最新数列知识点总结及题型归纳总结

1、精品文档精品文档高三总复习数列一、数列的概念(1) 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，序号为 n的项叫第n项(也叫通项)记作 an ； 数列的一般形式：ai, a2, a3, , an ,，简记作laj。例：判断下列各组元素能否构成数列(1) a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2) 2010年各省参加高考的考生人数。a.的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就(2) 通项公式的定义：如果数列 叫这个数列的通项公式。例如：1 , 2 , 3 , 4,

2、 51111：1 1 2 3 4 5数列的通项公式是 an = n ( n_7 , n三N .),1数列的通项公式是 an = ( nN .)。说明：n ：an 表示数列，an表示数列中的第n项，an = f n表示数列的通项公式;r_1 n = 2k _1 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an= (-1)n='(kZ);|+1, n=2k 不是每个数列都有通项公式。例如，1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 ,(3) 数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映

3、射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N .(或它的有限子集)的函数 f (n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2), f(3),f(n),通常用an来代替f n，其图象是一群孤立点。例：画出数列an =2n 1的图像.(4) 数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关 系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1) 1 , 2, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1,0, 1,0, 1,0,(4)a, a

4、, a, a, a,(5)数列 an的前n项和Sn与通项an的关系：anS1(n = 1)S-SU n > 2)例：已知数列an的前n项和sn = 2n2 3，求数列an的通项公式精品文档练习：1 根据数列前4项，写出它的通项公式:(1) 1 , 3, 5, 7;(2)22 -132 -142 -152 -1234'5(3)111 11*22*3 。3*4 ' 4*5(4) 9， 99, 999, 9999(5) 7, 77, 777, 7777,(6)8, 88, 888, 88882 数列玄中，已知an(n N )(1)与出 ai, , a2, a3, an +, a

5、n2 ；2（2）792是否是数列中的项？若是，是第几项?33 （2003京春理14,文15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内。303540455055606S收堀压 水锦桂11011512012513S<>14S訐张压（:水輾桂707375738083()384、由前几项猜想通项:根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式0 (7)(1)5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样,10条直线相交，交点的个数最多是（）,其通项公式45个55个2条直线相 交，最

6、多有 1 个交点3条直线相 交，最多有3 个交点交，最多有6个交点二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为 an -an 丄=d(n 一2)或 a. .1 -a* =d(n 一1)。例：等差数列an 2n1， a anj ：题型二、等差数列的通项公式：aa1 - (n -1)d ；说明：等差数列(通常可称为A P数列)的单调性：d 0为递增数列，d = 0为常数列，d 0为递减数列。例：1.已知等差数列 乩？中，a7飞9=16, a4 =1

7、,贝V a12等于()A. 15 B . 30 C . 31 D . 642. an是首项a1 =1，公差d =3的等差数列，如果 a 2005，则序号n等于(A) 667( B) 668(C) 669(D) 6703.等差数列an =2n - 1,bn = -2n 1，则a.为bn为 (填“递增数列”或“递减数列”)题型三、等差中项的概念：定义：如果a , A, b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项。其中 A=-2a + ba , A , b 成等差数列= A即卩：2an.1二 an an-2( 2an 二an_m anm )2例：1. (14全国I )设耳是公差为正数的等差数列， 若

8、a1+a2+a3=15 , a1a2a80 ,则a栢 抬 =()A. 120 B . 105C. 90 D . 752. 设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为 12,前三项的积为48,则它的首项是()A. 1B.2C.4D.8题型四、等差数列的性质：(1) 在等差数列 订,中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；(2) 在等差数列:a/f中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；a - - a(3) 在等差数列：an 中，对任意 m , n N ., an = am ' (n - m)d , d n m (m = n)；n -m(4) 在等差数列 a' 中，若 m

9、, n , p , qN+且 m + n = p + q，贝U aaa<aq ；题型五、等差数列的前n和的求和公式：sn二n(a1 an)二nar二丄n2( a-) n。2 2 2 2(Sn = An2 Bn(代B为常数)=乩:堤等差数列)递推公式：(a +an)n(am * an 4m 4) )nSn2 2a7(A) 14( B) 21(C) 28(D) 35例：1.如果等差数列：an匚中，a3 a4 a 12，那么a1 a22. （2015湖南卷文）设Sn是等差数列 沦】的前n项和，已知a2=3 ,11，则S7等于（）A. 13 B. 35C. 49D. 633. （2015全国卷I

10、理）设等差数列faj的前n项和为Sn，若-72 ,则a2 a4 a9 =4. （2015重庆文）（2）在等差数列fa/中，aa9=10，则的值为（）（A） 5（ B） 6（ C） 8（ D） 105.若一个等差数列前A.13 项3项的和为34,最后3项的和为B.12 项146，且所有项的和为C.11 项390,则这个数列有（D.10 项精品文档6.已知等差数列tan 的前n项和为Sn ,若S12 = 21,则a2 a5 a8a11 口7. （2014全国卷n理）设等差数列CaJ的前n项和为Sn，若a5=5a3则二S58. （2014全国）已知数列 bn是等差数列，b1=1,山+/+bo=100

11、.（I）求数列 bn的通项bn；D.9.已知an，数列是等差数列，a10 =10，其前10项的和S10 =70，则其公差d等于（）C.10. （2015陕西卷文）设等差数列冋'的前n项和为Sn,若a6二S3 = 12,则务二S11. （2013全国）设 an为等差数列，S为数列 an的前n项和，已知S?= 7,乐=75, Tn为数列n的前n项和，求Tn。12.等差数列，an 的前n项和记为Sn,已知a10 = 30, a20 =50求通项an ；若Sn =242,求n13.在等差数列a*中，(1)已知 S8 = 48,32 = 168,求d ； (2)已知 a6=10,S5=5,求a8

12、和 S ； (3) 已知玄3 *玄仆-40,求S17精品文档题型六对于一个等差数列:（1）若项数为偶数，设共有（2）若项数为奇数，设共有2n叽则S偶- S奇二nd ；S偶an 12n-1叽则S奇- S偶二an二a中；§奇S偶n _ 1题型七对与一个等差数列，Sn,£n -Sn,S3n -S2n仍成等差数列。例：1.等差数列a的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.2602. 一个等差数列前n项的和为48,前2 n项的和为60，则前3n项的和为 。3 已知等差数列 a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项

13、和为4. 设Sn为等差数列 ，的前n项和，S4 =14, Sw -S7 =30,则S9=5. （2015全国II ）设S是等差数列 an的前n项和，若色S6-，则全=3S12A.B.D.10题型八.判断或证明一个数列是等差数列的方法: 定义法:an1-an = d（常数）（nN ”） 6 是等差数列 中项法：2an 1 =an an 2（nN "）= 勿堤等差数列 通项公式法：an = k n（k,b为常数）= 玄是等差数列 前n项和公式法：Sn =An2 Bn（A, B为常数）=是等差数列例：1.已知数列an满足 an -an4=2，则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不

14、是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列an的通项为an =2n 5，则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列an的前n项和Sn = 2n2 4，则数列a.为（)A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4.已知一个数列2a*的前n项和Sn =2n，则数列a*为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5. 已知一个数列a.满足an 2 - 2an i a 0，则数列an为（）A.等差数列B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断6. 数列 gn 满足 a

15、1 =8， a4 = 2，且 an 2 - 2an 勺 an = 0（ n N ”）求数列2n 1的通项公式；7. （14天津理，2）设S是数列an的前n项和，且S=n2，则an是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列题型九.数列最值（1） ai 0 , d : 0时，Sn有最大值；ai ： 0 , d 0时，Sn有最小值；（2） Sn最值的求法：若已知 Sn, Sn的最值可求二次函数 &二anbn的最值；可用二次函数最值的求法（n EN+）；或者求出an中的正、负分界项，即:an工0an兰0若已知an，则

16、Sn最值时n的值（n N .）可如下确定或2佔兰0 2时兰0例：1.等差数列 £n 中，a1 0, S9 =S12，则前项的和最大。2 .设等差数列 豪？的前n项和为Sn,已知a3 =12, S12 0, S13 ： 0 求出公差d的范围， 指出S1, S2/ , S12中哪一个值最大，并说明理由。3. （12上海）设 an （n N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且 Sv S, S= S>S，则下列结论错误.的 是（ ）A.d v 0B.a7= 0C.Sg> S5D.Sb与 S7均为 Sn 的最大值精品文档4 已知数列 ©的通项n _淫 （nw N *）,

17、则数列 G 的前30项中最大项和最小项分别是 n V995.已知an是等差数列，其中ai =31，公差d二8。（1）数列an从哪一项开始小于0？（2） 求数列an前n项和的最大值，并求出对应n的值.6. 已知an是各项不为零的等差数列，其中日 0 ,公差d ： 0 ,若S。= 0 ,求数列an前n项和的最大值.7.在等差数列an中，ai =25 , S7二S9 ,求Sn的最大值.S （n =1）题型十.利用an二求通项.IS （n 启2）21. 数列an的前n项和Sn = n 1 .（ 1）试写出数列的前 5项；（2）数列內是等差数列吗？（ 3）你能写出数 列an的通项公式吗？2已知数列 &#

18、39;an的前n项和 Sn = n2 - 4n 1则23. 设数列an的前n项和为S=2n，求数列an的通项公式；A4.已知数列 也中，a3,前n和Sn = (n 1)(an 112 求证：数列:an 是等差数列 求数列(an 的通项公式5. (2015安徽文)设数列an的前n项和Sn二n2,则氏的值为()(A) 15(B) 16(C) 49(D) 64等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起.，每一项与它的前一项的比等于同一个常数. 列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q = 0)，即：an ,:,那么这个数列就叫做等比数an 二 q(q = 0)。、递推关系与通

19、项公式递推关系：an 1二anq通项公式：an a1 qn4推广：an 二 amqZ1 在等比数列、an 中，a1 = 4, q = 2，则an =2. 在等比数列an中，a7=12,q=逅，则a19 =.3. (2014重庆文)在等比数列中，32= 8 , 31= 64,则公比q为()(A) 2( B) 3( C) 4( D) 84在等比数列 冲，a -2 , a54，则a8=5.在各项都为正数的等比数列a*中，首项ai =3，前三项和为21,则a3 a4 a (A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中项：若三个数 a,b,c成等比数列,则称 b为a与c的等比中项，且为 b =.a

20、c,注:b* 2 = ac是成等比数列的必要而不充分条件例：1. 2 和2 一 .3的等比中项为(A)1(B) -1(C)_1(D)22.( 2013重庆卷文)设！anf是公差不为0的等差数列，a1 = 2且a-i, a3, a6成等比数列,和 Sn =()B.n2 5n-f-33C.2小n3n-f-24D. n2 n三、等比数列的基本性质,1. (1)若 m n = p q，则 am an二 ap aq (其中 m,n, p, q N )(2)n _man2q，an - an_manma m(n N )(3)'an f为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列(4)Sn ?既是等

21、差数列又是等比数列=bn 是各项不为零的常数列.例:1.在等比数列G 中，a1和a10是方程2x2 5x 0的两个根，则a4 a ()1(D)22.在等比数列4.等比数列an的各项为正数，且 玄5玄6乜4玄7=18,则logs Iog3a2 logsag =()A . 12 B . 10 C . 8 D . 2+|og3 55. (2014广东卷理)已知等比数列an满足 a* > 0, n = 1,2,iIi 且 a5 a2 n工=2 (n 二 3，则当n_1时,精品文档log 2 ai - log 2 a l| - Iog2a2n i 二2 2A. n(2n-1) B.(n +1)C.

22、n2D.(n-1)2. 前n项和公式工 na1 (q = 1)Sn = 2(1 -q ) _ a1 -anq(q 式 1)i 1 一 q 1 - q例：1.已知等比数列a*的首相a1 = 5，公比q = 2，则其前n项和Sn =12. 已知等比数列an的首相a1 -5，公比q，当项数n趋近与无穷大时，其前 n项2和Sn3. 设等比数列an的前n项和为Sn ,已a2 =6, 6a1 a30，求an和Sn4. (2015 年北京卷)设 f (n) =2 24 27 210 |( 23n 10(n N)，则 f(n)等于()A. 2(8n -1)B. 2(8n 1 -1) C . 2(8n 3-1)

23、 D . 2(8n 4-1)77775. (2014全国文，21)设等比数列an的前n项和为S,若S3+ S6 = 2S,求数列的公比q；6设等比数列an的公比为q,前n项和为S,若S+1,Sn, S+2成等差数列，则q的值为 .3.若数列是等比数列,Sn是其前n项的和,k N*，那么 Sk ,S2k -'Sk , S3k -'S2k 成等比数列例：1. (2014辽宁卷理)设等比数列 an的前n项和为Sn，若_§6S3 =3，则A. 2 B.3 C.D.32. 一个等比数列前n项的和为48，前2 n项的和为60,则前3n项的和为(A. 83 B . 108 C .

24、75 D . 633.已知数列 a 是等比数列，且Sm =10, S2m =30,则S3m =4. 等比数列的判定法（1 ）定义法:空二q （常数）an<an /为等比数列;（2 ）中项法：an=an ant（an鼻0）= £n为等比数列；（3） 通项公式法：an =k qn （k,q为常数）=（an 1为等比数列；（4）前n项和法：Sn =k（1qn） （ k, q为常数）=an ?为等比数列。Sn =k-kqn （k,q为常数）=Qn为等比数列。例: 1.已知数列an的通项为an =2n，则数列an为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.22.

25、已知数列an满足an 1二A.等差数列 B.等比数列a Cnaan = 0），则数列an为（ 等差数列也不是等比数列D.3.已知一个数列an的前n项和Sn = 2 - 2n 1，则数列an为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断）无法判断无法判断5.利用anSi(n =1)Sn - Sn(n _ 2)求通项.1例：1. （2015北京卷）数列an的前n项和为S,且ai=l,an计Sn, n=i,2,3, ，求a2,a3,a43的值及数列an的通项公式.2. （2015山东卷）已知数列、an?的首项a5,前n项和为Sn，且SnSn ' n，5（n，N

26、*），证明数列1an 1是等比数列.精品文档四、求数列通项公式方法(1 )公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列an满足：a3 =7,a5 a7 =26，求an ；2.已知数列an满足ai = 2, an - an=1(n _ 1)，求数列an的通项公式;3. 数列满足a! =8，a4 =2,且a.七2an卅+an = 0 ( n)，求数列的通项公式;4.已知数列an满足a! =2,二 -=2，求数列?的通项公式; an+lan1 1求an的通项公式5. 设数列an满足a1 =0且1，1 an+1 an精品文档精品文档6.已知数列an满足an 二2an ©

27、; =1，求数列an的通项公式。 an +227.等比数列an的各项均为正数，且 2ai 3a2 =1, as =9a2a6，求数列an的通项公式8.已知数列an满足a2,a3an(n _ 1)，求数列an的通项公式;9.已知数列a.满足ai =2, a? = 4且a -a* =anJ ( n N *)，求数列的通项公式;10.已知数列an满足ai =2,且an卅一5“十=2(an-5“)( n N *)，求数列£丿的通项公式;11.已知数列a*满足31= 2,且an# +5汉2“甲+2 = 3(a* +5汇2“ +2) ( n壬N *),求数列aj的通项公式；12.数列已知数列1/

28、满足a-an =4an1(n 1).则数列Can?的通项公式(2)累加法1、累加法适用于：ananf (n)a2 - a1 二 f (1)a3 a f (2)若 an 1 -an = f (n) (n 一2)，则山 屮an 1 - an - f (n)n两边分别相加得an 1 -a f (n)k 二精品文档精品文档精品文档2.已知数列an满足an d = an 2n 1, a1，求数列a.的通项公式。3.已知数列an满足an d -an - 2 3n 1, a3，求数列an的通项公式。4.设数列an满足ai =2 , anv -a. =3 22n_l，求数列an的通项公式(3)累乘法适用于：a

29、nif( n)an若anai= f(1)¥=f (2)，川(，乩=f( n)a2an两边分别相乘得,ainIT f(k)k=122已知数列 a :满足ai ：3an 1an求an。3.已知 ai = 3 , an 13n -13n 2an(n 1)，求 an。(4)待定系数法适用于 an qan f (n)解题基本步骤：1、确定f(n)2、设等比数列fan lf(n)，公比为3、 列出关系式an1n 1)仝2血7 (n)4、比较系数求'1，'25、解得数列"£n1f(n)1的通项公式6、 解得数列的通项公式例：1.已知数列an中，ai =1,an

30、=2anA 1( n_2)，求数列(aj的通项公式。2. (2015，重庆，文,14)在数列an中，若ai=1月卅=2an+3(n1)，则该数列的通项a.=3.( 2014.福建理22.本小题满分14分)已知数列la满足a1,an2an1( nN*).求数列 冷僉的通项公式；4已知数列an满足an2an 3 5n，a 6，求数列laj的通项公式。解：设 an 1 x 5n 2(an - x 5n)5.已知数列an满足an 1 =3an52n4，a1，求数列an的通项公式。解：设 an 1 ' x2n 13(anx2ny)精品文档5 11 n 16已知数列 9n中，ai, an 1an

31、()，求an6 3227.已知数列an满足an2an 3n 4n 5, ai =1，求数列an的通项公式。解：设 anx(n 1)2 y(n 1) z = 2(an xn2 yn z)8.已知数列an满足an 2an 4 3心，印=1，求数列aj的通项公式。递推公式为an .2二pan d qan （其中p，q均为常数）。先把原递推公式转化为 an 2san彳=t（an彳san）其中s +t = ps，t满足丿st = q9.已知数列an满足an 2 =5an 丫6an,印=-1,a2 = 2，求数列an的通项公式。(5 )递推公式中既有Sn分析：把已知关系通过an =转化为数列血或&

32、的递推关系，然后采用相应的方法求解。11.(2015北京卷)数列a的前n项和为S，且ai=1,an.1Sn, n=1, 2, 3, ，求a2,33,34的值3及数列an的通项公式.2. (2015山东卷)已知数列an的首项a1 =5,前n项和为Sn，且Sn半二Sn+ n+5n己N)*，证明数列an+1是等比数列.3已知数列 & 中，a1 =3,前 n和 Sn =(n 1)(an 1) -12 求证：数列、an 是等差数列 求数列Bn的通项公式精品文档14.已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn(an 1)(an 2)，且a2, a4,a9成等比数列，求数6列an的通项公式。

33、(6)倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例: 1.已知数列an满足an .12an© =1，求数列an 2an的通项公式。(7)对无穷递推数列消项得到第n 1与n项的关系例：1. (2014年全国I第15题，原题是填空题)已知数列an满足a1 =1，an F1 2a2 3氏山-(n -1)an(n 一 2)，求an的通项公式。2.设数列 满足a1 3a2 32a33n4a - , a N* .求数列 心昇的通项;3精品文档精品文档五、数列求和1 直接用等差、等比数列的求和公式求和。Sn =n(a2=na1 心dn ai(q =1)S =< ai(1-)”)i -q

34、公比含字母时一定要讨论(理)无穷递缩等比数列时，a1S11 -q例：1.已知等差数列an满足a1 =1, a2 =3，求前n项和Sn2.等差数列an中，a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 S=100,则 n=(A. 9 B 10 C 11 D 123.已知等比数列an满足a1 =1, a2 =3，求前n项和Sn4.设 f(n)=2 24 27 210 丨1( - 23n 10(n N)，则 f(n)等于()2 n2 n 12 n 32n4A.(8-1)B.(8-1) C.(8-1)D.(8-1)77772错位相减法求和：如：'an 等差，'bn 等比，求a1b1 a2b 亠anbn的和.2n 1例：1 求和 Sn =1 2x 3x III nx2.求和：1丄2丄3丄丄nS -n23na aaa3.设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且4=1 , a3 b21,玄5飞=13 （I）fa 1求an, bn的通项公式；（n）求数列 的前n项和Sn. bn3 裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项:1n(n 1)1 _(_1 (2n -1)(2n 1) " 2 (2n -112n 11 _1(1 n(n 2) 一 2(n1n(n 1)(n2)1(n 1)( n 2)n n