数值分析第五版_李庆扬_王能超_易大义主编课后习题答案

1、第一章绪论1.设a >O,x的相对误差为5,求lnx的误差。.£ * Y * X解：近似值X的相对误差为J =-一-X* X*而 In x 的误差为幺(In x*) = Inx*-lnx e* x*2设x的相对误差为2%,求X”的相对误差。 解：设f(x) = x则函数的条件数为rfMY 又 /'W =, c =1:_: 1= nn又£r(X*)“)aCp£a*)且 er (a*)为 2 £(x*)")a0.02”3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：£

2、 = 1.1021,x；=0.031, x； = 385.6, x； =56.430,x； =7x1.0.解：x； = 1.1021是五位有效数字；£=0.031是二位有效数字；£=385.6是四位有效数字：x； = 56.430是五位有效数字：x；= 7x1.0.是二位有效数字。4. 利用公式求下列各近似值的误差限：x；+x；+x；,(2) x；x；x；,(3) x；/x；.其中x；,x；,x；,x；均为第3题所给的数。解：£（斗）=:yX IO"4£（勺）=亍x 10“£（兀3）= :yX 10 1£（兀）=xlO 3&

3、#163;（“）= :yX 10 1心+ £+£）= £（X；）+ £（X；） + £（X；）= -xl0-4+-xl0'3 + 丄 X10"2 2 2= 1.05x10“（2）£（心；兀）=I心;I £（x；） + 卜;x； | £（X； ） + |xX| £（E）= |1.1021 x 0.031| x 1 x 10_1 +10.031 x 385.6| x 丄 x IO-4+ |1.102 lx 385.6 卜 ixlO'32 2 2aO215£（丘/兀）卜;|

4、£（"；） +卜：£（X；）彩1!:0.031 x 丄 x 10 J + 56.430 x 丄 x 10“_ 2 256.430x56.430=10-55计算球体积要使相对误差限为1,问度戢半径R时允许的相对误差限是多少解：球体体积为V = -ttR33则何种函数的条件数为弓（V*）心Cp（RT = 3耳（炉） 又 v£：r（V*） = l故度量半径R时允许的相对误差限为斫(/?*) = 1x1心0.336.设人=28,按递推公式Yh =一一LjT丽(n=l,2,.)100计算到岭“。若取V783 « 27.982 (5位有效数字)，试问计算冷

5、)将有多大误差 解：知-盒朋%-需砲依次代入后，有y；()0 = -100x V783 即 00=-5/783 »若取 7783 27.982, .-. = -27.982£（隘）=£厲）+£（27.982） =、10刁%的误差限为丄xl0-27.求方程x2-56x + 1= 0的两个根，使它至少具有4位有效数字（J丽= 27.982）。 解：A2 -56x + l =0 >故方程的根应为刃2 = 28±/783故 X, = 28+/783 « 28 + 27.982 = 55.982X|具有5位有效数字5 一屈二ft1 _ 1

6、28 + 27.982 " 55.982« 0.017863Z具有5位有效数字&当N充分大时，怎样求7)N + x2严+11解 T dx = arctan(A +1) arctan N)N 1 + JT设 a = aictan(N +1), 0 = aictan N。则 tan a = N +1, tan /3 = N广亠)N 1 + X2=a_卩=arctan(tan(cr 一 0)tan a -tan fl=arctan1 +tan 6Z>tan 0N + l N=arctan1 + (N + 1)N1=arctan ；N2 + N + 9.正方形的边长大

7、约为了 100cm,应怎样测量才能使其而积误差不超过 解：正方形的而积函数为A(x) = X2当炉= 100时，若f(A*)<L则 (x*)<-xl0*22故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使苴而积误差不超过cm210设S = -gt2,假左g是准确的，而对t的测量有M.1秒的误差，证明当t增加时S的 2绝对误差增加，而相对误差却减少。解:vS =2. w(S*) = gF£(r*) 当广增加时，S*的绝对误差增加（严）当/*增加时，£（/*）保持不变，则S*的相对误差减少。11. 序列几满足递推关系儿=10儿一1 （n=l,2,.）,若y0 =72

8、1.41 （三位有效数字），计算到X。时误差有多大这个计算过程稳泄吗解：.北=>/*141又一1=10儿-1 £（”*） = 1。£（儿*）又 vy2 =10y,-l.- £（',*） = 10（*） £（兀*）= 1°，£（儿*）.£（九*） = 10%（）= 10,0xlxl02= lxl0812. 计算/ = F，取>/2«1.4,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好1S+1)&"E乔商99 7。屈解：设y =(兀一1)6,若 X =忑,X =1.4 ,则 £

9、(X*) = xlOl o2若通过l? «计算y值,则 (>/2+l)6e(/) =6x r-!t £(/) (x +1)7=上 >'*£(X*) (X +1)=2.53y*s(x) 若通过(3 - 2外计算y值，则 £()=卜3 x 2 x (3 - 2%*)2|>8(%*)64 r 4= y 9£(x) 3-2兀=30yl(F)若通过1(3 + 2外计算y值，则£(/) =3x!TT £(+)(3+ 2x)4=6x-r-7 y*s(x*)(3+ 2x)7= 1.0345y*s(x )通过=-讣算

10、后得到的结果最好。(3 + 2V2)313. /(x) = ln(x->/x2-l)/(3O)的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大若改用另一等价公式。ln(x_ 1) = _ 1咻+ 3_ 1)计算，求对数时误差有多大解 f(x) = n(x-yjx2-)f /(3O) = ln(3O-/899) 设 w = 5/899,y = /(30)则 u = 29.9833 8(«4) = XIO"4a3xl0“若改用等价公式ln(x-v%2 -1) = -ln(x+>/2 -1)则/(3O) = -ln(3O + 7899)此时，8x10“第二章插值法1.

11、当x = l,-1,2时,/(劝=0,34求/(%)的二次插值多项式。 解：x0 = 1,X =_1,“2 = 2,fM = OJ'Ui) = -3,/(x,) = 4;的)=(Dd) = _h +1)(-2)(x0 Xj)(x0 x2)2则二次拉格朗日插值多项式为= -3/0(x) + 4/2(x)是3I114= -U-l)U-2) + y(X-l)(X+l)5 , 37= x + x 6 232.给出/(x) = lnx的数值表XInx用线性插值及二次插值计算In 0.54的近似值。 解：由表格知，x0 =0.4,X| =0.5,x2 = 0.6, x3 =0.7,x4 =0.8;

12、 f(x0) = 0.916291 JO) = -0.693147 f(x2) = -0.510826,/(x3) = -0.356675 /(“)=0.223144 若采用线性插值法计算In 0.54即/(0.54),则 0.5 <0.54 <0.6 /©)=七乞=_10(06)/,(x) = =-10(/-0.5)厶(X)=(x) + f(x2)l2(x)=6.93147(x 一 0.6)-5.10826(%-0.5) .I 厶(0.54) = -0.6202186 « -0.620219 若采用二次插值法汁算In 0.54= 50(x 05)(x 06)/

13、(“)=(f )(L_00(04)(_06)(旺一兀)(召一人2)(x2-x(x2-x)= 50(%-0.4)(x-0.5)= f (xMx) + f(xl)l (x) + f(x2)l2(x)=-50 x 0.91629 l（x- 0.5）（x 一 0.6） + 69.3147（x - 0.4）（x 一 0.6）-0.510826 x 50（.v 一 0.4）（x 一 0.5）.厶（0.54） = -0.61531984 心-0.615320 3.给全cos血0。<虫90。的函数表，步长/i = lr = （l/60）若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求COSX近似值时的总误差界

14、。解：求解COSX近似值时，误差可以分为两个部分，一方而，X是近似值，具有5位有效数 字，在此后的计算过程中产生一左的误差传播：另一方而，利用插值法求函数COSX的近似 值时，采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一立的误差。因此，总误差界的计算应综 合以上两方面的因素。当 0 < x < 90° 时，令 f（x） = cosx取兀0=0/ =（丄）。=601 兀一x601807110800令兀=x0 +/7/J = 0J,.,5400 则“4oo = y = 9°当兀丘无,耳一时，线性插值多项式为厶=/（兀）匸竺+ /（和）上玉- 母一易M母利一忑插值余项为R

15、（x） = |cosx-厶（x）|= £厂（§）（兀-耳）（尤-mJ又在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosxe0j,故计算中有误差传播 过程。RO) = £(八忑)二+ £(fxk+l) A J+l"(八兀)(ST兀一兀+1忑一无+】= £（f （母）；C*+i-兀 + x-母）h= £（/©）总误差界为 r = rM+r2(x)=!(-cosg)(x 一忑)(x 一畑)+£(八不) <x(x-xkXxk-x) + £(fxk) <|x(l/7)2 + £r(

16、/4(A；) = 1.06xl0-s + lxl0"52= 0.50106x10'54设为互异节点，求证:(1)为 Xjlj(x) = x/(>（2）为（®x）律三0伙=0丄/）;证明（1）令 fM = xk若插值节点为® J = 0,1,“，则函数/（x）的"次插值多项式为厶（x） = f 幻切。插值余项为心(x) = f(x)-Ln(x)=5 + 1)! n+I又k < n,.严毬)=0恥)=0ft为x：【j (x) = xk伙=0,1,M);I(2) f (勺-叽I =i(ic/x；(-x)-yyW7-0r-0=£ C

17、；(7尸(f也)/U)j-0XvO</<n 由上题结论可知.原式=f C；(-x)i?J.o= (x-x)k=0.得证。5 设 f(x)eC2a,b且 f(a) = f(b) = 0,求证:喇/如扣-疔喇八现解：令x0=a.x=b,以此为插值节点,则线性插值多项式为W = /(o)-AzA + /(i)£zAX°_Xrz、x_b= = /(a) +f(b) a_bx-a又 v/(«) = /(Z>) = 0厶(x) = 0插值余项为 R(x) = f(x) - L)(a) = fxx - x() )(x - x,) fM = 2广(x)(x Xo

18、)(x-E)乂 |（兀一心）（兀一画）|= (xi _xo)=(b a)26. 在-4<x<4上给岀Jx） = ex的等距节点函数表，若用二次插值求，的近似值，要使 截断误差不超过10",问使用函数表的步长h应取多少解：若插值节点为兀十兀和易+|,则分段二次插值多项式的插值余项为&（X）= £ 厂）（x - X- ）（x -兀）（x - 和）设步长为h，即G =兀一h,xM =Xj+h若截断误差不超过10",则|/?2（x）|<10-64/3 < 10"27.MS 0.0065.7. 若儿= 2”,求&儿及,解：根

19、据向前差分算子和中心差分算子的圮义进行求解。儿=2”A=（-D4 儿=(2-D4y=片=2"几”=（吕E切儿=（乔）4（=产心=yn-i=2心8. 如果/（x）是m次多项式，记纣（力=/。+力）一/（；0，证明/'（X）的k阶差分Akf（x）（O<k<m）是m k次多项式，并且Aw,*7（x） = 0 （/为正整数）。解：函数/（X）的Taylor展式为（册+.+挣常+其中 e(x9x+h) 又 /(x)是次数为川的多项式.严)(歹)=0/. Af (x) = f(x+A) - f(x)=f(x)h + i fx)h2 + +=严 >(x)胪2:.f(x)为

20、加1阶多项式A2/(x) = A(Af(x) A2/（X）为加一2阶多项式依此过程递推，得T(x)是m k次多项式 &"/(Q是常数二当/为正整数时,Ar;r+1/(x) = O 9证明 (f&) = fkk + g如皿证明=Zt+lg却人g*+l +fkSk =gjbM(£+】一人)+ 人(8 如1 一 gj得证/r-lw-110-证明为九乩-工g如M Jt-0女<)证明：由上题结论可知fQgk =kg J - gkQfkH-J£ 禺Dn-i=工(0/風)gzM)n-1n-1=2>(加)-2>3"0jl-4) 氐(人g

21、Qufwgg-人gk;r-l工(£&)D=(/；g -人g0)+ Sg2 -/lgl)+(£g“ A-ln-1)n-1n-1/；% = /怎-Togo -工gwMA-01-()得证。/r-l11-证明工')! = 儿一 3。丿.0w-1/r-I证明工=()* 一切)_M>j-o=(" 一Ay0) + (A>s-Ay1) + -. + (; 一;_)= Ayn-Ay()(得证。12. 若 f(x) = aQ + alx + - + axn + anxn 有”个不同实根召內，二斤 o,om2；证处V = 1,;-1 i (x)如,k = n

22、 证明:v/(x)有个不同实根xpx2,.,xJ L /(x) = a()+ qx + + cinxn | + / (x) = an (x _ X )(x _ e )(x _ £)令 0(x) = (x_xi)(x_x2)(x_xn ykn知g台也3)而型3 = (X_X2)(X_X3)(X_X+ (X_Xi)(X_X3)(X_ 兀)+ + ( X _ 片)(X _ 吃)(X _ 耳_)就（9）=（© _召）（® _冬）（9 _形）（® _9+】）（_£） 令 g(x) = xk9则小小，凡卜"Xk|又珞忒T护“川0.0<<

23、;/7-2; nk = /? -17-1得证。13. 证明舁阶均差有下列性质:()若F(x)=cf(x),则西，齐=于心西，心; 若F(x) = /(x) + g(x),则F兀內，/J = f卜0片,x+ gxo內,心证明：./""也'X"卜 E(X/_Xo).“(X/_Xj_J(Xj_X”).(X/_X”)F Z，J "卜 £7罕J-0(Xj - X() (Xj - X)(£ - 形+)(形- X”)=丈S/VO台(号 一 )(形一丹“ )(9 一 %)(&- X”)=c(f也)篙(勺-无)(9 -XJ-)(Xj _

24、+)(© _X)=</勺眄，,益.得证。(2)F(x) = /(x)+g(Q/. F 心心卜X也丿(Xj 一兀)(屯一-0)(® -禺)=yf(0) + g(0)台(_兀)(号_0)(® _s)(® _©)=y)g(")0(®-兀)(®-K®-“)g-乙)+工）0（®-儿）（®-）（®-巧+J （®-兀）=/卜0,，兀+ &忑,，无.-.得证。14. /(x) = x7+x4+3x + 1,求f2u,2_,27及尸2°,公,2汀。解： f(x

25、) = x1 +xA + 3x + 若兀=27 = 0丄,8 则/%齐/ . / 卜。,鬲,心=，一7,)=帶 T15证明两点三次埃尔米特插值余项是&(x)= /"(g)(x-无)"x-兀+i)'/4!,迁(无，忑+J 解：若xexk,xk+i,且插值多项式满足条件比(忑)=/(兀)，/(忑)=广(忑)比(和)=/(无+J，H；(兀+J = /'(无+J插值余项为R(x) = f(x) - H5(x)由插值条件可知Rg) = R(忑+J = 0且 Rg = Rg) = O. R(x)可写成 R(x) = g(x)(x-xk)2(x-xMy其中g(x)

26、是关于X的待圧函数，现把X看成忑，无+J上的一个固泄点，作函数卩=f(f)-g(x)(r - xk)2 (t - xk+l y根据余项性质，有卩(xJ = O,0Cj) = O卩=/(X)一 H3 (x) - g (x)(x-xj2(x-无+ )2= f(x)-H5(x)-R(x)=00(F) = /*(/)-(z) - (x)2(t - xk)(/ - xk+l) + 2(t xk+)(/ - )2 0(忑)=00(畑)=0由罗尔定理可知,存在Ms)和处心J,使0©) = 0,0(%) = 0即0(劝在忑，母+J上有四个互异零点。根据罗尔定理，©"(/)在0(。

27、的两个零点间至少有一个零点，故07/)在(无,X阳)内至少有三个互异零点，依此类推，卩(Q在(忑，无+J内至少有一个零点。记为纟已(无,母+)使卩=f 4)(勺_禺_4!g(x) = 0又禺=0f (£).g(x)= - 一詁 e (忑，无+J其中纟依赖于X分段三次埃尔米特插值时.若节点为血伙=0丄/),设步长为/即血=心+肋,£ =0丄/在小区间忑內利上s £ (x无)'(不+ 黒惡° (v)< +max|/<4)(x)4!2116求一个次数不髙于4次的多项式PP(0) = P(0) = 0 J(l) = P(l) = 0, P(2

28、) = 0 解：利用埃米尔特插值可得到次数不髙于4的多项式 禺=°、旺=1儿=°,'】=1m） =0侧=1比E = 2丿勺（兀）+工加丿0丿（兀） 丿-0I«（）（x）=（i-25l）（l）2 儿一州勺一州= （1 + 2x）（x_1）2q(x) = (l 2兀）（兀_兀）2= (3-2x)x2 0(x) = x(x-l)2Cv) = (x-l)x2/. H (x) = (3 -2x)x2 + (x -1)宀-X3 + 2x2iP(x) = /3(x) +A(x-x0)2(x-x,)2其中，A为待定常数 P(2) = 1P(x) = -x3 + 2x2 +

29、 Ar2 (x -1)2"J4从而 P(x) = -x2Gv-3)2417 设/(x) = l/(l + x2),在一 5SxS5上取7? = 10,按等距节点求分段线性插值函数厶(x),汁算各打点间中点处的儿(x)与f(x)值，并估计误差。解:则步长h = y在小区间冷兀(上，分段线性插值函数为f怙+心)金各节点间中点处的厶与/的值为当 x = ±4.5 时,f(x) = 0.047 ljjx) = 0.0486当x = ±35时,f(x) = 0.0755,/A(x) = 0.0794当 x = ±2.5 时,/(x) = 0.1379Jh(x) =

30、 0.1500当 x = ±1.5时,f(x) = 0.3077,Ih(x) = 0.3500当 x = ±0.5 时，f(x) = 0.8000Ja(x) = 0.7500误差噩加-厶列書袈f(刖又 Y/W = -1 +对-2x(1 + bfx)=6疋2(1 + x2)324x-24x3(1 + b得fx）的驻点为也=± 1和® = 0驱g）-厶I呂18.求f（X）= X2在恥上分段线性插值函数厶（X）,并估计误差。解：在区间a,b上，xo=a.xn=bjij =和一兀丿=0,，"一 1, h = max /r0<r<n-lv/（

31、x） = x2函数/在小区间心和上分段线性插值函数为IM =匚乜/（兀）+ 仝二二 f（xM） 兀一兀+1兀+1 一兀=兀2（兀+ 兀）+兀兀）误差为max |/(x) - Zh(a)|max fhr f(x) = X2.-.r(x)=2x,ru)=2.max|/(x)-7,(x)|<29.求f（x） = x4a,b上分段埃尔米特插值，并估计误差。解：在&上区间上，x0 = a9xn =b.hi =齐+ 兀丿=0丄,“一1令 h = max h.(09-1 rv/(x) = x/V) = 4x3函数/（x）在区间xrXM上的分段埃尔米特插值函数为 厶=（上二也）2（1 + 2上二

32、工）/3）XjXgXi+l - A；+（丄L工）2（i + 2匸电）/（和）召+|珀齐一兀須+（上二也）2（兀一兀）广（兀）召一兀+|+（_1Z）2（為）广（也）兀+1 一召=3 （X XM）2（hi +2X 2Xi）v 4+-p- （x - x$（hi - 2x + 2xm ）+T（x-xiJ2（x-xi）+爭 d）2（x_gj误差为l/W-AWl=£|严（韵（齐）2（為）2< max /（4，（）|（-）424 32Xv/（x） = x4 /%)=24.mzDc|/(x)-ZA(x)|<li4 h4 max < - (s”i 161620.给左数拯表如下:<

33、;XjYj试求三次样条插值，并满足条件：(1) 570.25) = 1.0000, S'(053) = 0.686&(2) S*(0.25) = S*(0.53) = 0.解：/?0 = X X。= 0.05/« = x, £ = 0.09h2 = x3 x2 = 0.06h3 =x4-x3 =0.08/?. !hf"丿=-心=-；g-hj ； g-hj533,=严=严=924人=77,& =書仏=»，入)=11457fxx= ,/('也_ /匹)=0.9540 召一 X。/xpx2 = 0.8533/x2,x3 = 0.

34、7717/ x3,x4 = 0.7150(l)S'(兀)=1.0000, S'(q) = 0.6868 心=：(小宀-盒)=-5.5200 d小吐Zhl±l = _4.3157九+九"6小宀I卜小L-3.26406企止尘也“2.4300£ = 2(乃_/区，兀)=一21150由此得矩阵形式的方程组为59 2 1414MoMi-5.520-4.3153252m2=-3.264034127m3-2.430012m4-2.1150求解此方程组得M（）=2.027&M|=-1.4643=-1.0313,=-0.8070,=-0.6539三次样条表达

35、式为7 6巧用6/rM ,hf x. . -xMx-xt+（刀+（）人-）十0 = 0丄,-1）6 叫6 叽将-代入得-6.7593（0.30 - x）3-4.8810（x- 0.25）3 + 10.0169（0.30 一 x） +10.9662（% 一 0.25） xe 0.25,0.30-2.7117（0.39 -x）3-1.9098（% 一 O.3O）3 +6.1075（0.39 一 x） + 6.9544（x 一 0.30）S（x） =xe 0.30,0.39-2.8647（0.45 一 x）3 一 2.2422（x 一 0.39）3 + 10.4186（0.45 -x） +10.96

36、62（% 一 0.39）xe 0.39.0.45-1.6817（0.53-x）3-l .3623（% 一 0.45）3 + &3958（0.53-x） + 9087（% 一 0.45） xe 0.45,0.53 SUo） = O,S04）= Od0 = 2 f；= 0,% = -4.3157,= -3.2640& =2.4300,么=2/；= 0人 =“4 = 0由此得矩阵开工的方程组为9142373157M2=-3.2640k-2.4300 ?20求解此方程组，得Mo=0,M】=_1.8809M,=-0.8616,M3=-l .0304, M4=0又三次样条表达式为6/?,M

37、X： xM -xJi/ x-x.将代入得-6.2697(x- 0.25)3 +10(0.3 一 Q +10.9697(% 一 0.25) xe 0.25,0.30-3.4831(0.39 一窃一 1.5956(% - O.3)3 +6.1138(0.39-x) + 6.9518(x - 0.30) xe 0.30,0.391s(n= L J A.-2.3933(0.45 -x)3 一 2.8622(x 一 0.39)3 + 10.4186(0.45 一 x) +11903(% 一 0.39) a-e0.39,0.45-2.1467(0.53 - x)3 + &3987(0.53-x)

38、+ 9.1(x-0.45)xe 0.45,0.5321.若f(x)C2a,b,S(x)是三次样条函数，证明：(1) /U)认-fSU)认=I 八 x) -+ 2 J： S"(x)八 x) - S"(x)认若/(兀)=S(為)(i = 0,1,/),式中无为插值节点,且" = x()<<£ =b,则肚=Sb)f(b) - SO) - Sa) fXa) - S)证明：=dx+t Sx)dx-2 fx)Sx)dx= /”(x)dx J：SU)心-2j：S"(x)八 x)-S”(x)皿 从而有£厂认=I 厂-S"(x)d

39、x + 2 S”(x) /*(%) - S”(x) dx第三章函数逼近与曲线拟合1:2./(x) = sin-x,给出0,1±的伯恩斯坦多项式 B,(/,x)及B3(f.x) o2解：/ /(x) = sin, xe0J2伯恩斯坦多项式为tZ) n其中PkM= : "(1-旷k丿当n=l时，吒(X)=(j(17) BQ» = /(0)化(x) + /(l)£(x)= "(1 -x)sin( x0) + xsin (0 丿2 2=x当n = 3时， 吒（X）彳J（1窃恥）=x(l-x)2 =3x(l-x)2a2(1-x) = 3x2(1-x)3、

40、片(x)= 3 A-?=X-'=0 + 3x(!-x)2sin + 3x2 (1 x)sin + x3 sin 63232 3/33= -x(l-x) +-x (l-x) + x5-3石.3>/3-6 . 3=X +X" +-x2 2 21.5x-0.402x2-0.098x33.当 fM = x时，求证Bn(f.x) = x证明：若 f(x) = X .则BQ小&吟P3k Z1 、n7x (1-x)=S«=W "(n l)一 k + 1) “ (1_ .-kG (n -1) ( 一 1) 一伙一 1) +1 k。、曲 =Zx (1-X)&#

41、171;】伙一1)!=2*】=-zA-lrn-r«-1丿勺-1¥-1丿*(1一旷= AA- + (l-A-)r，3证明函数1,兀线性无关证明：若绳+ % + 兮 + + q/" =0,Vxe R 分别取xk(k = 0,12加，对上式两端在0,1上作带权°三1的内积，得/119n + 1011<0>/ + 12n +1)a丿此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正泄非奇异, 只有零解a=0°二函数l,x,.,xn线性无关。4。计算下列函数/(x)关于CO,1的|/|x,|/h与|/卜(1)/« = (x-l)3,xeO,l

42、/(X)= A-|,(3) /(X)= Xm(l-X)",m 与 n 为正整数,(4) /(x) = (x + l),Vt解： 若/(尤)=(兀-1尸,"0,1,则fx) = 3(x-)2>0:.f(x) = (x-)3在(0,1)内单调递增ll/L=sl/wl= max|/(0)|,|/(l)|=mjx0,l = 1ll/IL = sl/w|= max|/(0)|,|/ |=rrmx0,l = 1II几=(J: (17畑/ = i(l-A)?1p70=近_(2) 若/(x)= x-,A-eO,l,则2ll/L = sl/wl=|rl1= 2|j(x-)6/x2/也广

43、（防（加=仏一沖詁 _V36(3) 若f(x) = xm(l-x) m与n为正整数 当 xe0jHt/(x)>0f(x) = /nZ,_1 (1 - x)n + xH,n(l - x)H_1 (-1) = xw-,(1-a)h-1/h(1-x)mtn当xe(O,)时丿心)>0n + mm/(x)在(0,)内单调递减n + m当 xe(-A)时 z f(x) < 0n + m/(x)在(丄一J)内单调递减。w + inxe(-J)r(x)<0n + m H/L=l/(x)l = = max|/(O)|,/()-Tn + m _=(m + n)n£= JJ(sin

44、2f)jn(l-sin2r)/sin2r2 sin" / cos" f cos“2sin tdt oII几可卜叫£丄=J； sin4zH Zcos4/, Zt/(sin21)2£丄= Jj2sin4wr+,rcos4n+,r6/rf I (2n)!(2m)! "V2(n + /n) + l!若/(0 =匕+ 1尸厂 当xeO,l时，f(x)>0fx) = 10(X4- l)9e_x +(x+l),0(-e-T)=(兀+1)9厂(9_牙) /(x)在0,1内单调递减。>0ll/IL = sl/wl= max|/(0)|,|/ |2】o

45、e=-(A- + j： 10(x +1)9e%eII几可仏+1严严屛5。证明卜|g|证明：ll/ll= |(/-g)+ g|S|g| + |g|6。对 f(xg(x)eC'a,bf 定义(/，g) = J：/'(x)g'(xM(/，g) = £ 广(x)g'CWx + /(d)g(d) 问它们是否构成内积。解：令f(x) = C (C为常数，且CHO)则 fx) = 0而(/j)=£/wv 这与当且仅当/三o时，（/,/）= o矛盾.不能构成Clatb上的内积。若(/,g) = f/&)gaM + /S)g(d)，则 (gj) = J

46、： g3 广(QA + g(a)/(d) = (/,g),Va e K (a/，g) = J； af(x),g,(xlx+af(a)g(a)=aJ： ff(x)g(x)dx + f(a)g(a)= a(/,g) 必 CU，b,则(/ + g，) = /(x) + g(x)7/(xMY + /(“)g(“)"7 =J：广(X”r(xMY + /(d)/7(d) + f 广(x)/r(x)dx + g(d)(d) =(/,/?)+(九 g) (A/) = f/V)M-+/2(t/)>o若(A/)=o,则J：/'(x)认=o,且/&) = ().广(劝三0,/(。)=

47、 0 /(X)三。即当且仅当/ = 0时，(/,/) = 0,故可以构成Ca,b上的内积。7。令7；(x) = 7；I(2x-l),xe0,l.试证"(x)是在0,1上带权p(x) = -=L=的正交 Jx-x2多项式，并求T；(xT；(x)X(x),T；(x)o解：若7；7x) = 7；(2x-l),xe0J,则= J*7；i(2a-1)7；,i(2x-1)-=Jx 令U(2Z),则"1,1,且"罟,故訂,"叽1 I心)2(1 1=£7；右正交，且又切比雪夫多项式(%)在区间0,1上带权p(x)=Oji H mJ： Tn CO几 UM 丁+

48、= < 彳,“=加工 0龙， =？ = 0<«是在0,1上带权P(A)=1 的正交多项式。d x -对又 v7；(x) = l,xe-l,l/. 7 (x) = 7i (2x -1) = 1, x e 0,1 7(x) = x,xe-l,l. 7f (x) = 7(2x-l) = 2x-l,x e 0,1.* T2(a) = lx' -l,A e-l,l:.T；(x)=T2(2x-)= 2(2x_1)2_= 8x2-8x-hxe0,l. T3(x) = 4x3-3x,xe-l,l.-.T；M = T3(2x-) = 4(2x_1)3_3(2x_1)= 32x3-4

49、8x2 + 18x-Lxe0J8。对权函数p（x） = l-x2，区间71,试求首项系数为1的正交多项式%（计 =°丄2,3.解：若Q（X）= 1-込则区间一1,1上内积为 (几 g) = jif(x)g(x)p(x)c/x泄义(pQ(x) = 1 ,则卩Z M =(X 一 弘)(P(X)一 卩(x)其中5 = (x® (Q, %©)/(% (x), ® (x)A =(久(X)' 0” )/% (兀)1 (力) .a0=(x,l)/(l,l)(1 + %认=0(x) =兀a =(x2,x)/(x,x)=00严(x,x)/(l,l)f1 x2( +

50、 x2lx J1j'jl + X2-16= H=2 _T_&3z 32?2了25A，X'_5)/(X_5,£(x3-|x)(x2-|)(1 + x2)6/a-Jw/:(工一 |)(疋一|)(1+壬治 =002 =(兀2£，尤2_¥)心,)JJf'(X2-|)(A-2-|)(l + X2>/A-=JT 、f1 x2( + x2)dx136_ 525 ,1716 7015701429。试证明由教材式(2.14)给出的第二类切比雪夫多项式族/(x)是0,1上带权 p(x) = J1-F的正交多项式。证明： 社口 / ._sin(n

51、+ l)arccosx右 U,tX) 一/>/1 一对令x = cos&，可得H sin(加 + l)arccosxsin(n + l)arccosx八a/1-x2兀_ 什 sin(/" + l)&sin(n + l)甸 冶hJl cosS =£ sin(/? + l)&sin( + )010 当m = n时，严 1-cos2(7 + 1)&=JodO当mn时, £ sin(/?7 + l)sin(/? + l)0cl0严1= sin(m + l)3dcos(n + l)0n +1cos(n +1)sin(川 +1)&

52、nt +1zz + 1cos(n + l)cos(m + )0dOf/T /JI + 1)f cos(/h + )0dsin(/? +1)&Jo 77 + 1n + 1(："丄卜山( + V)0d cos(加 +10£ (/；?+)2sin(/? + l)&sin(? + l)0d& =01 一 (午!)? sinG +1)<9 sin(w +1)&8 = 0又m工，故()'工1” + 1£ sin(/? +1)3sin(加 + )0dO = 0 得证。10。证明切比雪夫多项式7；(x)满足微分方程(1 一疋)7；ff

53、(x) -xT；(x) + n2Tn (x) = 0证明：切比雪夫多项式为7： (x) = cos(/7 arccos x),|.v| < 1 从而有Tfx) = - sin(z? arccos %)/?(.)Vl-x2KW =sin(“ arccos x)sin(/? arccos x)? cos(/z arccos x)l-Q.(1-疋)7；(力一恥)+巾(力nx厂 j sin(/z arccosx) 一 n2 cos(n arccos x) Vl-x2sin(n arccos x) + z?2 cos(n arccos x) =0得证。llo假设/(x)在s，b上连续，求/(x)的零次最