一元二次函数、方程和不等式专项测试卷及答案解析

1、高一上学期数学专项测试卷一元二次函数.方程和不等式考生注意：1.本试卷分第I卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分，共150 分，考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第I卷(选择题共60分)一、单项选择题(每小题5分，共40分)1 .若则关于X的不等式(“一外卜的解集为(B)(D) lx.r>-<a, A 1(A)(C)小>。或丫2 .如果二次函数)，=/+2Z + 7 + 2有两个不同的零点,那么实数?的取值范围是【】(A) 卜2<m< 1(B) m- 1</?< 2(C) "?<- 1 或切> 2(D) &qu

2、ot;“"7 <-2或? > 13.记不等式(x *x+2)<0的解集为A.不等式x(x-l)W0的解集为B.若3aA.则正数?的取值范围为【】(A) mm > 1(B) mm > 1(C) mm < 1(D)4.要使关于x的方程/ +(1 -1卜+ -2 = 0的一个根比1大且另一根比1小,则实数。的取值范围是【】(A) 4 1<”2(B) a-2<a<1(C) aa < -2(D) aa > 15 .若关于x的不等式/-(4 + 1“ +。<0的解集中恰有一个整数，则a的取值范围是1】(A) 4-1<4

3、&0或2-(B) 4|-2<“工-1或3Va&4(C) 4-1工”0或24工3(D) 4-2<“<-1或3<“<46 .共享单车给巾民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批共享单车投放到某地给市民使用，据市场分析，每辆单车的累计收入v (单位：元)与营运天数X (xeN*)满足关系式y =+60X-800,要使累计收入高于800元，则营运天数x的取值范围为【】(A) N30vx<90”N*(B) N3O<x<4O”N*(C)340Vx<80,xeN*(D)320Vx<6O,xeN*第20页7 .已知IWxW2,V -or

4、0恒成立，则实数a的取值范围是【】(A) aa > 1(B) aa > 1(C) aa < 1(D) aa < 18 .设集合尸=训-1 < "Y 0, Q = m e Rmx2 + 4mL 4 V 0对任意实数*恒成立，则下列说法正确的是【】(A)尸是。的真子集(B)。是P的真子集(C)尸=Q(D)mc=09 .某小区的蓄水池每日零时均有水400吨,并从零时开始，以每小时60吨的速度匀速向蓄水 池注水，同时向该小区不间断供水，/小时内供水总量为120际(0W/W24)吨.若蓄水池的 供水量小于80吨，则会出现供水紧张的情况，则每日处于供水紧张情况的时长

5、为【 】(A) 6小时 (B) 7小时 (C) 8小时 (D) 9小时10.在R上定义运算以0)，=人(1一)，).若不等式(工-4)0(+ 4)<1对任意实数工都成立, 则实数a的取值范围为【】1 31(A) < a- - <a< (B) t/|0<a<2f 311(C) a- <a<(D) a-<a<-l 22一11.(多选)已知a£+/* + c>0的解集为何-1<工<2,则下列x的取值范围能使不等式a(x2 +1) +匕*一1) +。<2。成立的是【】(A) a0<x<3(B) x

6、x > 3(C) ax<0(D) a|-2<x<112.(多选)若关于x的一元二次方程(x-2)次-3) = m有实数根再且再v&，则下列结 论正确的是【】（A） - P| m = 0 时,xi = 2, x2 = 3（B） m> 4（C）当机>0时,2<» <$ <3（D）二次函数y = （x -内Xx - &） + ?的图象与x轴交点的坐标为（2,0）和（3,0）第n卷非选择题（共8分）二、填空题（每小题5分，共20分）13 .已知集合A = +2 + （? + 2）x + I = 0,集合8 = #>

7、0,若力0 3 = 0，则实数的取值 范围是.14 .若实数阳,修为方程V -2/加+加+ 6 = 0的两根，则实数/的取值范围是（占-2）2 + （% -2的最小值是.（第一空2分，第二空3分）15 .如图所示,有长为30 m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10 m），围成中间隔有 一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃.设花圃的一边A5为xm,而积为），nR如果围成的花圃的 而积不少于63 nR则a-的取值范围是.ad-b''c16 .研究问题:已知关于x的不等式以2 一队+ c>o的解集为邓 <入.<2,解关于x的不等式1 （211CX1 -/* +。&

8、gt;0,解法为:由。、,一反1 +。>0得4一一 +。- >0 .令 y = -,则一<y<l,所 x yx）x2以不等式er? -瓜 +。> 0的解集为01 < x < 1 ,参考上述解法，己知关于x的不等式 + 匕心<0的解集为0-2<工<-1或2Vx<3,则关于x的不等式上一 十”口 <0的解集为 x + cax- cx-三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 .（本题满分10分）（1）当a = 3时，求不等式£+磔+ 2<0的解集；（2）若不等式£ + + 2

9、 >。的解集为R.求实数的取值范围.18 .（本题满分12分）当0cxv 1时,若关于x的二次方程V + 2,nx +1 = -2机有两个不相等的实数根,求实数m的 取值范围.21.（本题满分12分）设p：实数x满足/一26一342<0 （。>0）国:实数K满足2Wx<4.（1）若4 = 1,且PM都为真命题，求X的取值范围；（2）若q是充分不必要条件,求实数4的取值范围.22.（本题满分12分）已知二次函数），=ax2-bx+.（1）是否存在实数。力,使不等式a/ -加+1 >0的解集是邓<x<2?若存在，求实数a,。 的值，若不存在,请说明理由；（

10、2）若“为整数力=。+ 2,且方程瓜+ 1 = 0在入笛的一2<工<一1上恰有一个实数根,求“的值.高一上学期数学专项测试卷一元二次函数.方程和不等式答案解析考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150 分，考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第I卷（选择题共60分）一、单项选择题（每小题5分，共40分）若,则关于X的不等式（a-外>0的解集为/ A、1 I(A)>(D) lx.r>-<a, (C) <xx>aix< > 答案【A】 解析本题考查含参不等式的解法，注意解集的形式，在进行根的

11、大小比较时要注意分类讨论.另外，在解一元二次不等式时，要把不等式化为左边是几个因式的乘积，且每个因式最高次 项的系数为正，右边是。的形式.(a x) j>0 ,(x-“): 0 v a < 1,工一> a.1原不等式的解集为卜 ，选择答案【A】.2.如果二次函数），=/+2M + 7 + 2有两个不同的零点,那么实数?的取值范围是【】（A） m- 2 < m < 1（B） m- 1</?< 2（C）-1 或m > 2（D） mm < - 2 或 ? > 1答案【C】解析 本题考查零点的定义：我们把使一元二次方程以2+/“ + c =

12、0的实数X叫做二次函数), = a/ +bx + c的零点.对零点的理解(1)二次函数的零点即相应一元二次方程ad +b + c = 0的实数根；(2)根据数形结合，二次函数的零点,即二次函数的图象与x轴的交点的横坐标，且交点的个 数等于零点的个数；(3)并非所有的二次函数都有零点.当A = -4« 20时，一元二次方程有实数根，相应二次 函数存在零点. 二次函数y = x2 + 2mx + / + 2有两个不同的零点 方程£ + /» + 2 = 0有两个不相等实数根.，4 = (2，一4(？ + 2) = 4/-4/-8>0,解之得:?>2或?V一

13、1. 实数m的取值范围是叫 < -1或? > 2. 选择答案【C】.3.记不等式(X- *x+2)<0的解集为A,不等式x(x-l)W0的解集为B.若BuA,则正数m的取值范围为【】(A) m|m> 1(B) m|w> 1(C) m|m< 1(D) /n|m< 1答案【A】解析本题考查一元二次不等式的解法和根据集合之间的基本关系确定参数的取值范围.解不等式x(x -1) W0得:0W x W1. ,. B = .x0<x<.V m为正数,. ? > -2,原不等式的解集为A = a-|- 2<x<m.；3 = A,:. m

14、> 1. .正数机的取值范围为训小>1. 选择答案【A】.4.要使关于x的方程/ +(“2 -1卜+ -2 = 0的一个根比1大且另一根比1小，则实数。的取值范围是【】(A) a-l<a<2(B) a|-2va<l(C) aa < -2(D) aa > 1答案【B】解析 本题考查一元二次方程实数根的分布(K分布).结论 一元二次方程a/+/u+c = O (a>0)的一个根大于匕另一根小于左的条件是 幻 <0.设 f(x) = x2 +(4 ' - 1卜 + " - 2由题意可知：/'(1) = 1 +。2 -1

15、+ “-2<0,解之得:一2<。<1.实数的取值范围是“卜2 <a v 1.选择答案【B】.5.若关于X的不等式/-(4 + 1" + 4<0的解集中恰有一个整数，则的取值范围是1】(A) 4-1<a&0或2Wav3(B) 4卜2<“WT或3<“工4(C) 4-1&"0或2<心3(D) 4-2<“<-1或3<"4答案【C】解析本题考查含参一元二次不等式的解法.原不等式可化为:(X-x-a)<0.当。> 1时原不等式的解集为刈< x <。. 其解集中恰有一

16、个整数,2<a W3;当a = 1时,(x-< 0，原不等式的解集为空集,不符合题意；当a < 1时，原不等式的解集为< x < 1 . 其解集中恰有一个整数,一1 Wa<0.综上所述,实数"的取值范围是“卜1Wa <0或2 <“ W3. 选择答案【C】.6.共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批共享单车投放到某地给市民使 用，据市场分析，每辆单车的累计收入y (单位：元)与营运天数X(XWN*)满足关系式 y = x2 +60-800.要使累计收入高于800元，则营运天数X的取值范闱为【 】(A) 甲0<x<9

17、0,xeN*(B) 巾0vx<4O”N*(C) .M40Vx<80”N*(D) 320Vxv60.xeN*答案【c】解析本题考查一元二次不等式的应用.由题意可知:一,一 + 60%一800>800,整理得-120x +3200<。. 2解之得：40 < x < 80,且 x e N*.营运天数x的取值范围为何40 <a< 80, x e N * .选择答案【C】.7 .已知1WxW2,/心>0恒成立，则实数。的取值范围是【 】(A) ua> 1(B) «|« > 1(C) aa < 1(D) aa &l

18、t; 1答案【D】解析本题考查一元二次不等式的恒成立问题.,.,1WxW2,/ -oy>0恒成立 “ < X 恒成AL, 4 < 尤nun = 1 , 实数。的取值范围是，山<1. 选择答案【D】.8 .设集合P=训- 1 </ <0, Q = e Rm.x2 + 4/;« -4< 0对任意实数*恒成立，则下列说法正确的是【 】(A) P是。的真子集(B)。是尸的真子集(C) P = Q(D) PA(2 = 0答案【A】解析 本题考查含参一元二次不等式的恒成立问题,注意对二次项系数是否等于0进行讨论.对于集合。，当? = 0时,一4<0

19、恒成立，符合题意；m < 0当用工0时，则有，解之得:一 1Vm<0.口 二 (4垃 +16/h<0综上所述,Q = /h e Rmx2 + 4/m -4< 0对任意实数x恒成立 = ,h|-1 < zn < 0.V P = m-l<m<Q9：. PiQ.，选择答案【AL9.某小区的蓄水池每日零时均有水400吨,并从零时开始，以每小时60吨的速度匀速向蓄水池注水，同时向该小区不间断供水1小时内供水总量为12O、R7 (0WV24)吨,若蓄水池的供水量小于80吨，则会出现供水紧张的情况，则每日处于供水紧张情况的时长为【 】(A) 6小时 (B) 7

20、小时 (C) 8小时 (D) 9小时答案【C】解析本题考查数学核心素养数学建模.由题意可知：400 + 60120际<80.整理得：3,+ 16 <6疝.V 37 +16 > 0, J (3r +16<(6际)整理得:9/-120/ + 256 <0,A (3/-8)(3 32)v0.m，,田 832解之得：大<，<< 33每日处于供水紧张情况的时长为8小时.3 3选择答案【C】.10.在R上定义运算®：x0y = A-(l- y) ,若不等式(x-a) ® x + a)<对任意实数x都成立,则实数的取值范围为(A)-&

21、lt;«<-(C) 止(B) r/|0<a<2f 3I(D) a-<a<-(I 22J答案【A】 解析本题考查与一元二次不等式有关的恒成立问题.Vx®y = x(l-y) :.(x - a)耸(K + a) v I,即(X - a)(l - x - 4)< I 整理得：丁 X G/2 -6/-l)>0.由题意可知: = (-1)2+4(1-4-1)<0,.,.(24 + lX2a-3)<0,解之得:实数，的取值范围为2 2J选择答案【A.另解：由上面的解法知：x a(t/* n l)>0.，a? a 1 <八

22、,“恒成立，只需- a 1 < (厂一人)由即可113，a? 。一 1<一一，；.加？ -4a 3<0,解之得：一一<<二.422,实数”的取值范围为2 2J选择答案【A】.11.(多选)已知。炉+云+。>0的解集为R-lvx<2,则下列x的取值范围能使不等式”(x? + 1) + A(x-l) + c<2za 成立的是【】(A) .xjO<x<3(B) x|x>3(C) 中<0(D) a|-2<a-<1答案【BC】解析本题考查一元二次不等式与对应的一元二次方程之间的关系.注意，一元二次不等式的 解集的端点值就

23、是对应一元二次方程的解(实数根).V ax2 +bx + c>0 的解集为x-1 < a- < 2。<0,方程+取+。= 0的解分别为- 1和2.- = -1 + 2 f由根与系数的关系定理可得：“，工一 .c 1 个 c = -2a = "1x2laV a(x2 + l) + Mx- 1) + c <2at :.a(x2 +l)-a(x l) 2a<2at,： ax2 3ai<0.V a<09. ax2 -30V<0同解于-3x>0.解之得:x>3或x<0.工选择答案【BC】.12.(多选)若关于x的一元二次方

24、程(工-2)&-3) = /有实数根当,且项<£,则下列结论正确的是【 】(A)当? = 0时d=2,& =3(B) m> 4(C)当?>0时,2<» <% <3(D)二次函数y = (x - x Jx - 8) + /的图象与x轴交点的坐标为(2.0)和(3,0)答案ABD 解析本题考查一元二次函数、一元二次方程之间的关系.对于(A),当m = 0时,(工一26-3) = 0,解之得:再=2,出=3,故(A)正确;对于(B)，整理(x-2XX-3) = ?得:V-5x + 6-? = 0 .由题意可知，该方程有两个不相等

25、的实数根,. = (-5)2-4(6-?)>0,解之得:而> 1.故(B)正确；4对于(C),采用数形结合的思想方法，设咒=(a -2X-V-3), % = "L则方程(x-2x-3) = m的解的问题就转化为两个函数y,%的图象的交点问题.如下图所示，显然，当>0吐有凡<2<3<% .故(C)错误；对于(D) ,方程(X - 2X-V - 3) = m，即(x - 2x - 3) - /? = 0 的实数根为项,x2(x - 项 Xx 一 ) = (4 - 2)(x - 3) 一 m.二 y =(X - x x 一 "2) +111 =

26、(X 2乂3 - 3) m 4- m = (x 2)(x - 3).，二次函数，=(八一用(&) +，的图象与工轴交点的坐标为(20)和(3,0).故(D)正 确.选择答案【ABD】.第II卷非选择题(共90分)二、填空期(每小题5分，共20分)*13.已知集合A = 中二4- (? 4- 2)x + 1 = 0，集合B = x|x > 0,若力0 3 = 0，则实数的取值 范围是.答案m|m > -4解析 本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系.在利用条件= 0时，要注意分 A = 0和A工0两种情况进行讨论.当 A = 0 时，显然 408 = 0.此时 = (?

27、+ 2一 4 = ?？ +4/<0,解之得:一 4Vm<0;当A w0时,设方程/ + (/ + 2)x + l = 0的两个实数根分别为x,x2.*： B = xx>O,ACB = 0方程X2 + (,» + 2)x+l = 0无正实数根.由根与系数的关系定理可得:$+%=-(/ +2),M-壬=1>0,显然,不壬均为负数.，解之得:1 20.-(/? + 2)<0综上所述，实数，的取值范围是，冲，> -4 .14 .若实数凡,毛为方程V -2/小+m+ 6 = 0的两根，则实数/的取值范围是(» -2+(占一2的最小值是.(第一空2分

28、，第二空3分)答案 / 23 或？ W-2,2解析本题考查一元二次方程与一元二次函数的关系.由题意可知: = (- 2m)2 -4(m + 6) 20,解之得:m 23或切W -2.由根与系数的关系定理可得:项+x2 =2?,毛/=? + 6.(A'j 2) + (x, - 2) X' 4 a-I + 4 + x； 4a + 4 =+ x, - 4(X| + x,) + 8=(k 4-x2 )* 4(f +x;) + 4 + 4 - 2-x, = (x, + x2 - 2)' +4 2xtx2.(A) 2+ (x, - 2) = (2m 2): +4 2(/ + 6)

29、= 4(m 2 _41"4"当? = 3时,（2）2 +（ -2取得最小值，最小值为4x（3 g） - = 2.另解：(占 - 2)一 + 另2 - 2)2 > 2(xt 2)(x2 - 2) = 2xtx2 - 4(2 + x2) + 8 = 2(m + 6) 8m + 8 =-6? + 20.当且仅当占一 2=出一2,即=电时，等号成立.此时, = (一2m)2 -4(m + 6) = 0,解之得:mx = -2,m2 = 3.显然，当m = 3时,（-2）2 + （工-2）2取得最小值，最小值为一6x3 +20 = 2.15 .如图所示,有长为30 m的篱笆，一

30、面利用墙（墙的最大可用长度为10 m），围成中间隔有 一道筒笆（平行于AB）的矩形花圃.设花圃的一边A8为xm,而积为），nW.如果围成的花圃的 而积不少于63 nF,则a-的取值范围是.d-b''c解析本题考查一元二次不等式的解法及其应用.由题意可知:BC = （30 一 3x）m,则有： x（30 - 3x） 263,且 30 一 3x W10.20解之得:三x的取值范围是?.16 .研究问题:已知关于x的不等式6+。0的解集为刈工2,解关于x的不等式以2解法为:由 av? -bx + cOa-b + c（- 0,令 y =，则，）yl，所x yxj . x 2以不等式cx

31、2-bx + a0的解集为参考上述解法，己知关于x的不等式 +I 2 Jx + a土吆<0的解集为0或2Vx<3,则关于X的不等式上一 +如二1<0的解集为 x + cax- cx-2 II 个 111答案 .1 一 < X < 1或一 一< X < 一一.223一解析本题考查一元二次不等式的解法.L y J- h用一人代替上<0中的x可得: xx + a x + ck x+ kx hx -1+ f=+< 0.1 ,1 , ax -1x x_+1<0的解集为.十2<工<一1或2<4<3 x +a x + c令

32、y = -1，则有 - 2<了<-1 或 2<y<3.x，-或2(-，<3.解之得:，<x<l 或- xx223<0的解集为U<x<l或-！<x<一 223.不等式上_+”二I ax- cx-三、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 .(本题满分10分)(1)当4 = 3时，求不等式/+磔+ 2<0的解集；(2)若不等式£+仪+ 2>0的解集为R.求实数”的取值范囿 解：(1)当。=3时,/+3x + 2v0,解之得: 2vxvL原不等式的解集为何一 2Vx < 1;(

33、2) ;不等式/+仪+ 2>。的解集为R ，A = 2 -8<0,解之得:一2&<“<2应.实数的取值范围是卜卜2衣<2右.18 .(本题满分12分)当0<x< 1时,若关于x的二次方程V + 2mx +1 =-2?有两个不相等的实数根,求实数m的 取值范围.分析：本题的意思即方程/+2氏+ 1 = -2机有两个不相等的实数根,且两个实数根均在 (0.1)内，考查了一元二次方程实数根的K分布.解：原方程可化为：x2 +2mx + l + 2m = 0 f(x) = x2 +2mx+l + 2m.A = (2?)2-4(l + 2/)0由题意可得

34、:0 < -m < 1 /(0) = l + 2/n>0，解之得:-！<机<1-行.2/(!) = 1 + 2m +1 + 2m > 0/实数小的取值范围是< 1 一直，.219 .（本题满分12分）解关于 x 的不等式 2x2 + “d - 2机 3 W (2 -，)/ + (4W + 2)x - 2m - 9 .解：原不等式整理得:队二（3m + 2）x + 6W0.当? = 0时,一2犬+ 6忘0,解之得:刀23,原不等式的解集为h之3;当m*0时,原不等式可化为:相（x -|W0.7当机=4时，原不等式的 37解集为次卜=3;当?；时，原不等式

35、的解集为卜2 W 31.？当? < 0时，原不等式同解于（x - 3）f x -2 20, 原不等式的解集为卜x > 3或- k mJI”当?>0时，原不等式同解于（x 3（x Al WO.若0</<之，则3cL原不等式的解集为口 3口3 mm若加=彳，则（X - 3）2 W0,原不等式的解集为xx = 3;22r 2若则3>二，原不等式的解集为tWwx43c 3mI m综上所述，当? = 0时，原不等式的解集为h之3;当?<0时，原不等式的解集为221<xx>3ix< in;当0<?<三时,原不等式的解集为卜3义士上;3

36、20 .（本题满分12分）某辆汽车以天千米刷的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路上行车安全，要求60W xW120）时，每小时耗油（所需要的汽油量）& +上产j升，其中&为常数,60W W100. （1）若汽车以120千米川寸的速度行驶，每小时耗油1L 5升，欲使每小时的油耗不超过9升,求人的取值范围;（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值.解：(1) 汽车以120千米/时的速度行驶，每小时耗油11.5升1乂。20 女+| = 24 - 1&+7.5 = 11.5,解之得: = 100.5 120 )5.每小时耗油如100 + ±产|升.14500、

37、由题意可知:上X-100 + 9.51x )整理得:V -145x + 4500 W0.解之得:45W x W100.760x120的取值范围为60.100；（2）设该汽车行驶100千米的油耗为y升,则有100 1 ( , 4500 A “、八八/1丫八y = 一x-x-k+| = 9000() - | -20勺一| + 20.X 5 x Jx / x J&2 20- 90060W& W100；设/ =，则 J-WfW二 90000 20%+ 20 . x 120601 l k - 1 41- k1 v150 9000 909000 60L 1k2k OOOf)当32一.即 7