一次不定方程及方程的整数解问题

1、一次不定方程（组）及方程的整数解问题【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现.对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定. 有时还可以解决计数、求最值等方面的问题. 二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定 .重要定理：设 a、 b、 c、d 为整数，则不定方程axbyc 有：定理 1若 (

2、a,b) d , 且 d 不能整除c，则不定方程ax by c 没有整数解；定理 2若 ( x0 , y0 ) 是不定方程 axbyc 且的一组整数解 （称为特解），则 xx0bt,（ t为整数） 是方yy0at程的全部整数解（称为通解）. （其中 (a,b)d , 且 d 能整除 c） .定理 3若 ( x0 , y0 ) 是不定方程 axby1 ， ( a,b)1的特解，则 (cx0 , cy0 ) 是方程 ax byc 的一个特解 .（其中 (a, b) d , 且 d 能整除 c） .求整系数不定方程axbyc 的正整数解，通常有以下步骤：（ 1） 判断有无整数解；（ 2） 求出一个特

3、解；（ 3） 写出通解；（4）有整数 t 同时要满足的条件（不等式组），代入命题 （ 2）中的表达式， 写出不定方程的正整数解.解不定方程（组） ，需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：（ 1 ）分离整系数法；（2）穷举法；（ 3）因式分解法；（ 4）配方法；（ 5 ）整数的整除性；（6）奇偶分析；（ 7）不等式分析；（ 8）乘法公式 .【学法指导】【例 1】求下列不定方程的整数解（1） 2x6y 8 ； （ 2） 5x10 y13 .【分析】 根据定理 1、定理 2 确定方程的整数解 .【解答】（ 1）原方程变形为： x3 y4 ，观察得到x1, 是 x3y4 的一组整数解（特

4、解） ，y1根据定理 2 ， x13t ,(t是整数 ) 是原方程的所有整数解 .y1t（ 2）（ 5， 10） =5，但 5 不能整除 13，根据定理 1，原方程的无整数解 .【点评】 先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】 求下列不定方程的整数解（1） 7 x14 y211； （2） 5x14 y11 .答案：（ 1）无整数解；（ 2） x514t,y1(t是整数 )5t【例 2】求方程 7 x 19 y213的所有正整数解 .【分析】 此方程的系数较大， 不易用观察法得出

5、特解.根据方程用 y 来表示 x ,再将含 y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y0，然后再求 x0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】 （ 7，19） =1，根据定理2，原方程有整数解 .由原方程可得 x21319 y 21014 y3 5 y302y35y ，777由此可观察出一组特解为x0=25， y0=2.方程的通解为其中25 19t 2 7t 0x2519t,y2(t是整数 ) .7t0,t25252,t t1,019197t27代入通解可得原方程的正整数解为x6,或 x25,y9.y2.【点

6、评】 根据定理 2 解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来.【实践】 求方程3147 y265 的正整数解.答案：x=4,y=3.【例 3】大客车能容纳54 人，小客车能容纳 36 人，现有 378 人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】 本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】 设需要大客车x 辆，小客车 y 辆，根据题意可列方程54 x36 y378 ，即 3x2 y 21

7、.又（ 3，2）=1，根据定理 2，原方程有整数解 . 易知 x1, 是一个特解， 通解为x1 2t,(t是整数 )y9y99t由题意可知12t0,x1,x3,x5,x7,99t解得 t 0,1,2,3. 相应地9.y6.y3.y0.0y答：需要大客1 车辆，小客车9 辆；或需要大客车 3 辆，小客车 6 辆；或需要大客车5 辆，小客车3 辆；也可以只要大客车7 辆，不要小客车 .【点评】 一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】 某次考试共需做20 道小题，对1 道得 8 分，错一道扣5 分，不做不得分 .某生共得13 分，他没做的题目有几道？答案： 7【例 4】某人的生日月份

8、数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日 .【分析】 本题的隐含条件是：月份的取值1， 12，日期的取值 1， 31.【解答】 设此人生日的月份数为x , 日期数 y. 根据题意可列方程31x+12y=347.方法一方法二特解：x5通解：x512t(t是整数 )12 y34731x12 | (34731x)y16y1631t34731x(mod12)1x121512t12117 x(mod12)x12t 5(t 是整数 )1y3111631t311 x12112t512t 0解得 t0x5x5是符合题意解.把x代入原方程得：y16y165答：此人的生日为5 月 16日.【

9、点评】 求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识 .【实践】 已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的1 ，求一切3这样三位数的和. 答案： 432【例 5】 ( 新加坡数学竞赛题) 设正整数 m,n 满足 8m9nmn6 ，则 m的最大值为.【分析】 把 m 用含有 n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值 .【解答】 8m 9n mn6 ，8mmn69n， (8n)m69n由题意可得， n 8， m69n9n69n7266966，8nn8n 8n 8 m,n 为正整数， 当 n=9 时， m有

10、最大值为 75.【点评】 此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】 ( 市数学竞赛题 ) 有8 个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3 个连续的正整数的和，那么这 8 个连续的正整数中最大数的最小值是.答案： 28【例 6】我国古代数学家建丘所著算经中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？【分析】 分析：用 x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：5x3 y1 z 1003xyz 100如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【解答】 解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的

11、只数分别为x,y,z.xyz 100(1)(2)× 3(1) 得： 14x+8 y=200，即 7x+4y=100.5x3 y1 z 100( 2)3方法一特解： x，通解： x44t(t是整数 )4y18.y187tx044t0t1相应地 ,原方程有三组解：x4x8x12解得18t 0,1,2.y0187t0y18y11y4t7z78z81z84方法二令7x 4y 1,其特解为 x3x300是7 x的特解通解：x3004t（为整数）.y5y5004 y 100.y5007tt下面的方法同方法一 方法三4y1007x (3)，即，4 |(100 7x)100 7x(mod 4): 0

12、 3x(mod 4)x44t (t是整数 ).把x 44t代入 (3)得： y 187tx44ty18(t是整数 ).7t下面方法同一【点评】 充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.【实践】 如果 1 只兔可换2 只鸡， 2 只兔可换 3 只鸭， 5 只兔可换7 只鹅 .某人用 20 只兔换得鸡、鸭、鹅共30 只 .问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？答案：（ 2，21， 7）、（ 4， 12， 14）、（ 6， 3， 21）【例 7】求方程 2x3y7z23 的整数解 .【分析】 对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【解

13、答】 设 2x 3 y t ，则原方程可看作2x3yt,(1)对于方程（ 1） x=- t, y=t 是一个特解，t7 z23.(2)从而（ 1）的整数解是 xt - 3u,(3)u是整数)yt 2u.(4)(又 t=2, z=3 是方程（ 2）的一个特解，于是（2）的整数解是z3v,(5)(v是整数 )t27v. (6)将（ 6）代入（ 3）、（ 4）消去 t 得到原方程的所有整数解为：x27v3u,y27v2u, (u、v是整数 )z3v.【点评】 一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解

14、中的参数作适当代换，就可以化为同一形式.【实践】 求方程 39x24y9z78 的整数解 .答案：x8v3u2,yv 3,(u、v是整数 )z13u32v8.【例 8】 ( 海峡两岸友谊赛试题) 甲组同学每人有 28 个核桃，乙组同学每人有30 个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365 个. 问：三个小组共有多少名同学？【分析】 设甲组同学 a 人，乙组同学 b 人，丙组同学 c 人，由题意得 28a30b 31c 365 . 要求 a bc，可以运用放缩法从确定 a bc 的取值围入手 .【解答】 设甲组同学a 人，乙组同学 b人，丙组同学c 人，则 28a30b31c36

15、5. 28(abc) 28a 30b31c365 31(ab c) ， 365a bc365 .3128 a bc 是整数， ab c =12 或 13. 但当 a b c=13 时，得 2b3c 1，无正整数解 .答：三个小组共有 12 名同学 .【点评】 整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.【实践】 Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay 302. If she￥buys 5 radios,11 pens,3 bags,she will pay

16、508. Question:￥How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag?答案： 96【例 9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球. 红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3. 小明从布袋中摸出10 个球，它们上面所标的数字和等于21.（ 1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？（ 2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】 由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（ 2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数.【解答】（ 1）设小明摸的红球有x 个，黄球有 y 个，蓝球有 （x）个，则

17、x2y 3(10 x y) 21，10y整理，得 y 92x ，因为 x、 y 均为正整数，可知x 的最大值为4. 即红球最多不超过4 个.（ 2）由（ 1）知蓝球的个数是z10xy 10x (92x)x1，又x0,x0,9 x1,2,3,4.y0,92x0,解得0x.2z0,x1 0.因此共有 4 种不同的摸法，如下： （ 1， 7， 2），（ 2， 5， 3），（ 3， 3，4），（ 4，1， 5） . 【点评】 此题求的是未知数的围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值围，以及整数解的个数.【实践】 已知有两堆水泥，若从第一堆中

18、取出 100 袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆， 则第一堆比第二堆多 5 倍 .问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数 .答案： 170， 40.【例 10】设非负整数n，满足方程xy2zn 的非负整数（ x,y,z）的组数记为an .（ 1）求 a3 的值；（ 2）求 a2001 的值 .【分析】 审清题中 an 的 n 与方程 xy2zn 是同一个非负整数，a3 的含义是方程xy2z3 的非负整数解的（ x,y,z）的组数 .【解答】（ 1）当 n=3时，原方程为 x y 2z 3，由于 x 0, y0,得 0 z1

19、.当 z=1时，方程为 x+y=1，其解（ x,y） =(0,1),(1,0)有2组；当 z=0时，方程为 x+y=3，其解（ x,y） =(0,3),(1,2)， (2,1),(3,0)有 4组.综上，a3 =6.（ 2）当 n=2001 时，原方程为xy2z2001 ，由于 x0, y0,得 0z1000.当 z=1000 时，方程为 x+y=1 ，其解有 2 组；当 z=999 时，方程为 x+y=3，其解有 4 组；当 z=998 时，方程为 x+y=5 ，其解（x,y）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有 6 组； ；当 z=0 时，方程为 x+y=2001 ，其解（ x,y）=(0,2001),(1,2000)， ， (2001,0)有 2002 组.综上， a2001 =2+4+6+ +2002=1003002.【点评】 此题综合较强，涉及解不定