整理新版本科,线性代数串讲

1、精品文档第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质1.余子式I和代数余子式的定义2.行列式按一行或一列展开的公式1)M卜k二工術吗j=2"（国=精品文档Ml02.对一般数字行列式，利用行列式的性质将3.对行列式中有一行或4.行列式中各行元素之和5.范德蒙行列式的计算公式例1行列式-1第二行第一列元素的代数余子式B.-1A.-2测试点余子式和代数余子式的概念1 -1 1C.1D.2A21 ()答案解析-1-1-1-11-111-11101IJ-121-1IJCl0-1&严（-1严姙产-lc = t2） ：-13.行列式的性质1）卩 卩 2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行

2、列式=原行列式的 k倍.推 论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数.推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的 k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.二、行列式的计算1.二阶行列式和三角形行列式的计算其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算 一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开 为一个常数的类型真题解析-1-1例2设某 列式的值为3阶行列式的第二行元素分别为 -1,2,3对应的余子式分别为-3,-2,1则此行 _. 测试点 行列式按行（列）展

3、开的定理D = （-1）站 + 2血 + 3 = M）C-D2+1M21 + 2（-1严 % +?（-1产滋狛解_例3已知行列式的第一列的元素为1,4,-3,2 ，第二列元素的余子式为2,3,4, x问x=. 测试点 行列式的任意一行（列）与另一行（列）元素的代数余子式的乘积之和为零. 解因为第二列元素的余子式为2,3,4, x,故第二列元素的代数余子式为-2,3,-4,x因第一列的元素为1,4,-3,2 ，故 1X( -2 ) +4X 3+所以x=-11(-3 ) X( -4 ) +2x=0例4设多项式/w-1-1A.4B.1测试点行列式按一行展开的定理f (x) = (-1 ) A2+XA

4、13C.-1则f (x)的常数项为D. -4 答案A解行列式按第一行展开得故其常数项为11_1-1-111-1020111002(- = (-1)(-1)例5已知A.-24测试点行列式的性质=4=3，那么D.12答案B如2%ai2如= 2x(-2)a21如一遇1一 2说一迢g碍1解析B.-12C.-6= -12.A.-3测试点松*尙 + Cj=1,创5=2,则2鸟十巾例6设行列式C.1B.-1=()D.3故应选碣 $ + 5附 5解a2 鸟+兮砌 5行列式的性质=3知 % 气如1如如=乩2a21 463例7已知3阶行列式幻如a33则了也6乞工9也弓测试点行列式的性质答案：36d.an 如*11

5、a12 力13all al2 fl132a214 仪 h 6a23= 2x3=36a21 aQQ孔丑6。卫9如a31 勿卫引夯他】幻幻例8若ab工0,i=1,2,3,则行列式测试点行列式的性质处1 也处3吗 巧臥哄宓鸟=b电4k勺宓爲距碍例9设A为3阶方阵，且已知一二则一（）1 1 1A.-1B. C.4D.1 答案 B测试点 方阵行列式的性质 1：-'：|'：解-':1'所以:2 1 01 2 1例10计算行列式D12的值.测试点行列式的计算210210-31121-301=(-1)1+3-22=4解D=012021 1 41 3 12 1 11 11的值.1

6、1例11求4阶行列式1测试点行列式的计算1 1 4=6123 23 3例12计算3阶行列式力了 67答疑编号118010112 :针对该题提问正确答案精品文档=0123 23 3100 23 3100 20 3249 49 9200 49 9200 40 9帥口a367 67 7300 67 7300 60 7020Cl0例13计算4阶行列式:正确答案Cl102=IJ20?04的值.2002= (-2)-2004=4精品文档x a a a3a a a ax+3aaaaa x a ar+ 3aa a0x-a00a a x ax+Sa a x a00x-a0a a a xx+3tr a a000x

7、-aD =例14计算行列式：以口 Q测试点各行元素之和为常数的行列式的计算技巧解 ,；-；r例15计算行列式ab0000ab 0000a -00000 abb000a精品文档测试点行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算ab0000ai 0000-0000Q abb00 0aoo=4u+Hin+(-b*+Xi = / +(-1 严护精品文档例16计算行列式正确答案000110o000200200H (IMP)' *07o0卩Z)007080o0000呂A =扩展2 -= -101100 001027例17设问（1） D（2）方程 测试点1.1664（X）中，D

8、 （x） =0有几个根？试写出所有的根。 范德蒙行列式的判别和计算公式；1 2x3项的系数=?2.行列式按行（列）展开的定理16=-(3-2)(4-2)(4-3) =-2解（1） X3项的系数（2）因为厂-：“-V所以方程D（x） =0有三个根：xi=2, x 2=3, X3=4第一章的重点是行列式的性质和计算。第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念1. 要分清矩阵与行列式的区别2.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵,数量阵）二、矩阵的运算1.矩阵A , B的加、减、乘有意义的充分必要条件2.矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点 （加

9、法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）土叩二屮別+於；（月+旳"）二#+嘲曲3. 转置对称阵和反对称阵1）转置的性质y 几2）若A T=A （AT= - A ），则称A为对称（反对称）阵4. 逆矩阵.当A可逆时,1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是2）方阵A的伴随阵一的定义AiAi4?料4.。重要公式肛|伞；片与A -1的关系（当方阵A可逆时,3）重要结论：若n阶方阵A,B满足AB=E则A,B都可逆，且 A、B，B“=A.4）逆矩阵的性质:】尸"十屮；尸=沪屮（右=* k

10、l=j5）消去律：设方阵 A可逆，且AB=AC（ BA=CA，则必有 B=G（若不知 A可逆, 仅知AM0结论不一定成立。）5. 方阵的行列式岡=制；网二护包卜同那6. 分快矩阵矩阵运算时分快的原则；分快矩阵的运算规则；分快矩阵的转置As4/r4AiAsAt=4兀An2.4-绘三、矩阵的初等变换和初等矩阵1. 初等变换的定义和性质方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将矩阵A化为标准形° °，其中r为矩阵A的秩.2. 初等矩阵的定义和性质1

11、）初等矩阵的定义2）初等变换和矩阵乘法之间的关系3）对任意mXn阶矩阵A,总存在一系列 m阶初等阵 &尽卫 和一系列n阶初等阵 盘必广 使得四、矩阵的k阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法XA=BX = B五、 矩阵方程的标准形及解的公式 一 _ ' L - L真题解析<1 2B 6丿，则下列矩阵运算中有意义的是（）正确答案测试点：D.CAB例2若3X2矩阵的是（f131-2_S 2 J,5 =-23fC =152_<21卫-1 2,月二)A.ACB B.ABC C.BACB矩阵相乘有意义的充分必要条件A.ABC B.AC tBtC.CBA，则下列矩阵运算的结果为D

12、.C tBtAt例1设矩阵A= (1,2 ), V °丿例3设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（）A.A+ATB.A-ATC.AATD.ATA正确答案B测试点1.对称阵和反对称阵的定义A T=A （AJ=-A），则称A为对称阵（反对称阵）2.转置的性质：上'.-I'-"例4设A为n阶方阵,为实数，则=(& 2AB. |业|D. |卄 |例6设矩阵TA.A BC正确答案b.ctbtat c.ctatbtB<1 2 3q 0 0A = 2 1 0B =0 2 1例7设矩阵Q b卫1 3，则测试点：转置的反序性A+2B =正确答案C测试点

13、 矩阵数乘的定义和行列式的性质例5设A为n阶方阵，令方阵 B=A+A,则必有（）A. Bt=BB.B=2Ac.bt=-bd.b=o正确答案A,B,C为同阶方阵，则（ABC T=（D.A CB正确答案测试点：，则 atb=_120_'20O''320_J+2£ =210+42=252o01_026_027_矩阵运算的定义解例8设矩阵 正确答案测试点：矩阵运算的定义护养(1,2)=5.力M -例9设3阶矩阵A的行列式 一，则A.4B.1C.-1D.-4正确答案D测试点矩阵的数乘的定义和行列式的性质例10设A,B为任意n阶矩阵,E为单位矩阵，0为n阶零矩阵，则下列

14、各式中正确的是【】A. （ A+B （ A-B）=A 2-B2B. （ AB）2=a?B22C.（ A+E （ A-E）=A -ED.由 AB=O必可推出 A=O或 B=O正确答案C测试点 矩阵乘法的性质，特别是没有交换律A 例11设2阶矩阵bd八则虫* =(B.正确答案 测试点A伴随矩阵的定义,二阶方阵的伴随阵02PD.仝&Cb a占二例12设3阶矩阵正确答案A是n阶方阵，则测试点伴随矩阵的概念；若例14矩阵I"1扣b 3;It 1 13 J3s。丿的逆矩阵是（）答疑编号118020114 :针对该题提问'600A4* = ZJ =6E =060_u06（20 0A

15、 =36 313.设3 2)，则二正确答案测试点重要公式-; _正确答案C测试点1.二阶可逆阵的逆矩阵的公式2. 验证B是A的逆矩阵的方法9 1(A T)A= 0 2例15设3阶矩阵 I.2°答疑编号118020115 :针对该题提问C显示善案正确答案测试点1.逆矩阵的性质°_T则2.分块矩阵求逆矩阵的方法0 S-1'0 0 2_*11 2 0=3 5 0-L注意要验算例16设A为2阶可逆矩阵,(2莎1C.1q 2數2且已知lp力<12Y1D.答疑编号118020116:针对该题提问正确答案D测试点逆矩阵的性质'1 2_1 11 2_2A =A=-&l

16、t;3勿,所以3 4故3 4解由例17设A是3阶方阵，且_ 1A.-2B.C. _D. 2答疑编号118020117 :针对该题提问 A隐雜答塞正确答案 Aab=Ab ； M十占测试点方阵行列式的性质|-:|.2 1例 18 已知 A-2A-8E=O 贝9( A+E)-。答疑编号118020118:针对该题提问揮隐雜答案(A+Ey-(A-3E).正确答案:测试点关于逆矩阵的重要推论1 1 若A,B都是n阶矩阵，且满足AB=En则A,B都可逆，且A =B, B =A22解由 A -2A-8E=O 得 A+A-3A-3E-5E=0，即(A+E)( A-3E) =5E, (A+E)逊二 E(A+Ey

17、1 二-(A-3E).即i,故i例19设n阶方阵A满足A m =0,其中m为正整数，证明 E-A可逆，且(E-奸】 = £+/+屮+旷】答疑编号118020119:针对该题提问-竖示答累I正确答案解：（£-&1+£+小+炉）=（E+A+ + - +#'1）-（丄+上2 + + 月曲“ + 月戢）二二 E例20下列矩阵中，是初等矩阵的为（）51 1-10A.B.0p100ro101010003C.00答疑编口号118020120:针对该题提问毎隐雜答塞正确答案C测试点初等矩阵的定义例21下列矩阵中不是初等矩阵的为（）<1 0 3p 00 1 0

18、B.u Jt a0 1 (b o iJ琵f n aH oq o osp 0 0>2 Cnc0 2 0:D；1 1 0卫0 bb o J答疑编号118020121 :针对该题提问正确答案D测试点初等矩阵的定义；矩阵的初等变换的定义'1 0 0_ 0 0_0 1 0(3)+(1) >0 1 0解析因为_0 0 11 0 1，故A.是初等矩阵。B是单位矩阵经第三行加第一行的（-1 ）倍得到的，故也是初等矩阵，C是单位矩阵的第二行乘以 2所得，也是初等矩阵, 所以D不是初等矩阵。例22设矩阵 ®,s =a22 +an p ° 占=1 a2 丿 V31丿则必有()

19、A.PiPA=B B. P2PiA=BC.APiP2=B D.AP2Pi=B答疑编号118020122 :针对该题提问初等方阵以及初等方阵的功能。答案AB 匕】+兔1砌J解方阵V 11如丿是由a21如丿测试点矩阵的初等变换和矩阵乘法之间的关系;经过两次初等行变换得到的,马=（1）第一行的一倍加到第二行上，相应的初等方阵是- L（0 n 百=（2）第一行和第二行两行互换，相应的初等方阵是V 。丿用初等方阵左（右）乘矩阵A就等于对矩阵A做相应的初等行（列）根据初等方阵的功能: 变换.故B=P 1P2A所以验算：爼如"'11如J L<21 a22>211牝+如丿91Y钿

20、先J+勺1坷2 +勺U 0丿gl +水21佥12 +如丿( 0 -1 0、< an0 -2例23设矩阵A.所有2阶子式都不为零C. 所有3阶子式都不为零，则A中（）B. 所有2阶子式都为零D.存在一个3阶子式不为零答疑编号118020123:针对该题提问正确答案D测试点矩阵的k阶子式的概念<1 2A =例24设矩阵3°丿，则行列式答疑编号118020201 :针对该题提问I U显示善案正确答案测试点方阵行列式的性质解一* 10 P.4= 0 2 0例25设矩阵 1°°1丿，矩阵B-A-E，则矩阵B的秩尸=答疑编号118020202 :针对该题提问影IS

21、曬醉正确答案测试点矩阵秩的概念I 0 1B=A-S=0 1 0_0 0 0例26设A是4X5矩阵，暑1一，则（）A. A中的4阶子式都不为0 B. A中存在不为0的4阶子式C. A中的3阶子式都不为0 D. A中存在不为0的3阶子式答疑编号118020203:针对该题提问正确答案D测试点矩阵秩的概念例27设三阶矩阵,若存在初等矩阵P,使得1A例28已知矩阵L2-1匕显下答累正确答案测试点方阵多项式的概念r 100_10-2 100_-20_A.010010C-210n；.010-2L01001 _001_001_】L码1则p=【答疑编号118020204 :针对该题提问靜隐薙答案正确答案B测试

22、点 矩阵的初等变换和用初等矩阵乘的关系-， e为2阶单位矩阵，令B = A - 3A+ 2E,求b答疑编号118020205 :针对该题提问1-1-31-1+210232301二13 -3_+_20_'-2-f8了1_690220例29设占二2o r1 0 ,2 -y求屮所以注意一定要验算A =例30设矩阵-1(217-1.，求矩阵方程XA=B的解X.答疑编号118020206:针对该题提问测试点求逆矩阵的方法解<101100(2)+(-2)(1)“ 01 10 0血卜2 10 0 10>0 1-2 -21 0-3 20 0 1丿,0 2-2 3° 1丿答疑编号1

23、18020207 :针对该题提问5示菩累订瞠養答宾正确答案测试点解矩阵方程的方法X = B = 解5一 2验算!例31设A,B均为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，且满足：，丨一-上-?.若已知1 0 -1月二 020,_一1°1求矩阵B.答疑编号118020208:针对该题提问测试点解矩阵方程的方法解因为二二一 ?，故左匸-110-f_100"_00-A-E =020010=010-101_JJ01_-100，又显然A-E可逆,2-1应用消去律得0从而-二-打匚'1011P0 -r_1 0 0_AB + E =02o03+0 1 0验算-10d02_0 0 1_3 0-

24、3_j ()0"1 4 0-3=0 60+010=0 70-3 030 01-3 04_20-2_'20 -I-40 -31才+养040+03 007 0-202-10 213 0 4-102所以确有亠二二一 一 f例32已知矩阵满足方程-3 -11矩阵X满足方程AX+BX=D-C求X。答疑编号118020209:针对该题提问测试点求矩阵方程的解解由 AX+BX=D-C得(A+B)X=D-CA+B D-C =-1-1211 3-ri_T-1-2 -1-3 1_£ 1-0-210-3rk_i -2-1-3r-5270115-2-3验算12a为何值时,例33设矩阵秩(A

25、)=2.118020210 :针对该题提问(1) 秩 (A)=1 ；( 2)答疑编号正确答案 测试点求矩阵秩的方法 解q 2_1II'12 -13_12 -13A =4 8-412卩、0000T000a-9C 6-3000a-9_0000所以 当a=9时， 秩(A)=1 ;当a9时，秩(A)=2例34证明：若A为3阶可逆的上三角矩阵，则二 '也是上三角矩阵答疑编号118020211 :针对该题提问au0证因为A为3阶可逆的上三角矩阵，设AiAi设 其中=04 = (-1)1+3=0所以一 J必为上三角矩阵，命题得证例35设A为rm< n矩阵，C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为

26、r，则矩阵B=AC的秩为答疑编号118020212 :针对该题提问3凰示答累毎隐雜答塞正确答案r例 36 设令，试求一一.答疑编号118020213:针对该题提问显示答案更隐薙答案正确答案测试点矩阵乘法的一个常用技巧解因为一 -;-,所以才二 fqEqXqo7©"肖二 y（0应）（；&/）（ 0去）（戸二誉（0”）*01 -1f_1 -1 r= (y)Vy5=2+2 -22=162 -2 23 -33_3 -3 337.设3阶方阵A的秩为2,则与A等价的矩阵为（）仃1 P( 1 10 0 00 1 1卫0 0卫0 Oj仃1 P<1 1 nC.2 2 2E2 2

27、 2卫0 0丿<3 3 6答疑编号118020214 :针对该题提问| »隐雜答案正确答案B测试点矩阵等价的概念；等价矩阵有相等的秩；反之同形的两个 矩阵只要其秩相等，必等价 解因为A,C,D的矩阵的秩都为1，B的矩阵的秩等于2.故答案应 为B.例38设A是n阶方阵，且 （缶叭0，证明A可逆.答疑编号118020215 :针对该题提问II正确答案测试点 若AB=E A,B都可逆,且厂 -：-证 因为-,即丄I 1£ - ?，所以-如4+2E） = E故 A 可逆，且 ' ''-，J''-.例39设A,B都是n阶方阵，BM0,AB

28、=0.证明 A是奇异阵.答疑编号118020216:针对该题提问正确答案证明 应用反证法 假设A不是奇异阵，即A可逆，在AB=0的两边左乘,得B=0.这与已知BM0矛盾故A是奇异阵.类似地，可知，若Am 0,AB=0 ,必有B是奇异阵第二章的内容较多，涉及到的概念，公式也多，考题比较细。但都很基本，所以只要全 面复习，就一定能从容应对。第三章向量空间主要知识点一、n维向量线性运算的定义和性质 ；设入 f 是一组n维向量构成的向量组。如果存在一组不全为零的数v "-使得 人珂+ 4% +4%二° 则称向量组'； 1:!线性相关。否则，称向量组 4込：5：:线性无关。二

29、、n维向量组的线性相关性1. 向量组的线性相关性的定义和关于线性相关的几个定理；(1) m个n维向量-;-Jl线性相关的充分必要条件是至少存在某个-:是 其余向量的线性组合"-'-Jl线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合(2) 如果向量组 4込线性无关，而 二丄-二：宀 线性相关，则3可由“ '説匸一匕线性表示,且表示法唯一.(3) 线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关(部分相关，则整体 相关；或整体无关，则部分无关)(4) 若向量组-"-?： -"-线性无关，则接长向量组何-(吗1為(i+i)

30、87;i =2脚必线性无关2. 判断向量组的线性相关性的方法(1) 一个向量a线性相关二一 1 ；(2) 含有零向量的向量组必线性相关；(3) 向量个数=向量维数时，n维向量组 ''： 乙：线性相关0|虫|羽硝-讣0；(4) 向量个数 > 向量维数时，向量组必线性相关；（5）若向量组的一个部分组线性相关，则向量组必线性相关；（6）若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；（7）向量组线性无关向量组的秩=所含向量的个数 ， 向量组线性相关向量组的秩 所含向量的个数；（8） 向量组线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组兀坷+血$+无兔二0有（没有）非零解三、向量组的极大

31、无关组及秩1. 极大无关组的定义2. 向量组的秩 求向量组的秩和极大无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表示的 的方法四、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下的坐标真题解析例1.已知坷-地+2% =禺其中，坏=厂1）& =（0*2厂5）,则坷=答疑编号118030101 :针对该题提问答案一.测试点n维向量线性运算的定义和性质解因为-一亠一一' ,所以碍=故一（请验算）例2.若向量组' - I I线性相关，则实数（）A. 0B.1C.2D.3答疑编号118030102 :针对该题提问正确答案B测试点n个n维向量线性相关相应的行列式=0;Z)=|of of of解1t

32、+101 020 =(F+1)(17)0+1例3.若向量组1丄二线性无关,则a的取值应满足答疑编号118030103:针对该题提问i正确答案a0且2.测试点n个n维向量线性无关；相应的行列式工0; 解所以a0且2.10 = 一 4。+ 2/ = 2°(& 2) H 00例 4设向量：一 | L h'.二，I丄屮.I. ，匸 - i J.'.则 b 由二十 线性表出的表示式为 .答疑编号118030104:针对该题提问答案-2 一丄测试点向量由向量组线性表示 解考虑二二-丁二；、 该线性方程组的增广矩阵刁二国碍_1 1 1->0110 0 1_1 10卜1

33、 1_1 00_1 1-1?0 1-10 0;组合系数的求法1 0_0 1>0 1_0 1 0 0 1 -111100 0-11J3 -1 -1 1_1 0 0 1>01000 0 1-1所以-I卫二13例5.矩阵 （1 6丿的行向量组的秩=.答疑编号118030105:针对该题提问U基7R答累正确答案2测试点 矩阵的秩；向量组的秩之间的关系；例6.设向量组线性相关，则必可推出（）A. '' ： - 仏中至少有一个向量为零向量B. 二匚-中至少有两个向量成比例c.匕& '4.中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D. ' "J

34、中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合答疑编号118030106:针对该题提问正确答案C测试点向量组线性相关的概念例7.向量组二二：宀线性无关的充分条件是A. - 江都不是零向量B. :中任意两个向量都不成比例C. 中任意一个向量都不能表为其余向量的线性组合D. 中任意个向量都线性无关答疑编号118030107 :针对该题提问答案C测试点 向量组线性相关的概念；充分条件；必要条件；充分必要条件卩12解对于选项A:丄2都不是零向量，但外坷线性相关.101014 =1对于选项B、D:000中任意两个向量都不成比例 ，且其中任意3-仁2个向量都线性无关，但：'1-'线性相关故A,

35、B,D都不正确例 8.设向量-1 - -:J-二;一上L;_- -lL ，下列命题中正确的是（）A. 若，上 线性相关，则必有"J线性相关B. 若；上 线性无关，则必有线性无关c.若-j线性相关，则必有线性无关D. 若-. -J线性无关，则必有：；线性相关答疑编号118030108:针对该题提问正确答案B例9设'' /'勺是一个4维向量组，若已知 “可以表为的线性组合，且表示法惟一，则向量组 勺：*以 二的秩为（）A.1B.2C. 3D.4答疑编号118030109 :针对该题提问答案C测试点 （1）向量组的秩的概念；（2 ）向量由向量组线性表示的概念（3 ）

36、向量组线性相关和线性无关的概念解因为宀可以表为-； L'的线性组合，且表示法惟一，必有 二：线性无关， 因为设易遇+易勺+兔说=0,由宓可以表为兔，电，色的娃性组合，即省二勺 +毎岂+鸟碣故瀚二 站+ 0二阳坷+禺碍+短他+ +4禺+4鸡佝+兔）瀚+（站+给）的+ （禺+堪）碣由表示法惟一，有jtj + 召 P + 21 七? =于是有i 一一 '"，故土二打二线性无关，又v可以表为:m二:的线性组合，所以:、'1为向量组=5丄“弋的一个极大无关组，故向量组- ；'I-' -'的秩为3.例io向量空间=U=Ui?澈）k、可为实数的维数为

37、.答疑编号118030110:针对该题提问| C显示答案|毎隐雜答塞正确答案2测试点向量空间维数的概念解 容易看出二 -'："-''是V的一个基。例11已知向量组 -|収二 1一.-是匸的一组基，则向量0即3） 在这组基下的坐标是.答疑编号118030111 :针对该题提问答案（3,2,1）.测试点 向量在一组基下的坐标解考虑f 1 '!-! ' ' " 厂该线性方程组的增广矩阵为1 13 8_11381苑罔of农/=12 0 7>01 今-1o -1 -3 -sj_1138"二138"100301-

38、3-1T01-3-1T010200-6-6o011 _0011所以，二在这组基下的坐标是（3,2,1）（即一 山+ 二+工）例12设向量组坷=（1厂1,2,忆色=（2厂2,4厂2兀碣二（306厂1）鸟二（0&0府（1）求向量组的秩和一个极大线性无关组；答疑编号118030112 :针对该题提问（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合。答疑编号118030113:针对该题提问 1230_230_-1- 203(3H-2X1) 帥 31)、(103324601100_ 1- 2-1化_0-4-44,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法1-2测试点求向量组的极大无关组_1230_

39、120-3011一 1*冲）010-2001100110000 一_00000解所以原向量组的秩为3，八卞为所求的极大无关组。"二八1 儿.例13.设向量组 ；1：线性无关，证明向量组也线性无关答疑编号118030114:针对该题提问测试点 向量组线性无关的定义；任意矩阵用可逆矩阵左（右）乘以后，其秩不变；向量组A能用向量组B线性表示与矩阵乘法的关系证1因为A二靖+刈吗=遢喝=2 工 01 1 故h -L证2设因沖pill即因为尚，斶线性无关所以斶，喝=么又1 _1可逆，所以珂矗，屁=厶故你煜也线性无关， E岛败+焜屁-0坷二场+6,扁二碍丐俎（坷+隔）+ &（冏-殉）二。（

40、炖+屯）驾+（&- D他=o 并+占二0因为给E线性无关，故仏-&二°,所以只能占二切Q.这表明若".-1_'-J,必有Qi；-.据向量组线性无关的定义， 知-.-J也线性无关例14.设向量组 :线性无关，而向量组一 7线性相关。证明：向量r必可表为- - ： -； L'的线性组合。测试点关于线性相关性的几个定理证 因为还，禺,碣线性无关;故禺心总线性无关，又因为殉©冲线性相关n >D故毎必能由羽他线性表示，当然可表为场備的线性组合.证毕二咧1虽疋明；若向量组还碣,，兔线性无关，而_3cl_ d nnH j d则向童组仇九&#

41、39; 必线性无关的充要条件是料为奇数.测试点线性相关性的定义证 因衙屛二坏+鬲煜二遢+砌,屁=斶+碣,浚二至一 1+劭抜由 疋心Ac=O即 用+瓷）+人（色+购）+底（斶+屯）+&9U+鹫）=（妬 + &）簡 +（禺 +&）住j H F （旬 + &）爲=0 ,因为向量组-.1-1":线性无关，必须且只需因为所以当nA +& = °1100011 000011001i+（-i/+1为奇数时,A（1）D=2 0,齐次方程组（1 ）只有零解，没有非零解，故向量组反之，若当n为偶数时，D=0，齐次方程组（1）有非零解，故向量组 性相关；所

42、以若一.：线性无关，必有n为奇数。综合以上两方面知向量组线性无关的充要条件是 n为奇数.若辽丰0,则向量例16.设向量组- - : '； L'线性无关，且1：1 1 1 1 ： ''：.证明:组-也线性无关.证i不妨设都是列向量，则0 碣 碣卜疋曲+心砌+闰碣 砌 碣卜q 闵斶如因为坷角角线性无关，故矩阵I勺碣 色的秩等于3，又因为0 01 0°1可逆，所以矩阵 0垢碣的秩也等于3,故向量组的秩也是3,所以向量组也线性无关。证币考査下10+冷斶+码函=°Q）« 0勺即 Ai（A理l+&碣+底碍）+彫砒+也他=0目卩升场+（E

43、 + x禹）笑+ （毛+ X】应）碣二0珂禺=o 蚌疝、4-xs = 0 因为遢碍，喝线性无关，故必有h觞+码1）式成立，必须且只需因为险故齐诜方程组（2）的系数行列式阳所以该方程组只有零解，没有非零解，这表明为使（无二无二再二0即向量组线性无关.证毕.第三章的重点是向量组的线性相关性，特别是如何求向量组的极大无关组。 第四章线性方程组一、线性方程组的三种表示方法珂阿一如花+弧斗=歼*碍西+ 口 11花+吆兀=工lxi4 务z羽 +-耳二 H°11务(2).4x=Br 其中 A =%,4 =稅】务2代一(3) xLa1xLa1-¥ "+x = b二、齐次线性方程组

44、1. 齐次方程组解的性质设a , 3都是Ax= 0的解，贝U G a + C2 3也是Ax= 0的解（C, C2为任意常数）2. 齐次方程组有非零解的条件1） 齐次方程组 A）= 0有非零解的充分必要条件是r （A） v未知数的个数（即矩阵 A的 列数）.2） n个未知数n个方程的齐次方程组 AX= 0有非零解的充分必要条件是| A| = 0.3） 设A是mxn阶矩阵若m< n,则齐次方程组 AX= 0必有非零解（这是齐次方程组 有非零解的充分条件但不必要）3. 齐次方程组解的结构1）齐次方程组AX= 0的基础解系的概念重要结论：齐次方程组AX= 0的任意n-r （A）个线性无关的解都构成该齐次方程组的