概率论与数理统计第一章1.3古典概型与几何概型

1、引例引例一个纸桶中装有一个纸桶中装有10个大小个大小, 形状完全相同形状完全相同的球的球.将球编号为将球编号为1-10.匀匀, 蒙上眼睛从中任取一球蒙上眼睛从中任取一球. 因因为抽取时这些球被抽到的可能性为抽取时这些球被抽到的可能性是完全平等的是完全平等的, 所以我们没有理所以我们没有理由认为这由认为这10个球中某一个会比另个球中某一个会比另一个更容易抽得一个更容易抽得, 也就是说也就是说, 这这10个球中的任一个被抽取的可能性均个球中的任一个被抽取的可能性均为为1/10. 设设i表示取到表示取到i号球号球(i=1,2,10). 则该试验则该试验的样本空间的样本空间 ,10, 2 , 1 s且

2、每个样本点且每个样本点(基本基本搅搅把球把球12345678910的样本空间的样本空间 ,10, 2 , 1 s且每个样本点且每个样本点(基本基本事件事件) i,10)1,2,(i 出现的可能性相同出现的可能性相同.称这样一类随机试验为称这样一类随机试验为古典概型古典概型.完完古典概型古典概型古典概型古典概型是一类简单的概率模型是一类简单的概率模型, 它曾经是概率它曾经是概率论发展初期主要研究对象论发展初期主要研究对象.它满足下列两个假设条件它满足下列两个假设条件:(1)随机试验的结果只有有限个可能随机试验的结果只有有限个可能;(2)每一个可能结果发生的可能性相同每一个可能结果发生的可能性相同

3、.因而古典概型又称为因而古典概型又称为等可能概型等可能概型. 它在数学上可表它在数学上可表述为述为:(1)试验的样本空间有限试验的样本空间有限, 记记 ;,21neees (2)每一基本事件的概率相同每一基本事件的概率相同,记记 , 1nieaii 即即古典概型古典概型 , 1nieaii 即即).()()(21napapap 由概率的公理化定义知由概率的公理化定义知)()()(11iinianpapspu ninapi, 2 , 1,1)( 古典概型古典概型,21kiiiaaaa 则事件则事件a发生的概率发生的概率kjisankapapj1)()(中基本事件的总数包含的基本事件数称此概率为称

4、此概率为古典概率古典概率, 这种确定概率的方法称为这种确定概率的方法称为古典方法古典方法. 这就把求古典概率的问题转化为对基这就把求古典概率的问题转化为对基本事件的计数问题本事件的计数问题.完完设事件设事件a包含其样本空间包含其样本空间s中中k个基本事件个基本事件, 即即计算古典概率的方法计算古典概率的方法 基本计数原理基本计数原理加法原理加法原理乘法原理乘法原理排列组合方法排列组合方法排列公式排列公式组合公式组合公式二项式二项式应用举例应用举例完完例例1一个袋子中装有一个袋子中装有 10 个大小相同的球个大小相同的球, , 其中其中 3个黑球个黑球, ,7 个白球个白球, , 求求: :(1

5、) 从袋子中任取一球从袋子中任取一球, , 这个球是黑球的概率这个球是黑球的概率; ;(2) 从袋子中任取两球从袋子中任取两球, , 刚好一个白球一个黑球的刚好一个白球一个黑球的概率概率(1)解解10 个球中任取一个个球中任取一个, , 共有共有10110 c种种. . 从从而根据古典概率计算而根据古典概率计算, , 事件事件:a“取到的球为黑球取到的球为黑球”的概率为的概率为)(ap11013cc .103 以及两个球全是黑球的概率以及两个球全是黑球的概率. .解解(2) 10 个球中任取两球的取法有个球中任取两球的取法有210c种种, , 其中其中刚好一个白球刚好一个白球, , 一个黑球的

6、取法有一个黑球的取法有1713cc 种取法种取法, ,两个球均是黑球的取法有两个球均是黑球的取法有23c种种, , 记记b为事件为事件好取到一个白球一个黑球好取到一个白球一个黑球”, ,c为事件为事件为黑球为黑球”, , 则则“刚刚“两个球均两个球均)(bp)(cp2101713ccc ,157 4521 21023cc 453 .151 完完例例2求下列各事件的概率求下列各事件的概率: :将标号为将标号为1, ,2, ,3, ,4的四个球的四个球(1)(3)(2)各球自左至右或自右至左各球自左至右或自右至左顺序顺序; ;第第1号球排在最右边或最左边号球排在最右边或最左边; ;第第1号球与第号

7、球与第2号球相邻号球相邻; ;解解 将将4个球随意地排成一行有个球随意地排成一行有4!=24种排法种排法, ,基本事件总数为基本事件总数为 24. . 记记 (1), , (2), , (3), ,(4) 的事件的事件别为别为.,dcba即即随意地排成一行随意地排成一行, ,1, ,2, ,3, ,4的的恰好排成恰好排成分分解解 将将4个球随意地排成一行有个球随意地排成一行有4!=24种排法种排法, ,基本事件总数为基本事件总数为 24. . 记记 (1), , (2), , (3), ,(4) 的事件的事件别为别为.,dcba即即分分a(1)中有两种排法中有两种排法, , 故有故有.1212

8、42)( apb(2)中有中有12) ! 3(2 种排法种排法, , 故有故有.212412)( bp(2) 第第1号球排在最右边或最左边号球排在最右边或最左边; ;(1) 各球自左至右或自右至左各球自左至右或自右至左顺序顺序; ;1, ,2, ,3, ,4的的恰好排成恰好排成有有其余两个球可在其余两个位置任意排其余两个球可在其余两个位置任意排放放, , 共有共有2!种排法种排法, , 因而因而c12232 种排种排法法, , 故故. 2/124/12)( cp(3) 先将第先将第1, ,2号球排在任意相邻两个位置号球排在任意相邻两个位置, , 共有共有2种排法种排法, ,3 (3) 第第1号

9、球与第号球与第2号球相邻号球相邻; ;例例3将将 3 个球随即放入个球随即放入 4 个杯子中个杯子中, , 问杯子中问杯子中的个数最多为的个数最多为1, ,2, ,3的概率各是多少的概率各是多少?解解设设cba,分别表示分别表示1, ,2, ,3的事件的事件. . 我们认为球是可以区分的我们认为球是可以区分的, ,于是于是, ,球过程的所有可能结果数为球过程的所有可能结果数为.43 n(1)a所含的基本事件数所含的基本事件数: : 即是从即是从 4 个杯子中任选个杯子中任选3个杯子个杯子, 每个杯子放入一个球每个杯子放入一个球, ,34c杯子的选法有杯子的选法有种种, ,球的放法有球的放法有

10、3! 种种, , 故故)(ap放放3344! 3 c.83 球球杯子中的最多球数分别为杯子中的最多球数分别为解解 (1)a所含的基本事件数所含的基本事件数: : 即是从即是从 4 个杯子中个杯子中3个杯子个杯子, 每个杯子放入一个球每个杯子放入一个球, , 杯子的选法杯子的选法种种, ,球的放法有球的放法有 3! 种种, , 故故)(ap3344! 3 c.83 任选任选34c有有(2)c所含的基本事件数所含的基本事件数: : 由于杯子中的最多球由于杯子中的最多球数是数是 3, , 即即 3 个球放在同一个杯子中个球放在同一个杯子中故故)(cp法法, ,共有共有 4 种放种放344 .161

11、解解(2)c所含的基本事件数所含的基本事件数: : 由于杯子中的最由于杯子中的最多球数是多球数是 3, ,即即 3 个球放在同一个杯子中个球放在同一个杯子中故故)(cp种放法种放法, ,共有共有 4344 .161 (3) 由于三个球放在由于三个球放在 4 个杯子中个杯子中为为,cba显然显然,scba 且且cba,互不相容互不相容, , 故故)(bp的各种可能放法的各种可能放法)()(1cpap .169 完完事件事件例例4将将 15 名新生名新生 (其中有其中有 3 名优秀生名优秀生)配到三个班级中配到三个班级中, 其中一班其中一班 4 名名, , 二班二班 5 名名, , 三三求求: :

12、(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的概率每一个班级各分配到一名优秀生的概率; ;(2)3 名优秀生被分配到一个班级的概率名优秀生被分配到一个班级的概率. .解解15 名优秀生分别分配给一班名优秀生分别分配给一班 4 名名, , 二班二班 5 名名, ,三班三班 6 名的分法有名的分法有:66511415ccc班班 6 名名, ,(种种). .! 6 ! 5 ! 4!15 随机地分随机地分解解15 名优秀生分别分配给一班名优秀生分别分配给一班 4 名名, , 二班二班 5 名名, ,三班三班 6 名的分法有名的分法有:66511415ccc(1) 将将 3 名优秀生分配给三个班级各一名名优秀生

13、分配给三个班级各一名, , 共有共有 3!(种种). .! 6 ! 5 ! 4!15 根据乘法法则根据乘法法则, , 每个班级分配到一名优秀生的分每个班级分配到一名优秀生的分法有法有: :! 5 ! 4 ! 3!12! 3 种分法种分法, , 再将剩余的再将剩余的 12 名新生分配给一班名新生分配给一班 3 名名, ,二班二班 4 名名, , 三班三班 5 名名, , 共有共有5549312ccc(种种)分法分法. .! 5 ! 4 ! 3!12 (种种), ,! 5 ! 4!12 解解(1) 将将 3 名优秀生分配给三个班级各一名名优秀生分配给三个班级各一名, , 共有共有 3!根据乘法法则

14、根据乘法法则, , 每个班级分配到一名优秀生的分每个班级分配到一名优秀生的分法有法有: :! 5 ! 4 ! 3!12! 3 种分法种分法, , 再将剩余的再将剩余的 12 名新生分配给一班名新生分配给一班 3 名名, ,二班二班 4 名名, , 三班三班 5 名名, , 共有共有5549312ccc(种种)分法分法. .! 5 ! 4 ! 3!12 (种种), ,! 5 ! 4!12 解解 (1) 将将 3 名优秀生分配给三个班级各一名名优秀生分配给三个班级各一名, , 共共根据乘法法则根据乘法法则, , 每个班级分配到一名优秀生的分每个班级分配到一名优秀生的分法有法有: :! 5 ! 4

15、! 3!12! 3 种分法种分法, , 再将剩余的再将剩余的 12 名新生分配给一班名新生分配给一班二班二班 4 名名, , 三班三班 5 名名, , 共有共有5549312ccc(种种) 分法分法. .! 5 ! 4 ! 3!12 (种种), ,! 5 ! 4!12 有有 3!3 名名, ,故其对应概率故其对应概率p! 6 ! 5 ! 4!15! 5 ! 4!12 !15! 6 !12 .2637. 0 9124 (2) 用用ia表示时间表示时间“3名优秀生全部分配到名优秀生全部分配到i班班”).3 , 2 , 1( i1a中所含基本事件个数中所含基本事件个数1m2a中所含基本事件个数中所含

16、基本事件个数2m解解511112cc ! 6 ! 5!12 28412cc ! 6 ! 4 ! 2!12 3a中所含基本事件个数中所含基本事件个数3m由由(1)中分析知基本事件的总数中分析知基本事件的总数,! 6 ! 5 ! 4!15 n所以所以)(1apnm1 ! 6 ! 5 ! 4!15! 6 ! 5!12 .00879. 0 !15!12! 4 ! 5 ! 4 ! 3!12 58412cc (2)解解)(1apnm1 ! 6 ! 5 ! 4!15! 6 ! 5!12 .00879. 0 )(2ap)(3ap因为因为321,aaa互不相容互不相容, ,配到同一班级的概率为配到同一班级的概率

17、为: :所以所以 3 名优秀生被分名优秀生被分)(ap)()()(321apapap 注注: : 在用排列组合公式计算古典概率时在用排列组合公式计算古典概率时, ,nm2 ! 6 ! 5 ! 4!15! 6 ! 4 ! 2!12 .02198. 0 !15! 2! 5 !12 ! 6 ! 5 ! 4!15! 5 ! 4 ! 3!12 nm3 .04396. 0 !15! 3! 6 !12 )(321aaap .07473. 0 (2)解解)(1ap,00879. 0 )(2ap)(3ap因为因为321,aaa互不相容互不相容, ,配到同一班级的概率为配到同一班级的概率为: :所以所以 3 名优

18、秀生被分名优秀生被分)(ap)()()(321apapap 注注: : 在用排列组合公式计算古典概率时在用排列组合公式计算古典概率时, , 必须注必须注,02198. 0 .04396. 0 .07473. 0 意在计算样本空间意在计算样本空间s和事件和事件a所包含的基本事所包含的基本事件数时件数时, , 基本事件数的多少基本事件数的多少合有关合有关, , 不要重复计数不要重复计数, , 也不要遗漏也不要遗漏. .与问题是排列还是组与问题是排列还是组完完例例6自产地甲自产地甲 ,地抽取两件地抽取两件 , 求这两件商品来自同一产地的概率求这两件商品来自同一产地的概率 .解解同理同理 , 事件事件

19、包含基本事件数包含基本事件数包含基本事件数包含基本事件数货架上有外观相同的商品货架上有外观相同的商品件件 ,15其中其中12件来件来件来自产地乙件来自产地乙 .3现从现从15件商品中随机件商品中随机从从件商品中取出两件商品件商品中取出两件商品 ,15共有共有种取法种取法 ,215c且每种取件总数且每种取件总数.105121415215 cn两件商品来自产地甲两件商品来自产地甲1 a,661211122121 ck事件事件两件商品来自产地乙两件商品来自产地乙2 a.3232 ck解解 事件事件两件商品来自产地甲两件商品来自产地甲 包含基本事件数包含基本事件数事件事件两件商品来自产地乙两件商品来自产地乙 包含基本事件数包含基本事件数1 a,661211122121 ck2 a.3232 ck且且所以所以 ,于是于是 , 所求概率所求概率而事件而事件两件商品来自同一产地两件商品来自同一产地 a,21aa 与与互斥互斥 .1a2a事件事件包含基本事件数包含基本事件数a.6921 kkk.352310569)( nkap完完例例5在在 12000 的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数, ,到的