2.1曲线与方程求曲线的轨迹方程教案

1、2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法.(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力. (三)学科渗透点 通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础. 二、教材分析1 .重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法.(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法.)2 .难点：作相关点法求动点的轨迹方法.(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解.)三、活动设计提问、讲解方法、演板

2、、小测验.四、教学过程(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质.我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析.(二)几种常见求轨迹方程的方法2 .直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法.例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于 k的动点P的轨迹方程；3(2)过点A(a, o)作圆O : x

3、2+y =R2(aRo)的割线，求割线被圆 O截得弦的中点的轨迹. 对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|二2R或 |OP|=0.解：设动点 P(x, y),则有 |OP|=2R 或|OP|=0.即 x2+y2=4R2 或 x2+y2=0.故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0.对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数.由学生演板完成，解答为： 设弦的中点为 M(x, y),连结OM , 则 OM XAM . kOM k

4、AM =-1 ,化简信仁-歌+/=守. 其轨迹是以OA为直径的圆在圆 O内的一段弧(不含端点).2 .定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的 轨迹方程，这种方法叫做定义法. 这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或 差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件.例2设Q是圆/+好=4上的动点，另有点0),线段AQ的垂直平分线l交半径OQ于点P(见图2 45),当Q点在圆周上运动时，求点 P的轨迹方程.02-45分析：点P在AQ的垂直平分线上，|PQ|=|PA|.又P在半径OQ上.，|PO|+|PQ|=R,即 |PO|+|PA|=R

5、.故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义写出P点的轨迹方程.解：连接 PA . lPQ,|PA|=|PQ|.又P在半径OQ上.|PO|+|PQ|=2.|PO|PA|=2,且2匈.由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆.由2贸=2. 2c =#得;a=L c = 2 从而b=故所求椭圆方程为区-孚尸即为点P的轨迹方程. W-3 .相关点法若动点P(x, y)随已知曲线上的点 Q(x0, y0)的变动而变动，且 x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点 P的轨迹方程.这种方法称为相关点法(或代换法).例3已知抛物线y2=x+1 ,定点A(3, 1)、B为抛物

6、线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP ： PA=1 ： 2,当B点在抛物线上变动时，求点 P的轨迹方程.分析：B的联P点运动的原因是 B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点系.解：设点P(x, y),且设点B(x0, y0)则有媪=X0 +1.BP : PA=1 ： 2,且P为线段 AB的内分点.由定比分点公式得.X:即y3%=年71y0将此式代入戴=双十中，并整理得,31区=:尸即为所求轨迹的方程,它是一条抛物沸.4 .待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求.例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线仅有两个公共点，又直绻二

7、2工被双曲线截得线段长等于2芯,求让皿曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方K = cE -i-cos B则 Ry = sinu + gin p解：设所求双曲赧方程为4-W = l,将/ =4时3t彷程整理得 a b2ax2-4b x+a2b2=0因此方抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等,程 ax2-4b2x+a2b2=0 应有等根. 二1664-4Q4b2=0,即 a2=2b.(以下由学生完成)由b V M 得-3皆=0.由弦长公式得：2、B = J1 +2, J（ +案- 4- =4;羔）.即 a2 b2=4b2-a2

8、.丁- b =1 kL，双曲线的方程为(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果.练习题用一小黑板给出.1 . ABC 一边的两个端点是 B(0 , 6)和C(0 , -6),另两边斜率的积是(求顶点A的轨迹2 .点P与一定点F(2, 0)的距离和它到一定直线 x=8的距离的比是1 ： 2,求点P的轨迹方 程，并说明轨迹是什么图形？3 .求抛物线y2=2px(p 0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：22L 2= 1&V - 6或6)(直惹法)36 812,己:=1轨迹是长半轴等于4短判由等于2、月的椭圆(定义1 u 1Z义法)工(相关点法)设式其，yQ)是抛物线上任意

9、一点，F(f , 0)是焦点， -IMg到是PF的中点p则y；=2叫由中点坐标公式得：_K在极坐标系下，如果等边二角形两个顶点是A(2, B(2,57T一W7T彳坑b则顶点C的极坐标是(20，2km丁J或(2、伉2kH - -将此式代入第=2PA得：的）。=-4即r =P依-卷）为所求的轨迹方程.（四）小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1 .两定点的距离为 6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2 .动点P到点F1（1, 0）的距离比它到 F

10、2（3, 0）的距离少2,求P点的轨迹.3 .已知圆x2+y2=4上有定点 A（2 , 0）,过定点A作弦AB ,并延长到点 巳 使31AB|二2|AB| ,求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点 A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=42. |PF2|-|PF|=2,且|F1F2|，P点只能在x轴上且xv 1 ,轨迹是一条射线3. 九）、P（x, y）则有y；+君=4而由31ABi=2|AP|得：=弓网1AB/.|BPM|-|AE|=-|AB| ，裾=2 小 2 乂 2 -由定比分点公式得一”门 y + 2 x 0JQ = 1+2r 2 +2x即 一2yy0 -y 将