2013高考数学(理)真题专业解析(福建卷)(出版原稿)汇总

1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）（福建卷）解析第I卷（选择题共50分）一选择题1.已知复数z的共轭复数Z=12i（为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D思路分析：考点解剖：本题考查的知识点是复数的几何意义解题思路：复数与复平面上的点一一对应，2i对应点（1_2）.解答过程：z的共轭复数z+2i，则z_2i，对应点坐标为（1_2），故答案为D规律总结：二、复数的几何意义复数 z z= a a+ bibi一一对应有序实数对（a a, b b）一一对应点 Z Z（a a, b b）.0?方程有两个不相等的实数根；

2、（2）=0?方程有两个相等的实数根；（3） 0?方程没有实数根，在解题时要注意分类讨论思想运用.考查分类讨论思想.2解题思路：由于关于x的方程ax+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：（1）当aM0时， 方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0,由此即可求出a的取值范围；（2）当a=0时，方程为2x+b=0,此时一定有解.解答过程：解答过程:【解析】方程ax2 2x b = 0有实数解，分析讨论1当a = 0时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解此时b可以取4个值.种有序数对2当a =0时， 需要厶=4 _4ab _0， 即ab1显然有3个实数对不满足题意, 为 （1,2） , （2,

3、1） ,（2,2）（a b）共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13规律总结：对于数目较小的计数问题，可采用直接列举法。6阅读如图所示的程序框图，若输入的A.计算数列；2nj；的前10项和C.计算数列gn的前10项和k =10，则该算法的功能是（）B计算数列2n/的前9项和D计算数列2n_1的前9项和答案：C思路分析:考点解剖：本题考查程序框图中的循环结构.解题思路：从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步得到程序框图表示的算法的功能.S =7,i =4,i：10故有4分别便可【解析】第一循环：S =1,i =2，i 10第二条：s=3,i =3,i 4 -Ia_

4、b = ab=08设函数f(x)的定义域为R,x(X=0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的 是( )A-X R, f (x)岂f (x0)B-x0是f(-x)的极小值点C.x是_ f (x)的极小值点D._x是f ( _x)的极小值点答案：D思路分析：考点解剖：本题考查的是函数的极值的概念。考查函数图象的对称性。解题思路：项，X。(X。丰0)是f(X)的极大值点，不一定是最大值点，故不正确;C. 5D.10所以四边形的面积2解答过程:B项，f(-x)是把f(x)的图象关于y轴对称，因此，-xo是f(-x)的极大值点；C项，-f(x)是把f(x)的图象关于x轴对称，因此，xo是-f(x)

5、的极小值点；D项，因为_f(_x)和f(x)关于原点对称，故x是_f(_x)的极小值点解答过程：【解析】函数的极值不是最值，A错误；因为f(_x)和f(x)关于原点对称，故_Xo是_ f(_x)的极小值点，D正确.规律总结：函数极值的定义：已知函数y=f(x)及其定义域内一点x,对于存在一个包含xo的开区间内的所有点x,如果都有f(x)AZFIMFSOm-h=(2c)2设 |呼 21 二 m ” I 用 F 二 n,则R+TI=2N* 辭稈二 437 -a3=J3n磁描圆的离吐率尸屈-11牧笞案为 45-1 *111 1021dx.02xdx.02x2dx.02xndx.=从而得到如下等式：1

6、 11 (1)2 . 1 (1)3,.丄(1厂1,十222232n 12规律总结：求椭圆离心率问题,应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式, =1-OOM-1-e2.从而求出e的值或范围.离心率e与a、b的关系:2e2= ?=a2-b22a15.当R, x E(3X0，从而得出答案.解答过程：解：(I)由已知得：小明中奖的概率为2，小红中奖的概率为2，两人中奖与否互不35影响，记 这2人的累计得分x 3”的事件为A,则A事件的对立事件为X =5”,二P(A) =1 _P(X =5)1515.这两人的累计得分X3的概率为11.15(n)设小明.小红都选择方

7、案甲抽奖中奖的次数为 数为X，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 得分的数学期望为匚E(3入2丿由已知：2,2再利用对立事件的概率公式即可求出X,甲小明、小红两人都选择方案乙：P(X=5)=2-3 5X，都选择方案乙抽奖中奖的次E(2X)，选择方案乙抽奖累计X1B(2-) X2B(2-)E(X1)=2 -E(X2)=225.E(2XJ =2E(X“)= E(3X2) =3E(X2)上35；E(2Xi) E(3X2).他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大.规律总结：1、判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：(1)是否为n次独立重复试验.(2)随机变量是否为在这n次独

8、立重复试验中某事件发生的次数.2、 若随机变量服从二项分布，即XB(n,p)可直接使用公式E(X)=np求解，可不写 出分布列.3、 注意运用均值的线性运算性质即Y=aX+b则E(Y)=aE(X)+b.17.(本小题满分13分)已知函数f(x)二xal n x(a三R)(1)当a=2时，求曲线y = f(x)在点A(1 f(1)处的切线方程；(2)求函数f (x)的极值.思路分析：考点解剖：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想。解题思路：(1)把a=2代入原函数解析式中， 求出函数在x=1时的导数值，直接利用直 线方程的点斜式写直

9、线方程；(2)求出函数的导函数，由导函数可知，当a0，函数在定义域(0,+%)上单调递增，函数无极值，当a0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值.解答过程：解：函数f (x)的定义域为(o,p)，厂(x)=_旦.x2f (x) =1 (x 0)xf(1) = 1,f (1)- -1，(I)当a= 2时,f (x) = x -21 n x，y = f(X)在点A(l,f (1)处的切线方程为y _1 = _(X_ 1)，1当a兰0时，f (x) a 0，函数f (x)为(0 xc)上的增函数，函数f (x)无极值;2当a0时，由f (x)=0，解得x

10、 = a；7 x (0,a)时，f (x)：0，x (a,：)时，f (x)0f(x)在X二a处取得极小值，且极小值为f(a) =a_aIn a，无极大值综上：当a乞0时，函数f(x)无极值当a. o时，函数f(x)在x=a处取得极小值a_alna，无极大值.规律总结：1、几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yy0=f(x0)(xx0)2、求函数极值的方法：(1)求导数f(x);(2)求方程f(x)=0的所有实数根；(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f(x)的符号如何变化，如果f

11、(X)的符号由正变负，贝Uf(x)是极大值；如果f(X)的符号由负变正，贝Uf(x)是极小值.如果在f(x)=0的根x=X0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值.18.(本小题满分13分)如图,()由af (x) =1 -Xx -ax可知:,x 0在正方形OABC中，0为坐标原点，点A的坐标为（10 0），点C的坐标为（0 10）.分 别将线段OA和AB十等分分点分别记为A,A”.A和B,B2,.B9连结OB：过A做X轴的垂线与0Bj交于点P（i . N*,m9）.（1） 求证：点R（j迂N*1i 9）都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；（2） 过点C做直线|与抛物线E交于不同的两点M

12、N，若.：0CM与AOCN的面积比为4 v，求直线l的方程.思路分析:考点解剖：本小题主要考查抛物线的性质.直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查 运算求解能力.推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想.函数与方程思想.解题思路：由题意，求出过Ai（iN,K iw且与x轴垂直的直线方程为x=i,Bi的坐标为（10,i）,即可得到直线OBi的方程为y=i联立方程y =一x10Pi满足的方程;即可得到k，进而得到直线方程.解答过程解：（I）依题意过A（N*,1十9）且与X轴垂直的直线方程为x=i，即可得到iyUX（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，与抛物线的方程联立得到兀二次方程

13、，利用根与系数的关系，及利用面积公式SOCM=4SOCN，可得|X1|=4|X2|. 即X1=-4X2.联立i y x10由y二kx 10得x2-10kx-100 = 0 x2=10y此时.，=i0Qk2+4000，直线I与抛物线设：M(X1,yJN(X2,y2)，则为沁=10kx2= 100又1*C AI咅x2 0，片=4X2分别带入xX2=10k，解得X1x2- -100规律总结：当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题， 常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、 弦的中点坐标联系起来，相互转 化同时还应充分挖掘

14、题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转 化，往往就能事半功倍解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长， 根的分布找范围，曲线定义不能忘”.19（本小题满分13分）如图，在四棱柱ABCD-ABQQ中，侧棱AA-底面ABCD，AB / / DC，AA =1，AB = 3k，AD = 4k，BC =5k，DC = 6k (k 0):Bi（10,i），二直线OBi的方程为yix10设R坐标为（x, y），由x=i得:12，即2x =10y R（i1八9）都在同一条抛物线上，且抛物线E方程为x2= 10y（n）依题意：直线的斜率存在，设直线I的方程为y =kx 10E恒有两个不同的交

15、点M N* S -4SOCMOCN% =4 x2Xi直线l的方程为3八一尹103x-2y 20=0或3x+2y-20 = 0（门求证：CD_平面ADD.A； 若直线AA与平面ABC所成角的正弦值为6，求k的值;7（3）现将与四棱柱ABCD_ AB C D形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案.问:f（k）的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）思路分析：考点解剖：本小题主要考查用空间向量求直线与平面的夹角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角解题思路（1）取DC得中点E,连接BE

16、,可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾 股定理的逆定理可得BEXCD即CDL AD又侧棱AA丄底面ABCD可得AA丄DC利用线面 垂直的判定定理即可证明（2） 通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3） 由题意可与左右平面ADDA,BCCBi,上或下面ABCD后面DCGD,拼接得到方案 新四棱柱共有此4种不同方案写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）.解答过程：解：（I）取CD中点E，连接BE共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k)，写出QAB/DE，AB = DE =3k.四边形ABED为平行四边形.BE/

17、AD且BE = AD =4k在VBCE中，Q BE =4k,CE =3k, BC =5k2 2 2BE CE BC. BEC =90，即BE _ CD，又Q BE /AD，所以CD _ ADQ AA丄平面ABCD，CDu 平面ABCD二AA丄CD，又AA I AD = A，(n)以D为原点，DA DC DDr的方向为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)所以uuuuuuuuuAC =(Fk,6k,0) AB=(0,3k,1) AA =(0,0,1)设平面Aon的法向量n (x y z)，则由rUUlU

18、AB1Cn(x,y，z)1AC.n= 0uuuI AB(n = 0得Mkx 6ky=0取y = 2得n =(3,2, -6k)3ky z =CD -平面ADD1A1ARC所成角为则uuusin 日=| coSAA1, n 乍uuuAA, n-uuu-I AAJ I n|0设AA与平面6k解得1.故所求k的值为.36k2137(川)由题意可与左右平面ADDA,BCCB，上或下面ABCD后面DCCD拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出2572k226k,0 :：: k 0 0申兀)的周期为兀，图像的一个对称中心为二，将函数f(x)图像上的所有点的横坐标伸长

19、为原来的2倍(纵(1)求函数f(x)与g(x)的解析式;坐标不变)，在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图像.(2)是否存在，使得f(xo)g)g)g佻严某种顺序成等差数6k解得1.故所求k的值为列？若存在，请确定v的个数;又曲线y = f (X)的一个对称中心为G0)(0,二)故 -，得f (J =s in (2：) =0一，所以2f (x)二cos2x将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y二COSX若不存在，说明理由.(3)求实数a与正整数n，使得F(x) = f (x)+ag(x)在(0, nn)内恰有2013个零点.思路分析:考点解剖：本

20、小题主要考查三角恒等变换三角函数的图像与性质函数的导数函数的零点等基础知识， 考查运算求解能力.抽象概括能力,想，分类与整合思想.化归与转化思想.(x)=sinx;否有解通过G(x) 0,可知G(x)在内单调递增，而(齐)乂2从而可得答案；G () 042(3) 依题意，F(x)=asinx+cos2x，令F(x)=asinx+cos2x=0，方程F(x)=0等价于关于x的方程cos2x，x工kn(kZ).问题转化为研究直线y=a与曲线y=h (x),a =sin xx(0,n )U( n,2n)的交点情况通过其导数，列表分析即可求得答案.解答过程：解：(I)由函数f (x) = sin(X亠

21、门)的周期为二，小 0，得.=2考查函数与方程思想，数形结合思解题思路(1)依题意，可求得3=2,0=,二，2利用三角函数的图象变换可求得g(2)依题意,.：.：.：.：)时,x(齐)1 . .2sin x :2 210：cos2x :? sinxcos2xsinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在一.-内是(6T)JI JIJI 31的图象，再将y=cosx的图象向右平移一.个单位长度后得到函数g(x)二sinx(u)当时，12,ix(石匸)丁sinx0os2xT所以sin x cos2x sin xcos2x设G(x) =sin x sin xcos2x

22、-2cos 2x， 二 二x (彳 4)贝G (x) = cosx cos x cos 2x 2sin 2x(2 - sin x)(川)依题意，F(x)二a sin x cos2x，令F (x)二a si n x cos2x二0sin x=0，即x=k：(k =Z)时，cos2x=1,从而x=k：(k：=Z)不是方程F(x)=0冋题转化为方程2cos 2x二sin x sin xcos2x在jiIT匕 4)内是否有解因为，所以G(x) 0，G(x)在x (6,4)31 JI内单调递增(67)JI JI且函数G(x)的图象连续不断，故可知函数G(x)在(6,7)内存在唯一零点v，x0即存在唯一的

23、满足题意X。(孑 4)Jl JIi(x)严x(2sin2x 1，令h(x)，得sin2x兀或3兀x = x =一2 2现研究x(0,兀)U(兀,2兀)时方程解的情况令 h(x)一 cos2x，x (0,：)U,2：)sin x则问题转化为研究直线y=a与曲线y = h(x)在x(0ir)U(兀 2巧的交点情况当X变化时，h( X)和h (x)变化情况如下表x(0,扌)2312(“)(沢,32)3兀2(浮0)2h(x)+00+h(x)Z1-1Z当X 0且x趋近于0时，h(X)趋向于-:：当x：二且x趋近于二时，h(x)趋向于-:当x 且x趋近于？.时，h(x)趋向于:当x: 2-且x趋近于2-时

24、，h(x)趋向于：故当a 1时，直线y =a与曲线y = h(x)在(0,江)内有无交点，在(兀，2兀)内有2个交当av -1时，直线y =a与曲线y = h(x)在(0,兀)内有2个交点，在(兀，2兀)内无交点；当一1 a v1时，直线y =a与曲线y =h(x)在(0,兀)内有2个交点，在(兀，2兀)内有2个交点由函数h(x)的周期性，可知当1时，直线y=a与曲线y = h(x)在(0, n兀)内总有 偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y = a与曲线y = h(x)在(0 n )内恰有2013个交点；当a -二1时，直线y = a与曲线y = h(x)在(0,二)U(二,2二)内有3个交点，由周的解，所以方程F(x)=0等价于关于x的方程acos2x，x = k 二(k Z) sinx期性，2013 =3 671，所以n =671 2 =1342综上，当a =1，n =1342时，函数F (x) = f (x) ag(x)在(0