231等差数列前n项的和

1、1.等差数列的定义：等差数列的定义： 1(2)nnnaaad n 是是等等差差数数列列2.通项公式：通项公式：1(1) .naand3.重要性质重要性质:() .nmaanm d.mnpqmnpqaaaa 一、复习：一、复习： 一个堆放铅笔一个堆放铅笔的的v形架形架,最下面第最下面第一层放一支铅笔一层放一支铅笔,往往上每一层都比它下上每一层都比它下面多放一支，就这面多放一支，就这样一层一层地往上样一层一层地往上放放.最上面一层放最上面一层放100支支.求这个求这个v形形架上共放着多少支架上共放着多少支铅笔？铅笔？即求即求s=1+2+3+100=？ 情景情景1 高斯出生于一个工匠家庭高斯出生于一

2、个工匠家庭幼时家境贫困幼时家境贫困,但聪敏异常但聪敏异常.上小学四年级时上小学四年级时,一次老师一次老师布置了一道数学习题：布置了一道数学习题：“把从把从1到到100的自然数加的自然数加起来，和是多少？起来，和是多少？”年仅年仅10岁的小高斯略一思索就岁的小高斯略一思索就得到答案得到答案5050,这使老师非这使老师非常吃惊。那么高斯是采用常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算了什么方法来巧妙地计算出来的呢？出来的呢？ 高斯高斯(1777-1855), 德国数学家、物理学德国数学家、物理学家和天文学家家和天文学家.他和牛他和牛顿、阿基米德顿、阿基米德,被誉为被誉为有史以来的三大数学有史以来

3、的三大数学家家.有有“数学王子数学王子”之之称称. 高斯高斯“神速求和神速求和”的故事的故事:首项与末项的和：首项与末项的和： 1100101，第第2项与倒数第项与倒数第2项的和：项的和： 299 =101， 第第3项与倒数第项与倒数第3项的和：项的和： 398 101， 第第50项与倒数第项与倒数第50项的和：项的和：5051101，于是所求的和是：于是所求的和是：1001015050.2求求 s=1+2+3+100=？你知道高斯是你知道高斯是怎么计算的吗怎么计算的吗?高斯算法：高斯算法：高斯算法用到了等差数列的什么性质？高斯算法用到了等差数列的什么性质？.mnpqmnpqaaaa 如图，是

4、一堆钢管如图，是一堆钢管,自上而下每层钢管数自上而下每层钢管数为为4、5、6、7、8、9、10,求钢管总数。求钢管总数。即求：即求：s=4+5+6+7+8+9+10.高斯算法：高斯算法：s=（4+10) +（5+9）+（6+8）+7 = 143+7=49.还有其它算还有其它算法吗？法吗？ 情景情景2s=10+9+8+7+6+5+4.s=4+5+6+7+8+9+10.相加得相加得：(4 10) 749.2s倒序相加法倒序相加法2(4 10) (5 9) (6 8) (7 7) (8 6) (9 5) (10 4)s (4 10) 7.两种求和法两种求和法 ： 高斯算法高斯算法 倒序相加法倒序相加

5、法怎样求一般等差数列的前怎样求一般等差数列的前n项和呢？项和呢？ 12,.nnnnanssaaa 设设等等差差数数列列的的前前 项项和和为为即即12.nnsaaa11.nnnsaaa12112()()()nnnnsaaaaaa1().nn aa1211nnnaaaaaa1().2nnn aas 二、探究：二、探究：思路思路2121111(1) .()2 )nnaandaadsaaad 11() (1)2.)nnnnnnnadsaaanddaaa 1112()()()nnnnnsaaaaaa 个个相相加加得得：1().nn aa1().2nnn aas 121111(1) .()2 )nnaan

6、daadsaaad 111111(1)2) .(3) nnnaandasananadda 122(1) .nsandn相加得 11).2nn nsnad（思路思路3等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式:1(1)naand1等差数列中五个基本量：、 、 、 、之中有几个等量关系？nnaadns2)1nnaans （dnnnasn2)11 （公式公式1公式公式21nnaadns、 、 、 、五五个个量量中中“知知三三求求二二”. （. （方方程程的的思思想想）1anan公式记忆公式记忆1)2nnn aas（11)2nn nsnad（ 类比梯形面积公式记忆类比梯形面积公式记忆例例1、计算：、计

7、算：(1)123(2)1 35(21)(3)2462(4)1 23456(21)2 .nnnnn ；(4)1 3 5(21) (2 4 62 ).nn 解：原式(1 2) (3 4) (5 6)(21) 2 .nn又解：原式(1)2n n 2n(1)n n11)21)2nnnn aasn nsnad（ 三、举例：三、举例：= -n例例2、10, 6, 2,2,54 等差数列前多少项的和是 ？ 1212,10,6( 10)4,54.( -1)-10454262709,3-10 -6 -2 2954nnnansadsn nnnnnn 设设该该等等差差数数列列为为其其前前 项项和和是是则则根根据据等

8、等差差数数列列前前项项和和公公式式，得得 整整理理得得 解解得得 （ （舍舍去去）因因此此，等等差差数数列列， ， ， ， 前前 项项的的和和是是注：本题体现了方程的思想注：本题体现了方程的思想.解：解：11)21)2nnnn aasn nsnad（ 123891012,75,.naaaaaaas10数列为等差数列，若求 例3、12389101275aaaaaa，由解：111418253.adaadd，10110 910145.2sad又解：1101011010()5()2aasaa12389101275aaaaaa，由110293887.aaaaaa1101103()87()29.aaaa即

9、5 29145. 1102938aaaaaa，整体代整体代换的思换的思想想! !11)21)2nnnn aasn nsnad（例例4、 2512151636,.naaaaas 在在等等差差数数列列中中，已已知知求求解：1161611616()8()2aasaa2512152155121163618aaaaaaaaaa8 18144. 11)21)2nnnn aasn nsnad（1、一个等差数列前、一个等差数列前4项的和是项的和是24,前前5项的和与前项的和与前2项的和的差是项的和的差是27,求这个等差数列的通项公式求这个等差数列的通项公式.415211124462427(510 )(2)27

10、332(1)21.2nsadssadadaannd ，解解： 四、四、 练习：练习： 61120,.naas 2 2、 已已 知知 等等 差差 数数 列列中中 ，求求解解:61116202aaaa11111611()11220.2aasa 11)21)2nnnn aasn nsnad（1、用倒序相加法推导等差数列前、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式项和公式;11( ) ()2(1)2)2、求和公式 nnnn aasn nsnad 五、小结：五、小结：3、应用公式求和、应用公式求和.“知三求二知三求二”，方程的思想，方程的思想.已知首项、末项用公式已知首项、末项用公式;已知首项、公差用已知首项、公差用公式公式.应用求和公式时一定弄清项数应用求和公式时一定弄清项数n.当已知条件不足以求出当已知条件不足以求出a1和和d时时,要认真观察要认真观察,灵灵活应