第三节格林公式及其应用

1、1.格林（格林（green）公式）公式2.四个等价结论四个等价结论1/23格格林林公公式式 设设闭闭区区域域 d 由由分分段段光光滑滑曲曲线线 l 围围成成， p(x, y)、q(x, y) c1d, ,则则 ldqdypdxdxdyypxq)( 其其中中 l 是是 d 的的边边界界正正向向, , 一、格林公式一、格林公式边界曲线边界曲线l的正向的正向: 当当观察者沿边界行走时，观察者沿边界行走时，区域区域d总在左边。总在左边。d2l1ld组成组成与与由由21llll2/23* *证明证明若若d是是 x型型，则则 dyypdxdxdyypxxbad )()(21 badxxxpxxp)(,()

2、(,(12 ldxyxp),( 下下上上lldxyxpdxyxp),(),( abbadxxxpdxxxp)(,()(,(12 )(1xy )(2xy dab3/23，则则、，边边界界分分别别为为、型型域域个个分分割割为为若若干干轴轴垂垂直直的的直直线线将将型型，用用与与非非若若nnlldddxd11xx ddxdyyp ldqdydxdyxq;同同理理得得 nididxdyyp1 nilipdx1; lpdx ldqdypdxdxdyypxq.)(4/23设设 l 是一条分段光滑的闭曲线是一条分段光滑的闭曲线, 证明证明0dd22yxxyxl证证: 令令,22xqyxp则则ypxq利用格林公

3、式利用格林公式 , 得得yxxyxldd22022xxdyxdd00例例2. 2. 时时针针方方向向。，顺顺为为顶顶点点的的三三角角形形的的边边界界、求求 )2 , 3( )0 , 3( )0 , 0( : ,)653()42( ldyyxdxyxl 解解用用格格林林公公式式。 原原式式。记记相相应应三三角角域域为为 d ddxdyypxq)( d ddxdy4|d|4 12 )0 , 0(o)0 , 3()2 , 3(d6/23例例3. 3. 。到到从从沿沿右右半半圆圆周周为为求求 )0 , 0( )2 , 0( 1)1( ,)3sin()cos( 222oayxldyxyedxyexlxx

4、 解解用用格格林林公公式式。 原原式式 oad。记记右右半半圆圆域域为为 d ddxdyypxq)( oa ddxdy3 0:xoa. 12cos23 |d| 3 20sin ydydlao5/23记记l所所围围闭闭区区域域为为 d, 解解当当022 yx时时, , 有有ypyxxyxq 22222)(. (1) (1) 当当d )0, 0(时时, ,xyold由由格格林林公公式式或或其其推推论论知知 lyxydxxdy02220/23l(2) 当当d )0 , 0(时时, 1drl作作位位于于d内内圆圆周周 222:ryxl , 记记1d由由 l 和和 l 所围成所围成, 应应用用格格林林公

5、公式式, 得得 yxo llyxydxxdy22 ddxdy00 llyxydxxdy22 drrr22222sincos 20.2 (注意格林公式的条件注意格林公式的条件) d21/23的的面面积积面面上上有有界界闭闭区区域域用用格格林林公公式式易易证证：dxoy dxdyd| dydx.21 dydxxdy格林公式格林公式ldyqxpyxypxqdddd例如例如, 椭圆椭圆)20(sincos:byaxl所围面积所围面积lxyyxadd212022d)sincos(21ababab二、四个等价结论二、四个等价结论 如果平面区域如果平面区域d内任一闭曲线所围成的部分都在内任一闭曲线所围成的部

6、分都在d内内， 则称则称d为为单连通单连通区域；区域； 否则称为否则称为复连通复连通区域。区域。复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域dd1 1、平面区域连通性的分类、平面区域连通性的分类7/23那那么么，下下面面四四条条等等价价：，、区区域域，为为设设 ),(),( 1dcyxqyxpd 单连通推论推论2 2、用格林公式导出的四个等价结论、用格林公式导出的四个等价结论 1)；上上，在在ypxqd 0 2)；有有，闭闭路路对对 lqdypdxdl 3)；上，上，在在与路径无关 abqdypdxd 4)有原函数即即是是某某个个函函数数的的全全微微分分，上上，在在qdypdxd . ),(,00

7、是是一一个个原原函函数数）（ yx)y(xqdypdx8/23* *证证 ）上上，（在在 1)ypxqd 0 2)）有有，闭闭路路（对对 lqdypdxdl lqdypdx )( 所所围围有有界界闭闭区区域域ldxdyxpyq格格林林公公式式；0 9/23 ) ( 3)与路径无关 abqdypdxd上，上，在在）有有，闭闭路路（对对 0 2) lqdypdxdl 21 ll的的路路径径，、终终点点为为起起点点为为中中是是、设设badll 21，)(21lll lqdypdx 0 2)，由由 )(21 ll ；上，上，在在与路径无关 abqdypdxd 21 ll 21 ll1lab2l10/2

8、3 3)）上上，（在在与路径无关 abqdypdxd是是某某个个函函数数的的全全微微分分）（ 4)qdypdx ),(),(),(00 yxyxqdypdxyxu令令d),(000yxm),(yxm),(yxxn ),(),( yxuyxxu 则则 ),(),(00 yxxyx ),(),(00yxyx ),(),(yxxyxxyxxp ),( 中中值值定定理理 mn xxxdxyxp),(),(lim),(0yxxpyxuxx ),(yxp 1dc 1,dycqu 同同理理; qdypdxdu 11/23 1)）上上，（在在ypxqd 是是某某个个函函数数的的全全微微分分）上上，（在在qdy

9、pdxd 4)证证毕毕。, qdypdxdu 记记pxu 则则qyu ， 1dc ， 1dc yxuyp 2 则则xyu 2.xq 连连续续12/23说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 bayqxpddabyqxpdd 若在某区域若在某区域d内内,xqyp则则2) 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求可用积分法求d u = p dx + q dy在域在域 d 内的原函内的原函数数:dyx),(00及动点及动点,),(dyxyyxqxyxpyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxx

10、yxp0d),(0或或yyyyxqyxu0d),(),(0则原函数为则原函数为yyyyxq0d),(xxxyxp0d),(若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可可添加辅助线添加辅助线;取定点取定点1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;yx0y0 xoxy则对则对d内任一分段光滑曲内任一分段光滑曲bayyxqxyxpd),(d),(abu)()(aubu线线 ab ,有有yyxqxyxpabd),(d),(注注: 此式称为此式称为曲线积分的基本公式曲线积分的基本公式(p211定理定理4). babaxfxxf)(dd)(dab 它类似于微积分基本

11、公式它类似于微积分基本公式: baud)()(xfxf其中)()()(afbfxfab22ddyxxyyx在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 内存在原内存在原函函数数 , 并求出它并求出它. 证证: 令令2222,yxxqyxyp则则)0()(22222xyqyxxyxp所以存在原函数所以存在原函数),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxu 0)0(arctanxxyxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yxoxy)0 ,(x)0 , 1(),(yxo),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanar

12、ctanyxarctan2xyxxy122d或或), 1 (y)0(arctanxxy判别判别: p, q 在某单连通域在某单连通域d内有连续一阶偏导数内有连续一阶偏导数,xqypdyx),(为全微分方程为全微分方程 则则求解步骤求解步骤:方法方法1 凑微分法凑微分法;方法方法2 利用积分与路径无关的条件利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数求原函数 u (x, y)2. 由由 d u = 0 知通解为知通解为 u (x, y) = c .使若存在),(yxuyyxqxyxpyxud),(d),(),(d则称则称0d),(d),(yyxqxyxp为为全微分方程全微分方程.),(yxyxo0d

13、)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解: 因为因为yp236yyx ,xq故这是全微分方程故这是全微分方程. , 0, 000yx取则有则有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解为因此方程的通解为cyyxyxx332253123)0 ,(x法法10d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx求解yu,)(2yy cyxu),(xu, 则有则有)(d)35(),(324yxyyxxyxu待定，)()(233225yyyxyxx两边对两边对 y 求导得求导得yu由得由得与比较得与比较得331)(yy 取因此

14、方程的通解为因此方程的通解为cyyxyxx33225312332435yyxx22233yyxyx)(3322yyxyx0d1d)(2yxxxyx解解:21xyp 这是一个全微分方程这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解用凑微分法求通解. 将方程改写为将方程改写为0ddd2xxyyxxx即即, 0d21d2xyx故原方程的通解为故原方程的通解为021d2xyx或cxyx221,xq思考思考: 如何解方程如何解方程?0dd)(3yxxyx这不是一个全微分方程这不是一个全微分方程 ,12x就化成例就化成例7 的方程的方程 .,0),(yx使使0d),(),(d),(),(yyxqyxxyxpyx为

15、全微分方程为全微分方程,),(yx则称在简单情况下在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得可凭观察和经验根据微分倒推式得到到为原方程的为原方程的积分因子积分因子.但若在方程两边同乘但若在方程两边同乘注注:若存在连续可微函数若存在连续可微函数 积分因子积分因子.1. 格林公式格林公式lyqxpdd2. 等价条件等价条件在在 d 内与路径无关内与路径无关.ypxq在在 d 内有内有yqxpudddyxypxqdddlyqxpdd对对 d 内任意闭曲线内任意闭曲线 l 有有0ddlyqxp在在 d 内有内有设设 p, q 在在 d 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, 则则有有为全微分方程为全微分方程0ddyqxpv习题11-1 若区域若区域 如图如图为复连