一元二次方程应用题经典题型汇总含答案(2)

1、一元二次方程应用题经典题型汇总同学们知道，学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案白正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型 题目，举例说明.一、增长率问题例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%,商厦

2、从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意，得200(1 20%)(1+ x)2= 193.6 ,即(1+x)2= 1.21 ,解这个方程，得刈=0.1, X2=2.1 (舍去).答这两个月的平均增长率是 10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中 每一个数据的意义，即可利用公式 m(1+x)2=n求解，其中mvn.对于负的增长率问题，若 经过两次相等下降后，则有公式m(1 x)2= n即可求解，其中m>n.二、商品定价例2 益群精品店以

3、每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商 品售价a元，则可卖出(350 10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过 20%,商 店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解 根据题意，得(a 21)(350 10a)=400,整理，得 a256a+775 =0,解这个方程，得ai = 25, a2=31.因为21X(1+20%)= 25.2,所以a2=31不合题意，舍去.所以 350 10a= 350 10X25= 100 (件).答 需要进货100件，每件商品应定价25元.说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3王

4、红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给 希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入 ，这时 存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后，可得本金和利息共 530元，求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得1000(1+ x)- 500(1+0.9 x)=530.整理，得90x2+145 x 3 = 0.解这个方程，得 刈0.0204 = 2.04% , x21.63.由于存款利率不能为负数，所以将x21.63 舍去.答 第一次存款的年利率约是2.04%.说明这里是按教

5、育储蓄求解的，应注意不计利息税.四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁 边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人 没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解 设渠道的深度为xm,那么渠底宽为（x+0.1）m ,上口宽为（x+0.1+1.4）m.则根据题意,得 2 (x+0.1+ x+1.4+0.1) x= 1.8,整理，得 x2+0.8x1.8=0.解这个方程，得xi = 1.8 （舍去），x2= 1.所以 x+1.4+0.1 = 1+1

6、.4+0.1 =2.5.答 渠道的上口宽2.5m,渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味,就能从中找到等.量关系，列出方程求解.五、古诗问题例5 读诗词解题：（通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物而立之年督东吴，早逝英年两位数十位恰小个位三，个位平方与寿符哪位学子算得快，多少年华属周瑜解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3.则根据题意，得x2=10（x 3）+x,即x2-11x+30 =0,解这个方程,得 x= 5或 x= 6.当x = 5时，周瑜的年龄25岁,非而立之年，不合题意，舍去；当x = 6时，周瑜年龄为3

7、6岁,完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.说明本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979 , 1980 , 1984 , 1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手 参加.解 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n 1)个选手比赛一局，共计n(n1)1局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为2n(n 1)局.由于每局共计

8、2分，所以全部选手得分总共为n(n 1)分显然(n 1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0, 2, 6,故总分不可能是1979 , 1984 , 1985 ,因此总分只能是 1980,于是由 n(n 1)= 1980,得 n2n 1980 =0,解得 n1 = 45, n2=- 44 (舍去).答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.

9、请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000X 25= 25000 <27000 ,所以员工人数一定超过25人.则根据题意，得1000 20(x 25)x = 27000.整理，得 x275x+1350 =0,解这个方程，得 X1 = 45, X2=30.当 x = 45 时，1000 20(x 25) = 600 < 700 ,故舍去 x1 ；当 x2=30 时，1000 20(x25)= 900 >700,符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解

10、还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元如果人数超过25人，每增加1 人，人均旅游费用解氐20元 且人均旅游费用不得彳舒700八、等积变形例8将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1 （如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路（2）设计方案2 （如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件？若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.2解 者B能.（1）设小路宽为 x,则 18x+16 xx2= 3 x

11、 18 X 15即 x2-34x+180 =0,34 土阿解这个方程，得x=2 ，即x=6.6.2（2）设扇形半径为 r,则3.14r2= 3 x 18 x 15即 r257.32 ,所以 r=7.6.，.fflo图二图3明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形 变积也变，但重量不变，等等.九、动态几何问题例9 如图4所示，在4ABC 中，Z C= 90?/SPAN> , AC= 6cm, BC= 8cm ,点 P 从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速 度移动.(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，

12、可使4PCQ的面积为8平方厘米？(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得4PCQ的面积等于ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.因为/C= 90?/SPAN> ,所以 AB =10 (cm)(1)设 xs 后，可使 4PCQ 的面积为 8cm2,所以 AP= xcm , PC= (6 x)cm, CQ =2xcm.则根据题意，得 (6为xa= 8.整理，得x26x+8=0,解这个方程，得xi = 2, x2 =4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使 PCQ的面积为8cm2.(2)设点P出发x秒后，4PCQ的面积等于4ABC面积的一半.1 1 1则根据

13、题意，得2(6 x)x=2x2x6x凝理，得x26x+12=0.由于此方程没有实数根，所以不存在使4PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻说明本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据 路程=速度x时间.十、梯子问题例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.(1)若梯子的顶端下滑1m,求梯子的底端水平滑动多少米？(2)若梯子的底端水平向外滑动 1m,梯子的顶端滑动多少米 ？(3)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解 依题意，梯子的顶端距墙角=8 (m).(1)若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动

14、 xm.则根据勾股定理，列方程7，(6+ x)2= 102,整理，得x2+12 x-15=0,解这个方程，得x产1.14, x2 = 13.14 (舍去)，所以梯子顶端下滑1m,底端水平滑动约1.14m.(2)当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动 xm.则根据勾股定理，列方程(8*)2+(6+1)2 = 100.整理，得x2 16x+13 =0.解这个方程，得x1=0.86, x2 = 15.14 (舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86m.(3)设梯子顶端向下滑动 xm时，底端向外也滑动xm.则根据勾股定理，列方程(8 x)，(6+ x)2= 102,整理，

15、得2x24x=0,解这个方程，得x1 = 0 (舍去)，x2= 2.所以梯子顶端向下滑动 2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.卜一、航海问题.图5例11 如图5所示，我海军基地位于 A处，在其正南方向200海里处有一重要目标 B,在B的正东方向200海里处有一重要目标 C,小岛D恰好位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛 D的正南方向，一艘军舰从 A出发，经B到C匀速巡航.一艘补给船同时从 D出发，沿南偏西方向匀速直线航行 ，欲 将一批物品送往军舰.(1)小岛D和小岛F相距多少海里？(2)已知军舰

16、的速度是补给船的 2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于 E处， 那么相遇时补给船航行了多少海里？(精确到0.1海里)1解(1) F位于D的正南方向，则DFLBC.因为AB，BC, D为AC的中点，所以DF= 2 AB=100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.(2)设相遇时补给船航行了x海里，那么 DE= x海里，AB+BE= 2x海里，EF=AB+ BC- (AB+ BB CF= (300 2x)海里.在RtDEF中，根据勾股定理可得方程x2= 1002+(300 - 2x)2,整理，得3x2 1200X+100000 =0.100V6looTe解这个方程，得x1 = 200 =1

17、18.4, x2= 200+(不合题意，舍去)所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系 ，并能从图 形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息例12 如图6所示，正方形 ABCD的边长为12,划分成12X12个小正方形格，将边长 为n （n为整数，且2wnw11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张nxn的纸片正好盖住正方形 ABCD左上角的n xn个小正方形格，第二张纸片盖住第一 张纸片的部分恰好为（n 1） x n 1）个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形 ABCD

18、 的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，？完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表纸片的边长n23456使用的纸片张数（2）设正方形 ABCD被纸片盖住的面积 （重合部分只计一次）为S1,未被盖住的面 积为S2.当n = 2时，求S &的值;是否存在使得S = S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由当 n = 2时，Si=- 22+25 X 2 T2 = 34 , S2= 12 X 1234= 110.所以 & S=34 110 = 17 55.1若 S1=S2,则有n2+25 n 12= 2 x 12,即 n

19、225n+84 = 0,解这个方程，得n1 = 4, n2 = 21 （舍去）.所以当n = 4时，S = S2.所以这样的n值是存在的.说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次 方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正 方形.（1）要使这两个正方形白面积之和等于17cm 2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请

20、说明理由.解（1）设剪成两段后其中一段为 xcm ,则另一段为（20 x） cm.（xY加-丁则根据题意,得I" +1 4 J =17,解得X1=16, X2 = 4,当 x=16时，20 x= 4,当 x=4时，20 x=16,答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm,则另一段为（20y） cm.则20-j+ 14) =12,整理，得 y2 20y+104 = 0,移项并配方，得(y10)2 =-4<0,所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.说明 本题的第(2)小问也可以运用求根公式中的 b2 4

21、ac来判定.若b24ac> 0, 方程有两个实数根，若b2-4ac< 0,方程没有实数根，本题中的b2 4ac= 16 v 0即无 解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7,在等腰梯形 ABCD中，AB=DC=5, AD = 4, BC= 10.点E?在下底边 BC上，点F在月AB上.(1)若EF平分等腰梯形 ABCD的周长，设BE长为x,试用含x的代数式表示 4BEF 的面积；(2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分 ？若存在，求出此时 BE的长；若不存在，请说明理由；(3)是否存在线段 EF将等腰梯形 ABCD的周长和面积同时分成1 2的两部分？

22、若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由解(1)由已知条件得，梯形周长为12,高4,面积为28.过点F作FGi±BC于G,过点A作AKBC于K.127则可得，FG=5 X4,224所以 S/ bef=BE FG= - 5 x2+ 5 x ( 7 咏w 10).，224(2)存在.由(1)得一5x2+5x=14,解这个方程，得X1 = 7,X2= 5(不合题 意，舍去)，所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE= 7.(3)不存在假设存在，显然有SzbefS多边形afecd =12,21628即(BE+BF) (AF+AD+DC)=1 2.则有一5 x2+ 5 x= 3 ,整理，得3x224x+70 =0,此时的求根公式中的 b24ac= 576 - 840 <0,所以不存在这样的实数 x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1 2 的两部分.说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定 x的取值范围；二是在求得x2=5时，并 不属于7WxW10,应及时地舍去；三是处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方程来 探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例15 在如图8中，每个正方形有边