m/s, 求求p点的合振动方程。点的合振动方程。cbp解解 y1=3cos(2 t- )ubp2=3cos(2=3cos(2 t- /2)cp: y2=4cos(2 t+ /2- )ucp2=4cos(2=4cos(2 t- /2)p点的合振动方程点的合振动方程:y=y1+y2=7cos(27cos(2 t- /2)mbp:47大学物理第5章机械波 例题例题5-4 相干波源相干波源s1超前超前s2 相位相位 /2, a1=a2=0.2m, 频率频率 =100hz, r1=4m,

35、 r2=3.75m,两种介质中的波速分两种介质中的波速分别为别为 u1=400m/s, u2=500m/s， 求两介质界面上求两介质界面上p点的点的合振幅。合振幅。).(442575322 =0=a1+a2 =0.4m)22(112212urur解解 先求两波到达先求两波到达p点的位相差点的位相差:)(1212rrks2s1r2r1pu2u1 cos2212221aaaaa48大学物理第5章机械波5.5.3驻驻 波波 两列两列振幅相等振幅相等、传播方向相反传播方向相反的的相干相干波波进行叠加，就会形成驻波。进行叠加，就会形成驻波。波腹波腹波节波节 驻波的形成驻波的形成.p4149大学物理第5章

36、机械波cos1t-kxay cos2kxtay将两列波合成，可得将两列波合成，可得tkxayyycoscos221这就是这就是驻波方程驻波方程。 (1)驻波方程实际上是一个振动方程，只不过各驻波方程实际上是一个振动方程，只不过各点的振幅随坐标点的振幅随坐标x的不同而变化。的不同而变化。 整体上看，驻波的整体上看，驻波的波形驻定在原地起伏变化波形驻定在原地起伏变化而而不传播不传播, 这是驻波中这是驻波中“驻驻”字的意思。字的意思。 50大学物理第5章机械波2at = 0y0 x0t = t/ 8xx0t = t/20 xt = t/4波节波节波腹波腹 /4- /4x02a-2a振动范围振动范围

37、/2xt = 3t/8051大学物理第5章机械波 (2)波腹和波节位置波腹和波节位置波腹：波腹：, 1coskxtkxayyycoscos221即即nkx 波腹的位置为波腹的位置为,.2, 1, 0,2nnx波节：波节：, 0coskx即即2) 12(nkx波节的位置为波节的位置为,.2, 1, 0,4) 12(nnx 容易算出，容易算出，相邻的两个波节相邻的两个波节(或波腹或波腹)之间的距离是之间的距离是 /2。可见，测出两波节之间的距离，就能算出波长。可见，测出两波节之间的距离，就能算出波长。这是实验中测量波长的一种常用的方法。这是实验中测量波长的一种常用的方法。52大学物理第5章机械波

38、(3)驻波中的位相驻波中的位相 由驻波方程可知，由驻波方程可知，kx=n + /2为波节为波节, 而而 kx在在1、4象限的点，各点位相都是象限的点，各点位相都是 t; kx在在2、3象限的点，各点位相都是象限的点，各点位相都是( t+ )。 可见，可见，在相邻的两波节间，各点在相邻的两波节间，各点的振动位相相同；而在波节两旁，的振动位相相同；而在波节两旁，各点的振动位相相反。各点的振动位相相反。因此因此,驻波实驻波实际上就是分段振动着的际上就是分段振动着的, 没有振动没有振动状态或相位的传播。这是驻波中状态或相位的传播。这是驻波中“驻驻”字的又一层意思。字的又一层意思。波节波节波节波节123

39、4tkxayyycoscos22153大学物理第5章机械波 (4)驻波中的能量驻波中的能量 从整个过程来看从整个过程来看, 能量在相邻的波腹、波能量在相邻的波腹、波节间来回转移节间来回转移, 波节或波腹两侧的介质互不交波节或波腹两侧的介质互不交换能量。因此，平均意义上换能量。因此，平均意义上驻波是不传播能量驻波是不传播能量的的。这是驻波中。这是驻波中“驻驻”字的再一层意思。字的再一层意思。 (5)固定边界的驻波固定边界的驻波2 nl n=1,2,54大学物理第5章机械波可能的驻波必须是某一基波的整数倍。可能的驻波必须是某一基波的整数倍。m=1的频率称的频率称基频基频，其它的波称为谐波。所有这，

40、其它的波称为谐波。所有这些振动称为些振动称为简正模式简正模式。所有的频率构成弦振动的。所有的频率构成弦振动的固有频率，也叫固有频率，也叫本征频率。本征频率。例：例：假定原子中核外电子绕核运动遵守某种简谐假定原子中核外电子绕核运动遵守某种简谐波的波动规律波的波动规律求：原子中电子的轨道半径必须满足的条件求：原子中电子的轨道半径必须满足的条件解：原子必须是稳定的，由波的干涉情况可知：解：原子必须是稳定的，由波的干涉情况可知：只有当电子的波形成稳定驻波时，原子才可能稳只有当电子的波形成稳定驻波时，原子才可能稳定。由驻波条件，轨道周长必须为电子波长的整定。由驻波条件，轨道周长必须为电子波长的整数倍，于

41、是有：数倍，于是有： 2 r=n 55大学物理第5章机械波(6) 波在界面的反射和透射，波在界面的反射和透射，“半波损失半波损失”0透射波透射波 y2反射波反射波 y1 入射波入射波 y1z2z1xuz 波阻抗波阻抗) cos(1111xutay) cos( 2222xutay) cos( 1111xutayz大大 波密媒质波密媒质z小小 波疏媒质波疏媒质相对相对而言而言入射波入射波反射波反射波透射波透射波56大学物理第5章机械波界面两侧应力相等（牛顿第三定律）界面两侧应力相等（牛顿第三定律）界面两侧质元位移相同（接触）界面两侧质元位移相同（接触） y1+ y1 x =0 = y2x =00

42、20 11xxsfsfsf0 220 111xxxyyxyxyy（纵波）（纵波） 机械波机械波入射时，有界面关系：入射时，有界面关系： 将将 y 表达式代入界面关系，考虑表达式代入界面关系，考虑y= u2 得：得：57大学物理第5章机械波其中：波阻抗其中：波阻抗 z = u ，联立两式可得：，联立两式可得：221111coscoscostatata222111111coscoscostaztaztaz11211121coscostazztazz2221111coscos2tazztaz58大学物理第5章机械波透射波：透射波：（2） 若若z1 z2， 则则 1 = 1反射波：反射波：1. 相位关

43、系相位关系反射波和入射波反射波和入射波同相同相即波密即波密波疏，波疏，反射波有反射波有相位突变相位突变 即波即波疏疏波波密密，半波损失半波损失均有均有 2 = 1不论不论 z1 z2，还是还是 z1 z2或或 z1 0区域内合成波的方程区域内合成波的方程; (5)x=- /2处质点处质点p的振动方程。的振动方程。解解 (1)沿沿x轴正方向传播的波轴正方向传播的波:)(cos1kxtay沿沿x轴负方向传播的波轴负方向传播的波:)(cos2kxtayqy2y1y43oxp68大学物理第5章机械波(2) 设设q点反射的反射波的波动方程为点反射的反射波的波动方程为yr)(coskxtayor 由于反射

44、壁处有半波损失，入射波由于反射壁处有半波损失，入射波y2和反射波和反射波yr在在q点相差应为点相差应为 ，即，即)(cos2kxtay)43()43(ktkto解得解得 o=-4 。最后得最后得q点反射波的波动方程为点反射波的波动方程为 )(coskxtayrqy2y1y43oxp69大学物理第5章机械波tkxayyyrcoscos22oq区域内合成波的方程为区域内合成波的方程为这是驻波方程。这是驻波方程。(4) x0区域内合成波的方程：区域内合成波的方程：)cos(2kxtay(3)cos(kxtayr)cos(1kxtay ryyy1)(cos2kxta这是行波方程。这是行波方程。yrqy

45、2y1y43oxp70大学物理第5章机械波tkxayyyrcoscos22就得就得x=- /2处质点处质点p的振动方程：的振动方程：)t(atay cos2cos2yrqy2y1y43oxp (5)将将x=- /2代入代入oq区域的驻波方程区域的驻波方程:71大学物理第5章机械波*5.6 多普勒效应多普勒效应 目前目前,多普勒效应已在科学研究、工程技术、多普勒效应已在科学研究、工程技术、交通管理、医疗诊断等各方面有着十分广泛的应交通管理、医疗诊断等各方面有着十分广泛的应用。用。 用多普勒效应分析分子、原子和离子的谱线增用多普勒效应分析分子、原子和离子的谱线增宽。宽。 测量和诊断大气、等离子体物

46、理状态。测量和诊断大气、等离子体物理状态。 车辆、导弹等运动目标的速度监测。车辆、导弹等运动目标的速度监测。 多普勒效应用来跟踪人造卫星。多普勒效应用来跟踪人造卫星。 “d超超”用来检查人体内脏、血管等情况。用来检查人体内脏、血管等情况。 在工矿企业中则利用多普勒效应来测量管道中在工矿企业中则利用多普勒效应来测量管道中有悬浮物液体的流速。有悬浮物液体的流速。p5072大学物理第5章机械波 波源和接收器波源和接收器(观察者观察者)相对于介质都是静止的相对于介质都是静止的,接收器接收到的波的频率与波源的频率相同。接收器接收到的波的频率与波源的频率相同。 什么是多普勒效应呢？什么是多普勒效应呢？ 接

47、收器接收器(或观察者或观察者)所接收到的频率等于单位时所接收到的频率等于单位时间内通过接收器间内通过接收器(或观察者或观察者)所在处的完整波数目。所在处的完整波数目。 如果波源或接收器或两者同时相对于介质运动如果波源或接收器或两者同时相对于介质运动时时,接收器接收到的频率和波源的频率不同。接收器接收到的频率和波源的频率不同。这一现这一现象称为象称为多普勒多普勒(doppler)效应效应。 假定波源和接收器在同一直线上运动。规定用假定波源和接收器在同一直线上运动。规定用 s表示波源相对于介质的运动速度；表示波源相对于介质的运动速度； r表示接收器相对于介质的运动速度；表示接收器相对于介质的运动速

48、度； u表示波在介质中的传播速度。表示波在介质中的传播速度。73大学物理第5章机械波1.波源和接收器相对于介质都静止波源和接收器相对于介质都静止 当波源和接收器相对于介质都静止时，波源当波源和接收器相对于介质都静止时，波源每作一次全振动，波就在空间传播一个波长的距每作一次全振动，波就在空间传播一个波长的距离，结果就有一个完整的波通过接收器，显然接离，结果就有一个完整的波通过接收器，显然接收器收器(或观察者或观察者)接收到的频率接收到的频率 vr 就等于波源的频就等于波源的频率率v ，即，即 vr=u / = vsu74大学物理第5章机械波vuuuvrrr r多多接收到的接收到的 波数波数 r

49、/ 2.波源静止，接收器相对于介质以波源静止，接收器相对于介质以 r运动运动 当接收器在介质中静止不动时当接收器在介质中静止不动时,他在单位时间内接他在单位时间内接收到收到u / 个波。个波。 现因接收器以速度现因接收器以速度 r向波源运动向波源运动,他在他在单位时间内多接收到单位时间内多接收到 r / 个波个波,所以他在单位时间内接所以他在单位时间内接收到的波数收到的波数,即他接收到的频率即他接收到的频率vr应为应为s接收器不动接接收器不动接收到的波数收到的波数u/ u75大学物理第5章机械波3.接收器静止，波源相对于介质以接收器静止，波源相对于介质以 s运动运动 ssvus 当波源和接收器当波源和接收器(观察者观察者)都静止，则分布在都静止，则分布在so内的内的波数在单位时间内都要通过接收器。波数在单位时间内都要通过接收器。由于波速不变，这些波数在单位时间内都要通过接收由于波速不变，这些波数在单位时间内都要通过接收器，但波长变短了。现在的波长是器，但波长变短了。现在的波长是suo 若波源以速度若波源以速度 s向着接收器运动向着接收器运动,单位时间内从单位时间内从s点点到达到达