李庆扬数值分析第五版及习题答案解析

1、WORD格式整理第5章复习与思考题1用高斯消去法为什么要选主兀？哪些方程组可以不选主兀？答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现akk=O的情况，这时消去法无法进行；即时主元素akkO，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主兀，以保证计算的进行和计算的准确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。 计算时一般选择列主元消去法。2、咼斯消去法与 LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b有何不同？ A要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因

2、式分解，其中一个为上二角矩阵U, 个为下三角矩阵L。用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，n-1）不为零。3、楚列斯基分解与 LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是 LU分解的一种，当限疋下三角矩阵L的对角兀素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解过程中兀素的数量级不会增长，切对角兀素恒为正数， 因此，是一个稳定的算法。5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范

3、数？给出三种常用的向量范数。向量范数定义见p53,符合3个运算法则。正定性齐次性三角不等式设X为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）nl|x|i=2： |Xi|n1|x|2 = （Xi2）2i=1|x|&=max |Xi |17、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A = （a j ）的三种范数| A| 1, | A| 2,II A| -, | Al 1与II All 2哪个更容易计算？为什么？ 向量范数定义见p162,需要满足四个条件。正定条件齐次条件 三角不等式 相容条件 矩阵的算子范数有I|A|iI|A|2IIAIL：从定义可知，|A |1更容易计算。8、

4、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？答：设A为非奇异阵，称数cond（A）v =|aFJ|a|v （ v=1,2严）为矩阵A的条件数 当cond（A） LI 1时，方程是病态的。9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？（1 ）矩阵行列式的值很小。（2 ）矩阵的范数小。（3 ）矩阵的范数大。（4）矩阵的条件数小。（5 ）矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵的有（1）、（2） 注：矩阵的条件数小说明 A是良态矩阵。 矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。10、判断下列命题是否正确：（1 ）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组 Ax = b的解。答：错误，主元位

5、置可能为0,导致无法计算结果。（2 ）对称正定的线性方程组总是良态的。答：正确。（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。答：正确。（4）如果A非奇异，则Ax = b的解的个数是由右端向量 b的决定的。答：正确。解释：若 A|b与A的秩相同，贝U A有唯一解。若不同，则 A无解。（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。答：正确。（7）奇异矩阵的范数- -定是零。答：错误，IITI泸可以不为。(8) 如果矩阵对称，则| A| 1 = IIA|答：根据范数的定义，正确。(9) 如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。答：错误，不选

6、主元时，可能除数为。(1)在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。(11)II A | i = |AT | “。答：根据范数的定义，正确。(12 )若A是nn的非奇异矩阵，则1cond(A)二 cond(A )。答：正确。A是nn的非奇异矩阵，贝U A存在逆矩阵。con d(A) =|根据条件数的定义有： 1co nd(A)=卜卜=卜卜|A =|A卜|A专业资料值得拥有aT 1A2设对称矩阵aiia11ai2.ai n丨ai2a22 .an 2_aina2n.ann3i2a，则经过1次高斯校区法后，有a

7、n2冃2nA =a22 - ai2ai1ain ai2aiiaiia22a”aiiai2annai2ai2 ai2 Ciain耳2ai11an2ainai2一ai naiia C n aan2 -ai2aiiaain aann 一 a naii所以 a： =a12旦2a22 ai2ai1an2ai2aina11ain.an2 ai2-311所以A2为对称矩阵。ann-ainain aii2、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为A = (aj)n，其中A=(ajj)n,步后A2-(aij) n 4 ；证明：(1)A的对角元素q 0 (i =1,2,IH, n) ； (2)A是对称正

8、定矩阵;(1)依次取Xi =(0,0，0,1,0，,0)T, i =1,2/ ,n，则因为A是对称正定矩阵, i所以有 aii = xT Ax 0。习题| 3ii1、设A是对称阵且aii =0，经过高斯消去法一步后，A约化为 11卫称矩阵。证明：(2) A2中的元素满足a(2 = aq 旦1 , (i,j=2,3,，n)，又因为A是对称正定 aii矩阵，满足 aq =aji, i, j =1,2,，n，所以 a(2) = a” _耳卍1=aji _印月1 = af , aiia11即A是对称矩阵。即1Lk =求证当i, j k矩阵。3、设Lk为指标为k的初等下三角矩阵(除第k列对角元以下元素外

9、，Lk和单位阵I相同)，1mk+,k1mn,k1时，Lk=lijLklij也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中Iij为初等置换4、 试推导矩阵 A的Crout分解A=LU的计算公式，其中 L为下三角矩阵，U为单位上三角 矩阵。本题不推导。参见书上例题。P147页。5、设UX二d ，其中U为三角矩阵。(1 )就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法(2) 计算解三角方程组 Ux =d的乘除法次数(3) 设U为非奇异矩阵，试推导求 U的计算公式本题考查求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算n-1,1时对应的求解公式。解法，略。6、证明：(1) 如果A是对称正定矩阵，则 AJ也

10、是对称正定矩阵(2) 如果A是对称正定矩阵，则 A可以唯一地写成 A二LTL，其中L是具有正对角元的下 三角矩阵均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。7、用列主元消去法解线性方程组12捲-3x2 3x3 =15三18x3x2 -x3 二-15x-i x2 x3 = 6并求出系数矩阵A的行列式的值123A= -183-11 1112-3315A|b= -183-1-151116使用列主元消去法，有-12-3315 1A|b =-183-1-151116 J-183-1-1512-33151116 一1-183-1-157=0-1537173106186 一-183-1-1571731=061860

11、-175-3-1-183-1-157173106186006666-217 一A的行列式为-66方程组的解为X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解(Doolittle 分解)求线性方程组的解111X1 + x? + - X3 = 9 456111cX| ： X2X3 =83451亍旨 +x2 +2x3 =8本题考查解：LU分解。I4131 ：2-|1151160161390957二b，其中540-12-10000-12-10，b =00 0-12-100 0 0-12 0 一9、用追赶法解三对角方程组Ax-1000A 二O解：追赶法实际为 LU分解的特殊形式。设 U为、单位上三角矩阵。

12、有(1)计算 的递推公式I =Ci/b = -1/2 = -0.52 =c2/(b2 -a2 冷)=-1/(2-(-1) (-0.5)=-2/3乜 弋/(鸟3 扮 一 1/(2 -(-1) (-2/3) 一3/44 -C4/(b4 -34 订)=1/(2-(-1) (_3/4)=4/5(2)解 Ly=fYi = f =1/2 y2 二厲-a?%)/?-a?+) =(0-(-1) (1/2)/(2-(-1) (-0.5)=1/3Y3 二亿 -32)/ 彳=(0-(-1) (1/3)/(2-(-1) (-2/3)“/4Y4 =(f4 七4丫3)/-34 飞)=(0-(-1) (1/4)/(2-(-

13、1) (-3/4) =1/5Y5 二厲 -35丫4)/他-35.) =(0-(-1) (1/5)/(2-(-1) (-4/5) =1/6(3)解 UX=yX5 二 y5 T/ 6& =y4 一 I4X5 =1/5-(-4/5) 1/6 =1/3x3 二 y3 - ：3x4 =1/4-(-3/4) 1/3 =1/2X2 二 y2 - ：2怡=1/3-(-2/3) 1/2 =2/3为- x2 =2-(-1/2) 2/3 =5/610、用改进的平方根法解方程组21本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见P15710723= V 亠=V 小=12399911、下列矩阵能否分解为 LU

14、 （其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么 分解是否唯一。123A = 24 16 7 一3 11_1 261,B=221 , C=25 15。3 3 16 15 46LU分解存在的条件一个可逆矩阵可以进行 LU分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩阵（或U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的LDU可分解条件也相同，并且总是唯一的。即使矩阵不可逆，LU仍然可能存在。实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。解：因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1, 0，-10，所以A不能直接分解为三角阵的乘积，

15、但换行后可以。因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1, 0，0,所以B不能分解为三角阵的 乘积。因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1, 5，1,所以C能够分解为三角阵的 乘积，并且分解是唯一的。12、设0.6 0.5 A= Ip.1 0.3计算A的行范数,列范数，2-范数及F-范数。本题考查的是矩阵范数的疋义及求法行范数 0.6+0.5=1.1列范数 0.5+0.3=0.82-范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幕法进行计算，也可以直接求。AT A的最大特征值为0.3690所以2-范数为0.6074F-范数 0.842613、求证：（a）虬訓隔（b）IAIIIAIIWf。根据定义求

16、证。xL二 max X|In空Xi八|二xi E n max Xj = ni空IxL。2 aIjmax (AtA)14、设P Rn n且非奇异，又设x为Rn上一向量范数，定义 冈厂PX 。试证明xp是Rn上向量的一种范数。根据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。显然 l|x|p =x|A0，网p =Pcx|=|c|Px| = |c|x|p、|xi +x?|p =|P(Xi +X2)|=|PX1 +Px2|M|Pxi|+|Px2| =|xi|p+|x2|p，从而 |xip 是 Rn上向量的一种范数i5、设A Rn n为对称正定，定义iXL =(Ax,X)2，试证明X

17、A是Rn上向量的一种范数。根据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。i显然 x a =(Ax,x)2 二 xT Ax 0i icx A =(Acx,cx)2 f c2(xTAx) =c(Ax,x)2 =c|x|Ai (Iki +X2IL =(A(Xi +x2),(Xi +X2)2 = J(Xi +X2)T A(Xi +X2) 兰 UxiTAXi + Jx2TAx2 =|xi|L +IIX2ILi6、设A为非奇异矩阵，求证|从nil1xl一燈肛制因为A1 =巴劭所以得证17、矩阵第一行乘以一数，成为A=2 I,证明当九=-时，cond(A)沪有最小值。113本题考查条件

18、数的计算con d(A)胡 AH|AL首先计算A的逆阵1IJ|3*22兀= |3九A 2当3，取得最小值为A脣討2,当內取值越大，则最小值为2从而 cond(A&=|A|AL = (+2) maxbp/， /u又当H *时，con d(A&=(t +2) max丸 |,2扛(色+2) 2 = 7。丸22当忖启3时，1 1cond(A)凶=(一 +2) max7。综上所述，cond(A)珀=7时最小，这时|M = -，即兀=士可。 33100 9918、设A = |，计算A的条件数cond(A)v (v = 2严)99 98 一由aJ100妙可知，A98 99 ,从而 99 98 一99 100

19、-98 99|-98 9919405 -19602|-19602 19801由 kl (A二)T(A二)K -19405 1960219602 几198012=1； - 39206199 100上9 100一AtA100 99 100 99 _ 19801 19602 99 98 J99 98*9602 19405一-39206 仁 0 ,人-19801 -1960219602 九19405可得卜|2 =卜冷=J19603 + J384277608，从而cond(A)2 = A 2 A2 =19603 384277608 ： 39206。IAL99 , 网悶=199，从而 cond(A)比彳=

20、199 99 = 39601。19、证明：如果 A是正交矩阵，则cond(A)2 =1若 A 是正交阵，则 A4 = At，从而 ATA = I , (AA二 AA = I ,故AIL =|aJ|L =1，cond(A)2 十|2傀=1 o20、设A,B Rn n，且*为Rn n上矩阵的算子范数，证明： con d (AB)空 co nd (A)co nd( B)co nd(AB) =|(AB)d|AB| = |BA*|AB|k|B 訓 A，|AII|B| = (|aF|aMbF|b|)=c on d(A)co nd(B)21、设Ax =b，其中A为非奇异矩阵，证明：(1) AT A为对称正定

21、矩阵；(2) cond(ATA)=(cond(A)2)2x(AtA)x =(Ax)t Ax =b20，所以ATA为对称正定矩阵。(co nd (A)2)2nTmax(A A)tmin( AA )cond(ATA)2 二 AtA(ATA)由于A a为对称正定矩阵，所以 Aa=aA2 max(ATA)T(ATA) min( ATA)(ATA)T) max(AAT)T(ATA) min( AAt)(AtA)t)则一 max(ATAATA) 、一 、min( AAtAAt)_ 卜 max(ATA)2 y Xmin( AAT )2_ max( AT A)T min( AA )2-(cond (A)2)第

22、7章复习与思考题1什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？P213，若f(x) Ca,b且f(a)f(b) ：0，根据连续函数性质可知f(x) = O在a,b内至少有一个实根，这时称a, b为f (x) = 0的有根区间。2什么是二分法？用二分法求f(x)=O的根，f要满足什么条件？P213一般地，对于函数 f(x) =0如果存在实数 c,当x=c时，若f (c) =0,那么把x=c叫做函数f(x) =0的零点。解方程即要求f(x) =0的所有零点。假定f (x) =0在区间(x, y)上连续，先找到a、b属于区间(x，y)，使f(a)f(b)c0，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f(

23、a b)/2),现在假设 f (a) : 0, f (b)0, a ： b 果f (a b)/2) =0，该点就是零点，如果f (a b)/2) ： 0 ,则在区间(ab)/2),b内有零点，从 开始继续使用中点函数值判断。 如果f (a b)/2)0，则在区间a,(a - b)/2)内有零点，从开始继续使用中点函数值判断。 这样就可以不断接近零点。通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。 从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。3什么是函数(x) =0的不动点？如何确定(x)使它的不动点等

24、价于 f (x)的零点P215.将方程f(x) =0改写成等价的形式(x)，若要求x*满足f(x*) =0，贝y x*二(x*)；反之亦然，称x*为函数(x)的一个不动点。4什么是不动点迭代法？(x)满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于(x)的不动点P215求f(x)=O的零点就等价于求.(X)的不动点，选择一个初始近似值X0，将它代入X(x)的右端，可求得X1 h卩(X0)，如此反复迭代有Xk 1 二(Xk),k =0,1,2,.，(X)称为迭代函数，如果对任何x0 a,b，由xk(xk),0,1,2,.得到的序列Xk 1有极限X-KHk则称迭代方程收敛，且X* =(X*)为

25、(X)的不动点 故称兀q二(Xk), k = 0,1,2,.为不动点迭代法。5. 什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定Xk 1 二(Xk)(k =0,1,2,.)的收敛阶P219设迭代过程Xk 1：(Xk)收敛于 (X)的根X*，如果当k时，迭代误差ek =xk -X*满足渐近关系式eP7 C,C = con st = 0e/则称该迭代过程是 p阶收敛的，特别点，当 p=1时称为线性收敛，P1时称为超线性收敛，p=2时称为平方收敛。以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。6. 什么是求解f(x) =0的牛顿法？它是否总是收敛的？若 f(x*) =0，x*是单根，f是光 滑，证明牛

26、顿法是局部二阶收敛的。牛顿法：f(Xk)Xk 1 = Xkf (Xk)当| f (Xk)卜J时收敛。7. 什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。在牛顿法的基础上使用2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2计算量弦截法 牛顿法(减少了倒数的计算量)8什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？P229设已知方程f（x）=O的三个近似根，Xk，Xk j，Xk，以这三点为节点构造二次插值多项式p（x），并适当选取p2（x）的一个零点 兀书作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。抛物线法的收敛阶1.840大于弦截法1.6

27、18，小于牛顿法2可用于所想是的实根和复根的求解。9什么是方程的重根？重根对牛顿法收敛阶有何影响？试给出具有二阶收敛的计算重根方法。10. 什么是求解n维非线性方程组的牛顿法？它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导 数与计算函数值相当）11. 判断下列命题是否正确：（1）非线性方程（或方程组）的解通常不唯一（正确）（2）牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确）（3 ）不动点迭代法总是线性收敛的（错误）（4）任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法（正确）（5）求多项式p（x）的零点问题一定是病态的问题（错误）（7）二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解（错误）（8）牛顿法有可能不收敛（正确）（9

28、） 不动点迭代法Xk（xk），其中X*二（x*），若（X*）卜：1则对任意处置x0迭代 都收敛。（对）（10）弦截法也是不动点迭代法的特例（正确）习题1、用二分法求方程x2_x1=0的正根，要求误差:0.05。解令 f(x)=x解1 )设(xH 12，则：(xH - 23，从而(1.5)23 = 16 1，所以迭代方法发散。28383.比较求ex 10x -2 =0的根到三位小数所需的计算量：f(16)有根区间为1）在区间0,1 1内用二分法；2 ）用迭代法Xk 1二（2 一 ）/10，取初值Xo =0f(32)二 e3217茴.03578 0,有根区间为有根区间为tv；11叫”2873 ：

29、0，有根区间为 _11218,32 ；23f （益）=庐-詈 1，即p (x)| 1，从而迭代 格式收敛。5. 用斯特芬森迭代法计算第2题中(2)和(3)的近似根，精确到10, o 斯特芬森迭代法是一种加速的方法。是埃特金加速方法与不动点迭代结合。6. 设，(x) =x-p(x)f(x)-q(x)f2(x)，试确定函数 p(x)和 q(x)，使求解 f (x) = 0 且以：(x)为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。(1) 牛顿法(2) 弦截法，取 X。=2“ =1.9(3) 抛物线法，取 X。= 1, x| = 3,x2 = 2f(Xk)二 Xk解1 ) XkXf(Xk)-3，Z，Xi32 2

30、123 2-3-Xk)=17 =1.888889，933xk -3xk 1 2xk1詈驚停945，迭代停止。2)f(Xk)/xk1 =xk (xkf(Xk)-f(X2)xk 3xk -1X(XIXi=1.9, x2,X。= 2， /、XkXk(Xk +Xj) +13(xk - xk)二-3Xk - 1) -(Xk J3Xk J 1)1.9 2 (1.92) 115.821.921.9 222 -38.412 Xk XkXkj15821.881094841Xk J 3X315828411582 215822()1.9 1.9 -384184129558143.42 84121.9 (1582 1

31、.9) 1841迭代停止。_ 2 2158221582 1.9 841 0.61 8412二咤竺2胡.8794115462043213) Xk 1 二 Xkf (Xk)厂2，其中尬 04f (Xk)fXk,X2,X2y： =fXk,Xk fXk,Xk4,Xk(Xk -XkG , Xo =1,X1 =3,X2 =2 ,f (x) = -3， f(x1)=17，f(x2)=1， f x, X1：X1 _x1710，fX2,X1=f(X2)-f(X1)仆，2-3fX0,X1,X2fX1,X2- fx,X1X2 -X16 T = 6，用=166(2 - 3) =10，2-1X3 =2 _10102 -

32、4 1 6-2-1=1.9465745，下略。1076WORD格式整理8.分别用二分法和牛顿法求x _ tan x = 0的最小正根。解：0是函数的一个根，0今时，x单调递增，tanx单调递减，趋于负无穷。TT 在此区间内，函数没有根。所以，最小正根大于.2当x接近且大于-时，函数值为正，当x接近且大于3_时，函数值为负。因此,-3最小正根区间为(2，2，选择仁2,函数值为-0.1850按二分法计算，略，x* =4.493424。SPkf(xk)按牛顿迭代法，其迭代公式为(x -tanxk ) xk二 4.493424f (兀)1 -ctanxk，取初始值 x=4.6，得 x9.研究求a的牛顿

33、公式xk1 = 1 (xk -a ), x00,证明对一切k=1,2,，2Xkxa且序列x1, x2 /是递减的证:显然，Xk 0，又因为x仁*个也严工。，所以专业资料值得拥有2k2Xkxk X %a, k =1,2,，又 xk卅一xk = l(xk +2) -xk = 0，所以序列是递2Xk-减的。10.对于f (x) =0的牛顿公式Xk .1 =兀-f (xQ / f (xQ，证明c, . *, *Rk =(X -Xk4)/(Xk4 -Xk)收敛到- f (x )/(2f (x )，这里 x 为 f (x)二 0的根。 证：Rk =(Xk -Xk1)/(Xk1 -Xk.2)f (xk J)

34、/ f (xk 二) (if (xk t) / f (xk /)Rk 1 =(Xk 1 -Xk)/(Xk -Xk-f (Xk) / f (Xk) (-f(Xk)/f (Xk)2f (Xk)/ f (Xk)f(Xk)/ f (Xk)(-f(Xk)/ f (Xk)2 (-f(X2)/ f (x3211.用牛顿法（4.13 ）和求重根迭代法（4.14）计算方程f（x）二sinx*I 2丿=0的cJT一个近似根，准确到10_，初始值=牛顿法（4.13），m=2XkXk =xk -mkf (Xk)sin Xk2f(xk)k 1 .xk (1 1sin Xk cosxk -2 2需要计算到 10，取黒=3.141592