第3讲线面垂直与面面垂直学生版

1、第3讲 线面垂直与面面垂直考试要求 1.空间中线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，B级要求；2.运用线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题，B级要求.梳理自测，理解记忆知识梳理1 .直线与平面垂直(1) 直线和平面垂直的定义如果一条直线I与一个平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线I与平面a互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平 面内的两条相交直 线都垂直，则该直线 与此平面垂直I7? I丄a性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行1&? a/ b2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相

2、交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2) 判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直h? aX 3性质定理如果两个平面互相垂直，则在一 个平面内垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面? I X a诊断自测1 判断正误(在括号内打“V”或“X”)2辛勺.”弋、，(1)直线I与平面a内的无数条直线都垂直，则I丄oc()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3) 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4) 若平面a内的一条直线垂直于平面 B内的无数条直线，则a丄3()L i .

3、V./ji 扌2. 给出下列命题： 如果平面aX平面3那么平面a内一定存在直线平行于平面 3 如果平面a不垂直于平面3那么平面a内一定不存在直线垂直于平面 3 如果平面 aX平面 y平面 肚平面Y aA 31，那么I丄平面 Y 如果平面aX平面3那么平面a内所有直线都垂直于平面 3其中错误的命题是 填序号).3. (2016浙江卷改编)已知互相垂直的平面 a, 3交于直线I，若直线m, n满足m/ a, nX 3给出下列结论：m/l :m/ n；n丄I :m丄n.其中正确的是（填序号）4. （2017盐城模拟）设a, B, 丫为互不重合的三个平面，I为直线，给出下列命题：若all B, aX

4、Y贝U B丄Y若a丄y B丄Y且aG A I，贝U I丄Y 若直线I与平面a内的无数条直线垂直，则直线I与平面a垂直； 若a内存在不共线的三点到B的距离相等，则平面a平行于平面B4# 4| Z L A .4 -k Z 丿其中真命题的序号为写出所有真命题的序号）.r jf- |b I- I5. （必修2P42习题16）在三棱锥P ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O,若PA= PB= PC，则点O是厶ABC的心.（2）若 PAXPB，PBXPC，PC丄FA，则点 O 是厶 ABC 的心.分类讲练.以例求沬考点一 线面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P ABCD中，PAX底面ABCD，

5、I y/ABXAD，ACXCD，/ ABC = 60, PA= AB= BC，E 是 PC 的中点.证明： CDX AE;(2)PD丄平面ABE.精心整理all B? a 丄 ；判定定且 AD= DB,规律方法 （1）证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性（a/ b, a丄a b丄a；面面平行的性质（a丄a,面面垂直的性质（clL B, aa, I丄a, I? l丄c）.（2）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【训练11（2017泰州期末）如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段A

6、B上一点,点C为圆0上一点，且BC = AC, PD丄平面ABC, PD = DB.求证：PA丄CD.考点二面面垂直的判定与性质【例2】(2015山东卷)如图，三棱台DEF ABC中，AB= 2DE, G, H分别为AC, BC的中点.求证：BD /平面FGH ;(2)若CF丄BC, AB丄BC,求证：平面 BCD丄平面EGH.规律方法 (1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理.(2)已知两平面垂直时，一般要用性质疋理进仃转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂精心整理直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】如图，在三棱锥 P ABC中，平面FAB丄平面 ABC,

7、 PA丄PB, M, N分别为AB, PA的中占I 八、(1)求证：PB/平面MNC;若AC= BC,求证：PA丄平面MNC.考点三平行与垂直的综合问题(多维探究)命题角度一平行与垂直关系的证明【例31】(2016江苏卷)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D, E分别为AB, BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D丄A1F, A1C1丄A1B1.求证:(1)直线 DE /平面 A1C1F;(2)平面B1DE丄平面A1C1F.A DB精心整理规律方法 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.ah P | X I, 3丿(2)垂直与平行结合问题，求解时应

8、注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.命题角度二 平行垂直中探索性问题【例3-2】如图所示，平面ABCD丄平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC = CE,点F为CE的中占八、(1)证明：AE/平面BDF ;点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P 若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说使得PM丄BE?明理由.规律方法(1)求条件探索性问题的主要途径：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多 为中点或三等分点中某一个，也可以根据相

9、似知识建点.【训练3】(2017南通调研)在如图所示的几何体中，面 CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形,AB/ CD，AC=, AB= 2BC = 2，AC丄FB.(1)求证：AC丄平面FBC;求四面体FBCD的体积；线段AC上是否存在点 M，使EA/平面FDM ?若存在,置，并加以证明；若不存在，请说明理由.课宴总结思想方法1 证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与a内任何直线都垂直？ a丄a；(2)判定定理1: ? I丄a；(3)判定定理2： a/ b，a丄a? b丄a；面面垂直的性质：a丄B, aA l， a? a， a丄I? a丄B;2.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两

10、个平面相交，所成的二面角是直二面角；（2）判定定理：a? a a丄 a丄33 转化思想：垂直关系的转化判定线线曜克 帶线血惟直器 廊面莊直+性眦性碗性质易错防范1证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.3 .面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.4. 在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的 联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化lilBli乍业丨分层训练，提升能力4I I /、*I .基础巩固题组j | /l- I（建议用时：40分钟）一、填

11、空题i I1. （2017南京调研）对于直线I， m,平面a m? a则“丨丄m”是“I丄a”成立的 件（从“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”中选填一个）.2. （2017深圳四校联考）若平面a 3满足a丄3 an片I，P a P?l，给出下列命题: 过点P垂直于平面a的直线平行于平面3 过点P垂直于直线I的直线在平面a内； 过点P垂直于平面3的直线在平面a内; 过点P且在平面a内垂直于I的直线必垂直于平面 B其中假命题为填序号）3.如图，已知PA丄平面ABC, BC丄AC,则图中直角三角形的个数为4. 在正三棱锥（底面为正三角形且侧棱相等）P ABC中，D , E

12、分别是AB, BC的中点，有下列三个论断：AC丄PB;AC/平面PDE:AB丄平面PDE.其中正确论断的序号为 .Pr jf /|IL 5. （2017苏北四市联考）已知a B是两个不同的平面，I, m是两条不同的直线，I丄a m? 3给出下列命题： a/ 3? I 丄m； a丄 3? I / m； m / a? I 丄 3 I 丄 3? m / ai I其中正确的命题是填序号）.6 .如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA丄底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBD丄平面PCD（只要填写一个你认为正确的条件即可）.7. （2017徐州检测）如图，以等腰直角三

13、角形 ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把厶ABD和厶ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论:BD丄AC;厶BAC是等边三角形;三棱锥D ABC是正三棱锥;精心整理平面ADC丄平面ABC.其中正确的是（填序号）.L 8. （2016全国U卷改编）a B是两个平面，m, n是两条直线，有下列四个命题:j i 如果 m n，ml a, n/ B,那么 aL B； 如果m丄a n/ a那么m丄n；i 如果all B, m? a那么m/ B;如果m/ n，all B,那么m与a所成的角和n与B所成的角相等.其中正确的命题有填序号）.、解答题9. （2017苏州调研）如图， ABC和厶B

14、CD所在平面互相垂直，且 AB= BC= BD = 2,Z ABC=ZDBC = 120 E, F, G 分别为 AC, DC, AD 的中点.(1)求证：EF丄平面BCG;(2)求三棱锥D BCG的体积.10. (2017盐城模拟)如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，AB= 2AD, PD丄底面ABCD,E, F分别为棱AB, PC的中点.(1)求证：EF /平面FAD;PC(2)求证：平面 PDE丄平面FEC.能力提升题组（建议用时：20分钟）11. （2017苏、锡、常、镇四市调研）设m, n是两条不同的直线，a, B是两个不同的平面:若 m n, n /L 一a,则 m a；若m /B,肚a 贝U m a；若ml B, n丄B, n 丄 a 贝U m a；若mn, n丄B,B丄a ,贝U m丄a上述命题中为真命题的是 （填序号）.12. （2017南京师大模拟）如图，在正方形 ABCD中，E, F分别是BC, CD的中点，沿AE, AF,EF把正方形折成一个四面体，使 B, C, D三点重合，重合后的点记为 P, P点在 AEF内的射影为O,给出下列结论：O是厶AEF的垂心；O是厶AEF的内心;O是厶AEF的外心；O是厶AEF的重心.其中结论正确的是填序号