全国初中数学联赛初二卷及详解Word版

1、传播优秀word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷第一试一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则的值为（ ）.a.2 b.1 c.0 d.-12.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（ ）.a.125 b.120 c.100 d.813.若正整数a,b,c满足abc且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（ ）.a.4 b.3 c.2 d.14.已知正整数a,b,c满足a2-6b-

2、3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（ ）.a.424 b.430 c.441 d.4605.梯形abcd中，adbc，ab=3，bc=4，cd=2，ad=1，则梯形的面积为（ ）.a. b. c. d.6.如图，梯形abcd中，adbc，a=90°，点e在ab上，若ae=42，be=28，bc=70，dce=45°，则de的值为（ ）.a.56 b.58 c.60 d.62二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.使得等式成立的实数a的值为_.8.已知abc的三个内角满足abc100°.用表示100°-c,c-b,b

3、-a中的最小者，则的最大值为_.9.设a,b是两个互质的正整数，且为质数.则p的值为_.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为_.第二试一、（本题满分 20 分）设a,b是两个不同的两位数，且b是由a交换个位数字和十位数字所得，如果a2-b2是完全平方数，求a的值.二、（本题满分 25 分）如图，abc中，d为bc的中点，de平分adb，df平分adc，bede，cfdf，p为ad与ef的交点.证明：ef=2pd.三、（本题满分 25 分）已知a,b,c是不全相等的正整数，且为有理数，求的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试

4、题 初二卷参考答案第一试一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则的值为（ ）.a.2 b.1 c.0 d.-1答案：b对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以.2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（ ）.a.125 b.120 c.100 d.81答案：c对应

5、讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.3. 若正整数a,b,c满足abc且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（ ）.a.4 b.3 c.2 d.1答案：b对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过abc且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证.解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)6c，即ab6，

6、显然a=1或2.若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组.若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=，不是整数舍去，共1个好数组.共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4. 已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（ ）.a.424 b.430 c.441 d.460答案：c对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定

7、结果.解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)275，即1b6.当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程.因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.5. 梯形abcd中，adbc，ab=3，bc=4，cd=2，ad=1，则梯形的面积为（ ）.a. b. c. d.答案：a对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作aedc，ahbc，则adce是平行四边形，则be=bc-ce=bc-ad=3=ab，则abe是等腰三角形，be=a

8、b=3，ae=2，经计算可得.所以梯形abcd的面积为.6. 如图，梯形abcd中，adbc，a=90°，点e在ab上，若ae=42，be=28，bc=70，dce=45°，则de的值为（ ）.a.56 b.58 c.60 d.62答案：b对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形rtead中去，利用勾股定理求解.解析：作cfad，交ad的延长线于点f，将cdf绕点c逆时针旋转90°至cgb，则abcf为正方形，可得ecgecd，eg=ed.设de=x，则df=bg=x-28，ad=98-x.在rte

9、ad中，有422+(98-x)2=x2，解得x=58.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.使得等式成立的实数a的值为_.答案：8对应讲次：所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式. 解析：易得.令，则x0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x1=0, x2=3, x3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.8. 已知abc的三个内角满足abc100°.用表示100°-c,c-b,b-a中的最小者，则的最大值为_.答案：20°对应讲次：所属知识点：代数思路：

10、一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况.解析：100°-c，c-b，b-a3（100°-c）+2(c-b)+(b-a)=20°又当a=40°,b=60°,c=80°时，=20°可以取到.则的最大值为20°.9. 设a,b是两个互质的正整数，且为质数.则p的值为_.答案：7对应讲次：所属知识点：数论思路：因为p是质数，只能拆成1和p，另一方面通过a+b、a、b两两互质来拆分的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b互质，所以a+b、a、b两两互质，因为质数，所以可

11、得a=b=1，p=4，不是质数舍；可得a=7，b=1，p=7，符合题意.则p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为_.答案：34对应讲次：所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为，考虑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下

12、6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设a,b是两个不同的两位数，且b是由a交换个位数字和十位数字所得，如果a2-b2是完全平方数，求a的值.答案：65对应讲次：所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数设为10a+b，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果.解析：设a=10a+b(1a,b9,a,bn)，则b=10b+a，由a,b不同得ab

13、，a2-b2=（10a+b）2-(10b+a)2=9×11×（a+b）(a-b). 5分由a2-b2是完全平方数，则ab，可得a+b=11， 10分a-b也是完全平方数，所以a-b=1或4. 15分若a-b=1，则a=6，b=5；若a-b=4，则没有正整数解.因此a=6，b=5，a=65. 20分二、（本题满分 25 分）如图，abc中，d为bc的中点，de平分adb，df平分adc，bede，cfdf，p为ad与ef的交点.证明：ef=2pd.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为ef、pd都在def中，所以想办法推出其性质，比较容易得出edf=90°，此时若能得出ef=pd，则自然可以得到结论.解析：由de平分adb，df平分adc，可得edf=90°. 5分由bede得bedf，则ebd=fdc. 10分又bd=dc，bed=dfc=90°，则beddfc，be=df. 15分得四边形bdfe是平行四边形，ped=edb=edp，ep=pd. 20分又edf是直角三角形，ef=2pd. 25分三、（本题满分 25 分）已知a,b,c是不全相等的正整数，且为有理数，求的最小值.答案：3对应讲次：所属知识点：数论思路：