概率论第八讲二维离散随机变量的概率分布

1、 教学目的教学目的： 1.讲解二维离散随机变量的概率分布 （联合、边缘）； 2. 讲解二维随机变量的分布函数 (联合、边缘；离散; 3. 讲解随机变量的独立性. 教学内容教学内容： 2.9 2.11(与书上不同)第八讲 二维离散随机变量的概率 分布多多维维分分布布在实际问题中在实际问题中, 试验结果有时需要同试验结果有时需要同时用两个或两个以上的时用两个或两个以上的 r.v.来描述来描述. 例如例如 用温度和风力来描述天气情况用温度和风力来描述天气情况. 通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究需考虑多维需考虑多维 r.v.及其取值规律及其取值规律多维分布多维分

2、布.钢的成分钢的成分. 要研究这些要研究这些 r.v.之间的联系之间的联系, 就就二维随机变量及其分布定义定义 设设 为随机试验的样本空间为随机试验的样本空间，2)(),(ryx一定法则则称则称( x , y )为为二维二维r.v.或或二维随机向量二维随机向量讨论：讨论： 二维二维r.v.作为一个整体的概率特性作为一个整体的概率特性 其中每一个其中每一个r.v.的概率特性与整体的概率特性与整体 的概率特性之间的关系的概率特性之间的关系定义定义 若二维若二维 r.v.(x ,y )所有可能的取值所有可能的取值 为有限多个或无穷可列多个为有限多个或无穷可列多个, 则称则称 (x ,y ) 为为二维

3、离散型二维离散型 r.v.要描述二维离散型要描述二维离散型 r.v.的概率特性及的概率特性及其与每个其与每个 r.v.之间的关系常用其之间的关系常用其联合联合概率分布概率分布和和边缘概率分布边缘概率分布二维离散型二维离散型 r.v.及其概率特性及其概率特性解析表示法解析表示法设( x ,y )的所有可能的取值为则称为二维 r.v.( x ,y ) 的联合概率分布也简称 概率分布 或 分布律性质:, 2 , 1,),(jipyyxxpijji, 2 , 1,),(jiyxji, 2 , 1, 0jipij111ijijp联合分布律联合分布律x1 xi 11pjp11 ipijpxy ( x ,y

4、 ) 的联合分布律表y1yj二维离散二维离散 r.v.的边缘分布律的边缘分布律, 2 , 1,)(1ippxxpijiji记作, 2 , 1,)(1jppyypjiijj记作由联合分布可确定边缘分布由联合分布可确定边缘分布, ,其逆不真其逆不真. .1x1 xi 11pjp11 ipijppip1pip jp1p jyjy1xy 联合分布律联合分布律及边缘分布律及边缘分布律),(jiijyyxxpp的求法的求法 利用古典概型直接求；利用古典概型直接求； 利用乘法公式利用乘法公式. )()(ijiijxxyypxxpp例例1 1 某校新选出的学生会某校新选出的学生会 6 名女委员名女委员, 文、

5、文、理、工科各占理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机，现从中随机指定指定 2 人为学生会主席候选人人为学生会主席候选人. 令令x , y 分分别为候选人中来自文、理科的人数别为候选人中来自文、理科的人数. 解解 x 与与y 的可能取值分别为的可能取值分别为0 , 1与与0 , 1 , 2. 求求(x, y) 的联合分布律和边缘分布律的联合分布律和边缘分布律.,15/325232625cccc) 00() 0() 0, 0(xypxpyxp由乘法公式由乘法公式,15/ 3/) 0, 1(261311cccyxp,15/2/) 1, 1(261211cccyxp. 0) 2, 1( yx

6、p,15/6/) 1, 0(261312cccyxp;15/ 1/) 2, 0(2622ccyxp,15/3/)0, 0(2623ccyxp或由古典概型或由古典概型相仿有相仿有故联合分布律与边缘分布律为 0 10 1 23/15 6/15 1/153/15 2/15 0xy pip j1/32/316/15 8/15 1/15例例2 2 二元两点分布xy pijp jpi1 010p 00 qp qpq1p + q = 1 ，0 p 1例例3 3 设设 x的分布为的分布为1(1)(0)(1)3p xp xp x 2,yx求求(x, y) 的联合分布律及边缘分布的联合分布律及边缘分布.(1,0)

7、(1) (01) 0p xyp xpyx 1(1,1)(1) (11)3p xyp xpyx 1(0,0)(0) (00)3p xyp xpyx(0,1) 0p xy(x, y) 的联合分布律及边缘分布为的联合分布律及边缘分布为xy pij0 1-11000 01313131313131323p jpi 二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数定义定义 设设( x , y ) 为二维为二维 r.v. 对任何一对对任何一对)()(yyxx定义了一个二元定义了一个二元实函数实函数 f ( x , y )，称为二维，称为二维 r.v.( x ,y ) 的分布函数，即的分布函数，即yyxx

8、pyxf,),(记为记为 )yyxx ,的概率的概率yyxxp ,实数实数( x , y ), 事件事件分布函数的几何意义如果用平面上的点如果用平面上的点 (x, y) 表示二维表示二维r.v. (x , y )的一组可能的取值，则的一组可能的取值，则 f (x, y) 表示表示 (x , y ) 的取值落入图所示角形区域的概率的取值落入图所示角形区域的概率.(x, y)xy(,) 联合分布函数的性质联合分布函数的性质(,) 0f ),(xy(x, y)xy),(1),(0yxf(,) 1f ( ,)0f x xyxy(, )0fy固定 x , 对任意的 y1 y2 , 固定 y , 对任意的

9、 x1 x2 , f (x0 , y0) = f (x0+ 0 , y0 )f (x0 , y0) = f (x0 , y0 + 0 )对每个变量单调不减对每个变量单调不减对每个变量右连续对每个变量右连续f (x, y1) f (x, y2)f (x1,y) f (x2, y)f (b,d) f (b,c) f (a,d) + f (a,c) 0事实上事实上对于任意对于任意 a b , c 2)解解 (1)122),(cbaf022),(cbaf022),(cbaf21,2,2acb(2),()(xfxfx.,2arctan121xx),()(yfyfy.,2arctan121yy(3) 2(

10、1) 2(xpxp22arctan1211.4/1可以将二维可以将二维 r.v.及其边缘分布函数的及其边缘分布函数的概念推广到概念推广到 n 维维 r.v.及其联合分布函及其联合分布函数与边缘分布函数数与边缘分布函数随机变量的独立性随机变量的独立性 将事件独立性推广到将事件独立性推广到 r.v.设(x,y )为二维 r.v. 若对任何)()(),(yypxxpyyxxp则称 r.v. x 和y 相互独立 两个两个 r.v. 的相互独立性的相互独立性实数 x, y 都有定义由定义知二维 r.v. ( x, y ) 相互独立)()(),(yfxfyxfyx)()(),(,dycpbxapdycbx

11、apdcba)()(),(,cypaxpcyaxprcax与y 独立)()(),(jijiyypxxpyyxxp即jiijppp对一切 i , j 有离散型例例6 6 例例3 3中中求求(x, y) 的联合分布律及的联合分布律及 边缘分布为边缘分布为xy pij0 1-11000 01313131313131323p jpi不独立不独立x, y是否独立是否独立?若 x ,y 为相互独立的 r.v.则ax + b, cy + d 也相互独立；x 2, y 2 也相互独立；随机变量相互独立的概念随机变量相互独立的概念可以推广到可以推广到 n n 维随机变量维随机变量)()()(2211nnxxpx

12、xpxxp),(2211nnxxxxxxp若则称 r.v. x 1, x 2 , , x n 相互独立由命题知由命题知 若两随机变量相互独立,且又有相同 的分布, 不能说这两个随机变量相等. 如xp-1 10.5 0.5y p-1 10.5 0.5x ,y 相互独立，则x-1 1 -1 10.25 0.25y pij0.25 0.25故不能说 x = y .注意注意由左表易得 ：) 1, 1(yxp )(yxp) 1, 1(yxp5 . 0 例例7 7 袋中5球,2白3黑,先后任取一球,取到的白球个数分别为x、y,如果（1）无放回,(2）有放回。求(1)的联合概率函数(2)联合分布函数(3)边缘分布函数(4)讨论独立性（1）无放回解解3 23(0,0)(0) (00)5 410p xyp xp yx2 11(1,1)(1) (11)5 410p xyp xp yx3(0,0)10p xy3(1,0)10p xy(x，y) 分布yx pijp jpi0 1011310310310110610410610410(2）有放回yx