北师大版八年级下数学复习资料

1、 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组知识要点要点1 不等式的概念及分类一般地，用符号“”（或“”），“”（或“”），连接的式子叫做不等式。不等式分类：(1) 绝对不等式。无论在什么条件下不等式都成立。(2) 条件不等式。只有在一定条件下不等式才能成立。(3) 矛盾不等式。无论在什么条件下不等式都不成立。要点2 常见不等式的基本语言(1) 若x_0，则x是正数。(2) 若x_0，则x是负数。 (3) 若x_0, 则x是非负数。(4) 若x_0，则x是非正数。 (5) 若xy_0，则x大于y。(6) 若xy_0，则x小于y。(7) 若xy_0，则x不小于y。 (8) 若xy_0，则x不大于y

2、。(9) 若xy_0（或），则x，y同号。(10) 若xy_0（或），则x，y异号。要点3 不等式的基本性质及其他性质基本性质(1) 不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号方向不变。(2) 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。(3) 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向要改变。其他性质(1) 若ab，则ba； (2) 若ab，且bc，则ac；(3)若ab，且ba，则ab； (4) 若a20，则a0。说明：不等式的基本性质也是不等式的同解原理。要点4 不等式的解和不等式的解集以及它们的区别与联系能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。（能使不等式成立

3、的未知数的某个值）一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。（能使不等式成立的未知数的所有值）要点5 在数轴上表示不等式的解集（用以下口诀便于记忆）大于向右画，小于向左画，有等号的画实心，无等号的画空心。要点6 不等式的一般解题步骤6.1 解不等式的步骤:1、去分母; 2、去括号; 3、移项合并同类项; 4、系数化为1。 6.2解不等式组的步骤:1、解出不等式的解集2、在同一数轴表示不等式的解集。 6.3列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：（1） 审题；（2）设未知数，找（不等量）关系式；（3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组)（4）解不等式组；检验并作答。要点7 解不

4、等式的通法与技巧 一、凑整法 例1解不等式。 分析：根据不等式性质，两边同乘以适当的数，将小数转化为整系数。 解：两边同乘以-4，得x+30<-2-x. x<-16. 二、化分母为整数 例2解不等式。 分析：根据分数基本性质，将两边分母化成整数。 解：原不等式变形，得 8x-3-(25x-4)>15-10x. -7x>14. 即x<-2. 三、裂项法 例3解不等式。 分析：本题若采用去分母法，步骤较多，由除法意义，裂项相合并，过程简洁。 解：原不等式变形，得。 移项、合并，得。 四、整体处理法 例4解不等式。 解：视“3x-2”为一个整体， 变形，得， 移项合并，

5、将， 。 要点8 解不等式组的通法与技巧一、化简不等式（组），比较列式求解例1若不等式的解集为，求k值。 解：化简不等式，得x5k，比较已知解集，得，。 例2（2001年山东威海市中考题）若不等式组的解集是x>3，则m的取值范围是（ ）。a、m3b、m=3c、m<3d、m3 解：化简不等式组，得，比较已知解集x>3，得3m, 选d。 例3（2001年重庆市中考题）若不等式组的解集是-1<x<1，那么(a+1)(b-1)的值等于_。 解：化简不等式组，得 它的解集是-1<x<1， 也为其解集，比较得 (a+1)(b-1)=-6. 评述：当一次不等式（组）

6、化简后未知数系数不含参数（字母数）时，比较已知解集列不等式（组）或列方程组来确定参数范围是一种常用的基本技巧。 二、结合性质、对照求解例4（2000年江苏盐城市中考题）已知关于x的不等式(1-a)x>2的解集为，则a的取值范围是（ ）。a、a>0b、a>1c、a<0d、a<1 解：对照已知解集，结合不等式性质3得：1-a<0, 即a>1，选b。 例5（2001年湖北荆州市中考题）若不等式组的解集是x>a，则a的取值范围是（）。 a、a<3b、a=3c、a>3d、a3 解：根确定不等式组解集法则：“大大取较大”，对照已知解集x>a

7、,得a3, 选d。 变式（2001年重庆市初数赛题）关于x的不等式(2a-b)x>a-2b的解集是，则关于x的不等式ax+b<0的解集为_。 三、利用性质，分类求解例6已知不等式的解集是，求a的取值范围。 解：由解集得x-2<0,脱去绝对值号，得。 当a-1>0时，得解集与已知解集矛盾； 当a-1=0时，化为0·x>0无解； 当a-1<0时，得解集与解集等价。 例7若不等式组有解，且每一个解x均不在-1x4范围内，求a的取值范围。 解：化简不等式组，得 它有解， 5a-6<3aa<3；利用解集性质，题意转化为：其每一解在x<-1或

8、x>4内。于是分类求解，当x<-1时，得，当x>4时，得4<5a-6a>2。故或2<a<3为所求。 评述：(1)未知数系数含参数的一次不等式，当不明确未知数系数正负情况下，须得分正、零、负讨论求解；对解集不在ax<b 范围内的不等式(组)，也可分x<a或x b 求解。(2)要细心体验所列不等式中是否能取等号，必要时画数轴表示解集分析等号。 四、借助数轴，分析求解 例8（2000年山东聊城中考题）已知关于x的不等式组的整数解共5个，则a的取值范围是_。 解：化简不等式组，得有解，将其表在数轴上，如图1，其整数解5个必为x=1,0,-1,-2,

9、-3。由图1得：-4<a-3。 变式:(1)若上不等式组有非负整数解，求a的范围。 (2)若上不等式组无整数解，求a的范围。(答：(1)-1<a0；(2)a>1) 例9关于y的不等式组 的整数解是-3，-2，-1，0，1。求参数t的范围。 解：化简不等式组，得 其解集为 借助数轴图2得 化简得 , 。 评述：不等式(组)有特殊解(整解、正整数解等)必有解(集)，反之不然。图2中确定可动点4、b的位置，是正确列不等式(组)的关键。要点9 链接中考中考典例： 1（天津市）若a>b，则下列不等式一定成立的是（ ） a、<1b、>1c、a>bd、ab>0

10、 考点：不等式的性质 评析：不等式的性质是：不等式两边同时加上或减去同一个数（或整式）不等号不变；不等式两边同时乘以或除以正数不等号不变；不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变。因此ab，所以a、b均可为负数也可为正数，所以a、b选项都不对，c选项不等号的方向没改变，所以也不对，因ab，（a、b代表的是任意数）所以根据不等式的性质运用排除法，可知正确选项为d。 （龙岩市、宁德市）不等式2x+103的解集是 。 考点：不等式的解集 评析：不等式的解集是使不等式成立的所有未知数的值组成的集合。该题可用不等式的性质两边同时减10，然后两边再除以2，求得解集为x>。 真题专练 1（北

11、京海淀区）比较大小：当实数a<0时，1+a 1a(填“<”或“>”) 2（广东省）已知实数a、b满足ab0，a+b0，则满足条件的实数a、b可分别为 (写出满足条件的两个数即可)。 3（北京西城区）如果ab，那么下列结论中错误的是（ ） a、a3b3b、3a3b c、d、ab 4（北京海淀区）若ab0，则下列各式中一定正确的是（ ） a、abb、ab0c、d、ab 5（天津市）若ab，且c为实数则下列各式正确的是（ ） a、acbcb、acbcc、ac2bc2d、ac2bc2 6（荆门市）已知a、b、c是有理数，且abc，那么下列式子正确的是（ ） a、a+bb+cb、abb

12、cc、abbcd、 7（石家庄市）不等式6x4的解集是（ ） a、xb、xc、xd、x 8（宜昌市）如果不等式（a1）xa1的解集是x1，则a的取值范围是（ ） 9（徐州市）不等式5x46x的解集是 。 10（西安市）若代数式3x+4的值不大于0，则x的取值范围是（ ） a、xb、xc、x-d、x 答案：1、<2、1，23、d4、d5、d（提示：按c0、c=0、c0三种情况讨论）6、a（提示：a、b、c是任意有理数，所以c、d不对，当c是负数或0时b不对，因ac故a+bb+c） 7、b；8、a1（提示：因为不等号的方向改变了，所以a10，即a1）；9、x4；10、c（提示：3x+4的值不

13、大于0，即得不等式3x+40） 本章综合检测题 一、选择题1.下列各式中是一元一次不等式的是（ ） （ ）a-1 b -1,1,2 c -1,0,1 d 0,1,23.不等式mxn,(m<0)的解集是（ ） （ ）a-3<a<1 b -3a1 c-3<a1d-3a-1二、填空题： 1若-m>5，则m_-5。 2若a<b，则a-b_0。 3如果a>-1，那么a-b_-1-b。4如果a2x<a2y，那么x_y。5如果ac>bc(c<0)，那么a_b。6如果>0，那么xy_0。7如果a>b，则ac2_bc2。8不等式3x-2&l

14、t;-1的解集是_。 9不等式组的解集是_。 10当x_时，代数式的值是非正数。 三、解下列不等式，并在数轴上把解集表示出来。 11x-7<(9x+) 12-2 133x-2(x-7)4x 14 四、解下列不等式组 1516 五、 17已知|3x+18|+(4x-y-2k)2=0，求k为何值时，y的值是负数。 六、 1.六个单位计划联合修建一所希望小学，三个单位分别捐款41万元，56万元，48万元，如果修建希望小学至少需要250万元，那么另外三个单位平均每个单位至少要捐款多少万元？ 2.现有含盐15的盐水120千克，要用80千克浓度较低的盐水与它混合，使混合后盐水的浓度在10至12之间，

15、（包括10和12）那么这80千克盐水的浓度在什么范围内？ 答案：一、d c c b 二、1.<2. <3. >4.<5.< 6.>7.8. x< 9.-2<x-110.x 三、11.x>-12.x13.x614. x< 四、15. 0<x416. 无解 五、17. k>-12（提示：解得 -2k-24<0解得k>-12)。 六、(1)x35(2) 第二章 分解因式知识要点要点1 重要公式：1、 ma+mb+mc=m（a+b+c） 2、a2b2=（a+b）（ab） 3、a2±2ab+b2=（a±

16、;b）2 要点2 分解因式的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，它的对象为一个多项式，分解因式的结果是整式的积的形式，即结果为单项式乘以多项式或多项式乘以多项式的形式。说明：(1) 分解的对象是多项式，结果要以乘积的形式出现；(2) 每个因式必须是整式，且每个因式的次数必须低于原来多项式的次数；(3) 分解因式要彻底，直到不能再分解为止。要点3 分解因式与整式的乘法关系如果把整式的乘法看作一个变形过程，那么多项式的分解因式就是它的逆过程，反之亦然。这种逆过程一方面说明了两者之间的密切联系，另一方面又说明了两者之间的根本区别。(1) 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。(2)

17、 确定公因式的数字因数，当各项系数是整数时，各项系数的最大公约数就是公因式的系数；确定公因式的字母及其指数。公因式的字母应是各项都含有的字母，其指数取最低的。要点4 关于因式分解的要求： 1.（1）分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。例如x4-1=(x2+1)(x2-1)，就不符合因式分解的要求，因为(x2-1)还能分解成(x+1)(x-1)。 （2）在没有特别规定的情况下，因式分解是在有理数范围内进行的。 2.因式分解的一般步骤： 可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”。 （1）一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来。 （2）二“套”：若多项式的各项

18、无公因式（或已提出公因式），第二步则看能不能用公式法或按x2+(p+q)x+pq型分解。 （3）三“分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分到一组，使之分组后能“提”或能“套”。 （4）四“查”：可以用整式乘法查因式分解的结果是否正确。 只有养成良好的思维习惯，解题时才能少走弯路。 3. 易错易混点 (1) 将整式乘法与分解因式混淆；(2) 分解因式不彻底；(3) 分解的结果不是整式的乘积的形式。(2)没有掌握好，误认为; (3) 不能正确使用公式。如9x54x3x3(9x24)x3(9x4) (9x4).要点5 运用公式法 无名公式： (xa)(xb)x2(a

19、b) xab ，反过来就得到一个分解因式的变形x2(ab) xab(xa)(xb)平方差公式：(ab)(ab)a2b2反过来就得到一个分解因式的变形a2b2(ab)(ab).完全平方公式：把(a±b)2a2±2abb2反过来就得到一个分解因式的变形a2±2abb2(a±b)2.说明：(1) 理解掌握平方差公式、完全平方公式的形式和特点；(2)上面两个公式中的字母a，b,既可以是单项式，也可以是多项式；(3)在分解因式时，若有公因式，先提取公因式，提出公因式后，若剩余的多项式是两项式，就考虑用平方差，若剩余的多项式是三项式，就考虑用完全平方公式，如果不能用

20、公式，则将多项式变形，然后再分解，即“一提、二套、三分组，遇到二次三项式，要用十字相乘法”。立方和与立方差公式：(ab)(a2abb2)a3+b3 (ab)(a2abb2)a3-b3把这两式反过来，就得到a3b3(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)其特点是：等号左边是两数的立方和（或差），等号右边是二数和（或差）与一个三项式的积，三项式中有两项为这两数的平方，另一项为这两数的积，其符号与左边中间的符号相反。运用这两个公式，可以把形式是立方和（或差）的多项式分解因式。考题例析 1（贵阳市）因式分解：x2-4y2= . 考点：公式法因式分解 评析：要正确使用公式，注意先将多项式

21、转化为公式并分解，即x2-4y2=x2-(2y)2=(x+2y)(x-2y)。 2（长沙市）分解因式：ma2+2ma+m= . 考点：提公因式，公式法分解因式。 评析：对于三项式的因式分解，首先观察有无公因式，提出公因式后，再观察是否符合完全平方公式或十字相乘法，直至不能再分解为止。 答案：m(a+1)2 3（河北省）分解因式：=_。 考点：提公因式、公式法因式分解 评析：思路先提出公因式2xy，剩下的是符合完全平方公式的二次三项式，然后利用完全平方公式可分解彻底。 答案：2xy(x+2y)2 4（北京市东城区）分解因式：2a3b+8a2b2+8ab3=_; 考点：公式法分解因式 评析：因多项

22、式是三项多项式，所以若有公因式先提公因式，剩余的三项可用完全平方公式或十字相乘法分解，此题用完全平方公式法分解。 答案： 2ab(a+2b)2 5.（辽宁）方程2x(x-3)=5(x-3)的根为（） a、x=; b、x=3; c、x1=3,x2=; d、x=- 考点：因式分解，解方程 评析：此题是一道解一元二次方程的问题，在解方程的过程中，如果用因式分解来解的话，会很容易求出解的。具体步骤如下例1把下列多项式分解因式（1）a38；（2）278y3解：（1）a38=a3+23=（a+2）(a2-2a+22)=(a+2)( a2-2a+4)（2）278y3=33-(2y)3=(3-2y)(32+6

23、y+(2y)2)=(3-2y)(9+6y+4y2)例2.（1999福建）x4-xy3=_.答案： x4-xy3=x(x3-y3)=x(x-y)(x2+xy+y2) 要点7 提公因式法 如果一个多项式各项都有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法就是提公因式法。说明：(1)当公因式是多因式时，要注意变形过程中符号的变化；(2) 提公因式时要提“全”、提“净”；(3) 提公因式分解因式时不要漏项。考题例析1因式分解：=_。 考点：提公因式法；平方差公式法；分解因式。 评析思路，先提公因式，然后再用平方差公式进行分解. 说明:分解因式要彻底。 答

24、案：x2(x-4y) 2分解因式：4q(1-p)3+2(p-1)2 考点：提公因式法 分析：注意到(p-1)2=(1-p)2, 把(1-p)看作一个整体，且最低次幂是(1-p)2, 系数的最大公约数是2，故提2(1-p)2. 解：4q(1-p)3+2(p-1)2 =2(1-p)22q(1-p)+1 =2(1-p)2(2q-2pq+1). 要点8 分组分解法 分组分解法不是一种独立的分解因式的方法，而且适当的分组也没有固定的形式，但要掌握分组的原则：1分组后有公因式可提，且每组之间又有公因式可提；2分组后能用公式分解，且以后每组之间又能应用公式或提公因式分解。 运用分组分解法分解因式常用以下一些

25、方法： 方法一：分组后能提取公因式 1按字母分组 例如：分解因式：ax+ay+bx+by可以按某一字母为准分组，若按含有字母a的分为一组，含有字母b的分为一组，即ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)，这样就产生了公因式(x+y)。 2按系数分组 例如：分解因式：a2-ab+3b-3a，我们观察到前两项的系数之比和后两项系数之比恰好相等，即1:(-1)=3:(-3)，则a2-ab+3b-3a=(a2-ab)-(3a-3b)=a(a-b)-3(a-b)。 3按次数分组 例如：分解因式：x3+x2+x-y3-y2-y，此多项式有两个三次项，有两个两次项，

26、有两个一次项，按次数分组为：(x3-y3)+(x2-y2)+(x-y) 方法二：分组后能运用公式 例如：x2-2xy+y2-z2 可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解为(x-y)2。而(x-y)2-z2又是平方差形式的多项式，还可以继续分解。 方法三：重新分组 例如：分解因式4x2+3y-x(3y+4)，此多项式必须先去括号，进行重新分组。 4x2+3y-x(3y+4)=4x2+3y-3xy-4x=(4x2-4x)+(3y-3xy)=4x(x-1)-3y(x-1)=(4x-3y)(x-1)。 考题例析 1（福州市）分解因式：am+an-bm-bn= . 考点：分组分解法。 评析：

27、用分组法可直接提公因式法分解因式，注意括号法则的应用。 答案：(a-b)(m+n) 2（上海市）分解因式：= . 考点：用分组分解法分解因式 评析：因此题是四项多项式，所以用分组分解法，而分组分解法有 两种方法，通过认真观察不难看出运用分组后，提公因式法即可解决此题。 答案：(x-y)(x+y-1) 3（北京市海淀区）分解因式： 。 考点：因式分解中的分组分解法。 评析：因为多项式是四项，一般方法是分组提公因式（两项结合）或分组用公式（三项结合），本题是三项结合后再用平方差公式。 答案：(x-3+y)(x-3-y) 4（四川省）把多项式2xy-x2-y2+1分解因式的结果是 （a）(x-y+1

28、)(y-x+1) （b）(x+y-1)(y-x-1) （c）(x+y-1)(x-y+1) （d）(x-y+1)(x-y-1) 答案：a 考点：分组分解法。 评析：首先根据四项式决定分组分解法，其次由于含有x2，y2和xy项（另一个为常数项），想到分组后用公式法，即三项与一项分组。 注：因式分解后，将因式各项符号与选项因式对比，若提取负号后，能与选项因式完全相同，其结果不变的，该选项为答案或将每一个选项展开转化为多项式判断也可。 5.（河北省）分解因式:x2-xy+xz-yz= . 考点：分组提公因式法分解因式 评析：对于四项多项式的因式分解一般采用分组提公因式或分组运用公式进行分解。解题前要认

29、真观察选择正确的方法，该题运用分组提公因式法。 答案：(x-y)(x+z) 6（安徽省）将mn-m-n+1分解因式的结果是 . 考点：分组分解法分解因式 评析：可以前两项、后两项结合或是一三项结合、二四项结合，可以达到分解的目的。 答案：(m-1)(n-1) 注意：从历年来各地中考试题中不难发现，因式分解都是一个出现频率很高的考点，进行因式分解的关键是根据多项式的形式特点迅速恰当地选择分解方法。一般地，二项式的分解方法有两种：提公因式法和公式法；二次三项式可采用公式法。四项式、五项式基本上采用分组分解法。掌握上述规律，可准确、迅速地选择分解方法，提高解题速度。 7（天津市）分解因式：am+bm

30、+a+b= . 考点：分组提公因式法分解因式 评析：该题可以一二两项一组然后提公因式也可，一三项、二四项结合提公因式即可分解，对于四项多项式一般有分组提公因式和分组运用公式两种方法，要具体问题具体分析选择正确的方法。 答案：(a+b)(m+1) 8.（荆州）分解因式：x3-x2y-xy2+y3 考点：分组分解法 分析：注意到一、二项有公因式x2，三、四项有因式y2, 提取后，又产生公因式(x-y) 解：x3-x2y-xy2+y3 =(x3-x2y)-(xy2-y3) =x2(x-y)-y2(x-y) =(x-y)(x2-y2)=(x-y)2(x+y). 因式分解综合测试 一、填空题 (1)x2

31、+2x-15=(x-3)( _) (2)6xy-x2-5y2=-(x-y)( _). (3) _=(x+2)(x-3). (4) 分解因式x2+6x-7=_. (5)若多项式x2+bx+c可分解为(x+3)(x-4), 则b=_, c=_. (6)若x2+7x=18成立，则x值为_。 (7) 若x2-3xy-4y2=0，且x+y0，则x=_. (8) (x-y)2+15(x-y)+14=(_+1)(x-y+_). (9)多项式 x2+3x+2, x2-2x-8, x2+x-2的公因式为_。 (10) 已知a, b为整数，且m2-5m-6=(m+a)(m+b), 则a=_,b=_. 二、选择题

32、(1)若x2+2x+y2-6y+10=0，则下列结果正确的是（）。 a、x=1, y=3b、x=-1,y=-3 c、x=-1,y=3d、x=1,y=-3 (2)若x2-ax-15=(x+1)(x-15)，则a的值是（）。 a、15b、-15c、14d、-14 (3)如果3a-b=2,那么9a2-6ab+b2等于（）。 a、2b、4c、6d、8 (4)若x+y=4, x2+y2=6，则xy的值是（）。 a、10b、5c、8d、4 (5)分解因式(x2+2x)2+2(x2+2x)+1的正确结果是（）。 a、(x2+2x+1)2b、(x2-2x+1)2 c、(x+1)4d、(x-1)4 (6) -(

33、2x-y)(2x+y)是下列哪一个多项式分解因式的结果（）。 a、4x2-y2b、4x2+y2c、-4x2-y2d、-4x2+y2 (7)若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值应为（）。 a、-5b、7c、-1d、7或-1 (8) 已知x3-12x+16有一个因式为x+4, 把它分解因式后应当是（）。 a、(x+4)(x-2)2b、(x+4)(x2+x+1) c、(x+4)(x+2)2d、(x+4)(x2-x+1) (9)若(x-4)(x+7)是二次三项式x2+ax-28，那么a的值是（ ）。 a、3b、-3c、11d、-11 (10)代数式x4-81, x2-6x+9的公因式（

34、）。 a、(x+3)b、(x+3)2c、x-3d、x2+9 (11)81-xk=(9+x2)(3+x)(3-x)，那么k的值是（ ）。 a、k=2;b、k=3；c、k=4；d、k=6 (12)9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）。 a、12b、-12c、±12d、±24三、因式分解 (1)x(x+y+z)+yz(2) x2m+xm+ (3) a2b2-a2-b2-4ab+1 (4) a2(x-y)2-2a(x-y)3+(x-y)4 (5) x4-6x2+5 (6) x4-7x2+1(7)3a8-48b8 (8) x2+4y2+9z2-4xy-6xz+

35、12yz 四、解答题 1.已知a2+9b2-2a+6b+2=0，求a,b的值。 2.求证：不论x取什么有理数，多项式-2x4+12x3-18x2的值都不会是正数。 3.已知n为正整数，试证明(n+5)2-(n-1)2的值一定被12整除。 4.已知x+y=4, xy=3，求(1) 3x2+3y2; (2) (x-y)2. 5.设a>0, b>0, c>0且a、b、c中任意两数之和大于第三个数，求证：a2-b2-c2-2bc<0. 五、利用因式分解计算： (1) 已知长方形的周长是16cm, 它的两边长a、b是整数，满足a-b-a2+2ab-b2+2=0，求长方形面积。 (

36、2)如图1，一条水渠，其横断面为梯形，根据图中的长度，求出横断面面积的代数式，并计算出当a=2, b=0.8时的面积。 (3) 如图2，在半径为r的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆，利用因式分解计算当r=7.8cm, r=1.1cm时剩余部分的面积（p取3.14，结果保留三位有效数字）。 答案： 一、(1) x+5 (2) x-5y (3) x2-x-6 (4) (x+7)(x-1) (5) -1, -12(6) -9或2 (7) 4y (8) x-y, 14(9) x+2 (10) -6或1，1或-6 二、(1) c(2) c(3) b(4) b(5) c(6) d(7) d(8) a (

37、9)a; (10)c; (11)c; (12)d. 三、(1) (x+y)(x+z) (2) (xm+)2 (3) (ab-1-a-b)(ab-1+a+b) (4) (x-y)2(a-x+y)2 (5) (x+1)(x-1)(x2-5) (6) (x2+3x+1)(x2-3x+1) (7) 3(a4+4b4)(a2+2b2)(a2-2b2) (8) (x-2y-3z)2 四、 1、 a=1, b=- 2、证明：-2x4+12x3-18x2=-2x2(x2-6x+9)=-2x2(x-3)20. 3、证明：(n+5)2-(n-1)2=(n+5+n-1)(n+5-n+1)=6(2n+4)=12(n+

38、2). (n+5)2-(n-1)2能被12整除。 4、 (1) 30 (2) 4 5、提示：将求证左边分组分解成四个整式乘积，然后利用已知条件对每个因式的符号进行讨论。 五、(1) 由题意得 a+b=8, (a-b+1)(a-b-2)=0, a-b=-1或a-b=2. a与b是整数， a-b=-1不合题意。 a-b=2, a=5, b=3. ab=15，即长方形的面积为15cm2。 (2) 3.36(3) 176cm2 第三章 分式知识要点要点1 分式的概念、有无意义或等于零的条件(1) 概念：1、用a、b表示两个整式，a÷b可以表示成的形式，其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母，

39、如果除式b中含有字母，式子就叫做分式。(2) 分式有意义的条件：分母不等于零；(3) 分式无意义的条件：分母等于零；(4) 分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。（在分式有意义的前提下，才可讨论分式值为零）说明：(1) 分式中的分母必须含有字母，但作为分子的整式不一定含有字母；(2) 分式值为零，则分子为零，分母不为零。二者缺一不可；(3) 分式无意义，则分母为零。要点2 分式的基本性质、约分、最简分式基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，符号表示： (其中a，b，m 是整式，且m0)。约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去的变形，称为约分。说明

40、：(1) 约分的依据是分式的基本性质；(2) 如果分式的分子和分母是多项式，要先对多项式分解因式，然后再约分；(3) 约分一定要彻底，化成最简分式(在分式化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式。)。要点3 分式的乘除法分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。分式的乘方：分式的乘方，等于把分子和分母分别乘方，式子表示为：（n为正整数）。说明：(1) 当分式的分子，分母为多项式时，要先分解因式，再进行分式的乘除运算；(2) 进行分式的乘除混合运算时，一定要按从

41、左到右的顺序进行；(3) 分式乘除运算的结果必须为最简分式或整式，并注意其结果的正负性。要点4 分式的加减法则(1) 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，最后化简为最简分式。(2) 异分母分式相加减，先通分（确定分式的最简公分母），然后再按同分母分式相加减的法则进行。说明：a. 通分时先找出各分母的最简公分母（各分母所有因式的最高次幂的积），然后再利用分式的基本性质，注意分子不要漏乘；确定最简公分母的方法：各分母中凡出现的字母（或含字母的因式），取其最高次数，当各分母系数为整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；b. 当分母是多项式时，一般应先分解因式，当某个分母的系数不是整

42、数时，应先将其化为整数。c. 在处理分子、分母符号变化问题时，要考虑分子、分母的整体性。要点5 分式方程的解法(1) 解分式方程的根本思想是将分式方程通过去分母转化为整式方程。解分式方程的一半步骤是： a. 在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； b. 解这个整式方程； c. 验根。(2) 增根是分式方程变形后的整式方程的根，它使原分式方程的分母为零，即原分式方程无意义，所以它不是原分式方程的根，故称它为原分式方程的增根。关键是要把握两点：一是用去分母的方法将分式方程化为整式方程；二是用换元的方法将分式方程化为整式方程。说明： (1) 一元一次方程是整式方程，整式方程与分式方程的

43、根本区别在于分母中是否含有未知数；(2) 增根产生的原因是同乘以最简公分母后，分式方程化为整式方程，使未知数的范围扩大了；(3)可以这样理解增根：若原方程只有这个增根，说明原方程无解；若原方程另有能使这个方程成立的根，说明原方程的根为另外的根（不包括这个增根）。要点6 分式方程的应用分式方程的应用就是列分式方程解应用题，它与列一元一次方程解应用题的基本思路和解题方法是一样的。不同的是前者数与数的关系是分式，后者数与数的关系为整式。(1) 审题，了解已知量和未知量；(2) 设未知数；(3) 找出相等关系，列出分式方程；(4)解分式方程；(5) 检验，看方程的根是否满足方程和符合题意；(6) 写出

44、答案。易错易混点(1)解分式方程不检验;(2) 验根方法错误，将所求到的根只代入化为整式的方程中，而不是代入最简公分母或原方程的各个分母中；(3) 认为增根也是原方程的根。要点7 链接中考：考题例析 1（福州市）当x 时，分式有意义。评析：使分式有意义，即分母不等于零，解不等式即可。求出字母取值为x1。 2（徐州市）当x= 时，分式无意义；当x= 时，分式的值为零。 答案：1，-6 3（柳州）要使分式的值为零，则x=_. 解：由得 x=-2. 答：应填-2。 4. （广州市）化简：得_ 答案： 5（山西）若将分式（a、b均为正数）中的字母a、b的值分别扩大为原来的2倍，则公式的值（ ） a、扩

45、大为原来的2倍b、缩小为原来的 c、不变 d、缩小原来的 分析：分析中a、b的值分别扩大为原来的2倍，则原分式变形为=，这样相当于分子扩大了2倍，分母扩大了4倍。 故选（b）。 6（石家庄市）下列各式中正确的是（ ） ab cd 答案：c 7（吉林）若x2+x-2=0, 则x2+x-=_. 分析：由条件x2+x-2=0得x2+x=2, 用整体代入法求值较方便。如果考虑解方程x2+x-2=0得出x，再代入求值，难度就大了。 解：由x2+x-2=0得x2+x=2 x2+x-=(x2+x)- =2-=1. 答：应填：1。 8（天津）若4y-3x=0, 则=_。 解：由条件得：y=x, 原式=+1=+

46、1= 答：应填。 1（四川省）化简-的结果是 . 评析：注意分式本身的化简，首先将各分式的分母与分子分解因式，不是最简分式的要约分化成最简分式，其次找到最简公分母并通分计算，最后结果要化成最简分式或整式。 答案：x+4 2（上海市） 计算： 评析：分式的加减运算，关键是通分，而通分的关键是确定公分母，当公分母确定后，再用分式的基本性质，化异分母分式为同分母分式进行加减运算。 答案： 3（北京市海淀区）计算： 评析：方法是先通分（对分式的基本性质要扎实，熟练）再加减，最后还要约分，化成最简分式。 解： = = = = =. 4（四川省）下列运算中，正确的是 （a）(-a2)3=a6 （b）a2÷a-1=a3 （c）=1 （d） 答案：b 评析：掌握运算法则，并用法则逐一计算或用法则的某一部分判定其正确性，如： a、(a2)3结果必有“一”号而判断为错误。 b、a2÷a-1=a2÷=a2·a=a3，结果正确。 c、将，变形有-a-b=a+b，判断为错误。 d、的公分母是2a，分子为常数，故运算错误。 5（福州市）化简：(-)·(x-). 解：原式=-· =(-)· =· =x+2. 评析：注意分式本身的化简，首先将各分式的分子与分母分别分解因式，不是最简分式的要化成最简分式，然后需加减运算的要找到最高