向量组及其线性组合

1、 向量组及其线性组合 naaa21a 或或a at t ( (a a1 1 a a2 2 a an n) ) v向量向量 n n个有次序的数个有次序的数a a1 1 a a2 2 a an n所组成的数组称为所组成的数组称为n n维向量维向量 这这n n个数称为该向量个数称为该向量的的n n个分量个分量 第第i i个数个数a ai i称为第称为第i i个分量个分量 其中其中a a称为列向量称为列向量( (即列矩阵即列矩阵) ) a at t称为行向量称为行向量( (即行矩阵即行矩阵) ) 由数组由数组a a1 1 a a2 2 a an n所组成的所组成的n n维向量维向量可记为可记为上页上页

2、下页下页铃铃结束结束返回返回补充例题补充例题首页首页 (1) (1)列向量用黑体小写字母列向量用黑体小写字母a a、b b、 、 等表示等表示 行向量则用行向量则用a at t、b bt t、 t t、 t t等等表示表示 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时 都当作列向量都当作列向量 naaa21a 或或a at t ( (a a1 1 a a2 2 a an n) ) v向量向量 n n个有次序的数个有次序的数a a1 1 a a2 2 a an n所组成的数组称为所组成的数组称为n n维向量维向量 这这n n个数称为该向量个数称为该向量的的

3、n n个分量个分量 第第i i个数个数a ai i称为第称为第i i个分量个分量 其中其中a a称为列向量称为列向量( (即列矩阵即列矩阵) ) a at t称为行向量称为行向量( (即行矩阵即行矩阵) ) 由数组由数组a a1 1 a a2 2 a an n所组成的所组成的n n维向量维向量可记为可记为说明说明 下页下页 (2) (2)分量全为实数的向量称为实向量分量全为实数的向量称为实向量 分量为复数的向量称为复向量分量为复数的向量称为复向量 naaa21a 或或a at t ( (a a1 1 a a2 2 a an n) ) v向量向量 n n个有次序的数个有次序的数a a1 1 a

4、a2 2 a an n所组成的数组称为所组成的数组称为n n维向量维向量 这这n n个数称为该向量个数称为该向量的的n n个分量个分量 第第i i个数个数a ai i称为第称为第i i个分量个分量 由数组由数组a a1 1 a a2 2 a an n所组成的所组成的n n维向量维向量可记为可记为说明说明 (3) (3)规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算 其中其中a a称为列向量称为列向量( (即列矩阵即列矩阵) ) a at t称为行向量称为行向量( (即行矩阵即行矩阵) ) 下页下页v向量向量 n n个有次序的数个有次序的数a a1 1

5、a a2 2 a an n所组成的数组称为所组成的数组称为n n维向量维向量 这这n n个数称为该向量个数称为该向量的的n n个分量个分量 第第i i个数个数a ai i称为第称为第i i个分量个分量 v向量组向量组 若干个同维数的列向量若干个同维数的列向量( (或同维数的行向量或同维数的行向量) )所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组 v向量举例向量举例 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中 点点p p( (x x y y z z) )与与3 3维向量维向量r r ( (x x y y z z) )t t之间有一一对应的之间有一一对应的关系关系 我们把我们把3 3维向量的全体所组成的

6、集合维向量的全体所组成的集合 r r3 3 r r | | r r ( (x x y y z z) )t t x x y y z z rr叫做三维向量空间叫做三维向量空间 下页下页 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中 点集点集 p p( (x x y y z z)|)|axax byby czcz d d 是一个平面是一个平面( (a a b b c c不全为不全为0)0) 在三维向量空间中在三维向量空间中 向量集向量集 r r | | r r ( (x x y y z z) )t t ax ax byby czcz d d 也叫做向量空间也叫做向量空间r r3 3中的平面中的平面 并把并把

7、 作为它的图形作为它的图形 v向量向量 n n个有次序的数个有次序的数a a1 1 a a2 2 a an n所组成的数组称为所组成的数组称为n n维向量维向量 这这n n个数称为该向量个数称为该向量的的n n个分量个分量 第第i i个数个数a ai i称为第称为第i i个分量个分量 v向量组向量组 若干个同维数的列向量若干个同维数的列向量( (或同维数的行向量或同维数的行向量) )所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组 v向量举例向量举例 下页下页 n n维向量的全体所组成的集合维向量的全体所组成的集合 r rn n x x | | x x ( (x x1 1 x x2 2 x xn

8、n) )t t x x1 1 x x2 2 x xn n rr叫做叫做n n维向量空间维向量空间 n n维向量的集合维向量的集合 x x | | x x ( (x x1 1 x x2 2 x xn n) )t t a a1 1x x1 1 a a2 2x x2 2 a an nx xn n b b 叫做叫做n n维向量空间维向量空间r rn n中的中的n n 1 1维超平面维超平面 v向量向量 n n个有次序的数个有次序的数a a1 1 a a2 2 a an n所组成的数组称为所组成的数组称为n n维向量维向量 这这n n个数称为该向量个数称为该向量的的n n个分量个分量 第第i i个数个数

9、a ai i称为第称为第i i个分量个分量 v向量组向量组 若干个同维数的列向量若干个同维数的列向量( (或同维数的行向量或同维数的行向量) )所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组 v向量举例向量举例 下页下页v向量向量 n n个有次序的数个有次序的数a a1 1 a a2 2 a an n所组成的数组称为所组成的数组称为n n维向量维向量 这这n n个数称为该向量个数称为该向量的的n n个分量个分量 第第i i个数个数a ai i称为第称为第i i个分量个分量 v向量组向量组 若干个同维数的列向量若干个同维数的列向量( (或同维数的行向量或同维数的行向量) )所组成的集合叫做向量组所

10、组成的集合叫做向量组 v向量举例向量举例 线性方程线性方程a am m n nx x 0 0的全体解当的全体解当r r( (a a) ) n n时是一个含无限多个时是一个含无限多个n n维列向量的向量组维列向量的向量组 下页下页 12111maaa 22212maaa mnnnaaa21 v向量向量 n n个有次序的数个有次序的数a a1 1 a a2 2 a an n所组成的数组称为所组成的数组称为n n维向量维向量 这这n n个数称为该向量个数称为该向量的的n n个分量个分量 第第i i个数个数a ai i称为第称为第i i个分量个分量 v向量组向量组 若干个同维数的列向量若干个同维数的列

11、向量( (或同维数的行向量或同维数的行向量) )所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组 v向量举例向量举例 一个一个m m n n矩阵对应一个矩阵对应一个m m维列向量组维列向量组 也对应也对应一个一个n n维行向量组维行向量组 下页下页 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 v向量向量 n n个有次序的数个有次序的数a a1 1 a a2 2 a an n所组成的数组称为所组成的数组称为n n维向量维向量 这这n n个数称为该向量个数称为该向量的的n n个分量个分量 第第i i个数个数a ai i称为第称为第i i个分量个分量 v向量组向量组 若干个同维数的列向量若干

12、个同维数的列向量( (或同维数的行向量或同维数的行向量) )所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组 v向量举例向量举例 一个一个m m n n矩阵对应一个矩阵对应一个m m维列向量组维列向量组 也对应也对应一个一个n n维行向量组维行向量组 下页下页 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211)( )()(212222111211mnmmnnaaaaaaaaa v向量向量 n n个有次序的数个有次序的数a a1 1 a a2 2 a an n所组成的数组称为所组成的数组称为n n维向量维向量 这这n n个数称为该向量个数称为该向量的的n n个分量个分量 第第i i个数个数a

13、ai i称为第称为第i i个分量个分量 v向量组向量组 若干个同维数的列向量若干个同维数的列向量( (或同维数的行向量或同维数的行向量) )所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组 v向量举例向量举例 一个一个m m n n矩阵对应一个矩阵对应一个m m维列向量组维列向量组 也对应也对应一个一个n n维行向量组维行向量组 下页下页 今后今后 由列向量组由列向量组a a a a1 1 a a2 2 a am m所构成的矩阵简记为所构成的矩阵简记为a a或或( (a a1 1 a a2 2 a am m) ) v线性组合与线性表示线性组合与线性表示 设设a a a a1 1 a a2 2 a

14、am m是一是一向量组向量组 表达式表达式 k k1 1a a1 1 k k2 2a a2 2 k km ma am m 称为向量组称为向量组a a的一个线性组合的一个线性组合 其中其中k k1 1 k k2 2 k km m是是一组实数一组实数 称为这线性组合的系数称为这线性组合的系数 如果向量如果向量b b是向量组是向量组a a的线性组合的线性组合b b 1 1a a1 1 2 2a a2 2 m ma am m 则称向量则称向量b b能由向量组能由向量组a a线性表示线性表示 v定理定理1 1 向量向量b b能由向量组能由向量组a a a a1 1 a a2 2 a am m线性表示的充

15、分必要条件是矩阵线性表示的充分必要条件是矩阵a a ( (a a1 1 a a2 2 a am m) )与矩阵与矩阵b b ( (a a1 1 a a2 2 a am m b b) )的秩相等的秩相等 即即r r( (a a) ) r r( (b b) ) 下页下页 例例1 1 设设a a1 1 (1(1 1 1 2 2 2) 2)t t a a2 2 (1(1 2 2 1 1 3) 3)t t a a3 3 (1(1 1 1 4 4 0) 0)t t b b (1(1 0 0 3 3 1)1)t t 证明向量证明向量b b能由向量组能由向量组a a1 1 a a2 2 a a3 3线性表示线

16、性表示 并求出表示式并求出表示式 设设a a ( (a a1 1 a a2 2 a a3 3) ) b b ( (a a b b) ) ( (a a1 1 a a2 2 a a3 3 b b) ) 因为因为 0000000012102301 1032341201211111rb所以所以r r( (a a) ) r r( (b b) ) 因此向量因此向量b b能由向量组能由向量组a a1 1 a a2 2 a a3 3线性表示线性表示 由上列行最简形由上列行最简形 可得方程可得方程( (a a1 1 a a2 2 a a3 3) )x x b b的通解为的通解为 cccc1223012123x

17、从而得表示式从而得表示式 b b ( (a a1 1 a a2 2 a a3 3) )x x ( ( 3 3c c 2)2)a a1 1 (2(2c c 1)1)a a2 2 caca3 3 其中其中c c可任意取值可任意取值 解解 0000000012102301 1032341201211111rb 下页下页注注 b bj j k k1 1j ja a1 1 k k2 2j ja a1 1 k kmjmja am m( (j j 1 1 2 2 l l) ) v向量组的等价向量组的等价 若向量组若向量组b b b b1 1 b b2 2 b bl l中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能

18、由向量组a a a a1 1 a a2 2 a am m线性表示线性表示 则称向量组则称向量组b b能由向量组能由向量组a a线性表示线性表示 若向量组若向量组b b组能由向量组组能由向量组a a线性表示线性表示 则存在矩阵则存在矩阵k k ( (k kijij) ) 使使 mlmmllmlkkkkkkkkk ) , , ,() , , ,(2122221112112121aaabbb 矩阵矩阵k k称为这一线性表示的系数矩阵称为这一线性表示的系数矩阵 若向量组若向量组a a与与b b能相互表示能相互表示 则称这两个向量组等价则称这两个向量组等价 下页下页 因此因此 若若c c abab 则则

19、 (1)(1)矩阵矩阵c c的列向量组能由矩阵的列向量组能由矩阵a a的列向量组线性表示的列向量组线性表示 (2) (2)矩阵矩阵c c的行向量组能由的行向量组能由矩阵矩阵b b的行向量组线性表示的行向量组线性表示 v向量组的等价向量组的等价 若向量组若向量组b b b b1 1 b b2 2 b bl l中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能由向量组a a a a1 1 a a2 2 a am m线性表示线性表示 则称向量组则称向量组b b能由向量组能由向量组a a线性表示线性表示 若向量组若向量组b b组能由向量组组能由向量组a a线性表示线性表示 则存在矩阵则存在矩阵k k ( (k

20、kijij) ) 使使 mlmmllmlkkkkkkkkk ) , , ,() , , ,(2122221112112121aaabbb 若向量组若向量组a a与与b b能相互表示能相互表示 则称这两个向量组等价则称这两个向量组等价 下页下页提示提示 若矩阵若矩阵a a与与b b行等价行等价 则这两个矩阵的行向量组等价则这两个矩阵的行向量组等价 v矩阵等价与向量组等价的关系矩阵等价与向量组等价的关系 这是因为这是因为 矩阵矩阵a a经初等行变换变成矩阵经初等行变换变成矩阵b b 则则b b的每个行向量都是的每个行向量都是a a的行向量组的行向量组的线性组合的线性组合 反之反之 由初等变换的可逆

21、由初等变换的可逆性性 a a的行向量组也能由的行向量组也能由b b的行向量组线性表示的行向量组线性表示 v向量组的等价向量组的等价 若向量组若向量组b b b b1 1 b b2 2 b bl l中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能由向量组a a a a1 1 a a2 2 a am m线性表示线性表示 则称向量组则称向量组b b能由向量组能由向量组a a线性表示线性表示 若向量组若向量组a a与与b b能相互表示能相互表示 则称这两个向量组等价则称这两个向量组等价 下页下页 若矩阵若矩阵a a与与b b列等价列等价 则这两个矩阵的列向量组等价则这两个矩阵的列向量组等价 若矩阵若矩阵a a

22、与与b b行等价行等价 则这两个矩阵的行向量组等价则这两个矩阵的行向量组等价 v矩阵等价与向量组等价的关系矩阵等价与向量组等价的关系v向量组的等价向量组的等价 若向量组若向量组b b b b1 1 b b2 2 b bl l中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能由向量组a a a a1 1 a a2 2 a am m线性表示线性表示 则称向量组则称向量组b b能由向量组能由向量组a a线性表示线性表示 若向量组若向量组a a与与b b能相互表示能相互表示 则称这两个向量组等价则称这两个向量组等价 下页下页v向量组的等价向量组的等价 若向量组若向量组b b b b1 1 b b2 2 b bl

23、 l中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能由向量组a a a a1 1 a a2 2 a am m线性表示线性表示 则称向量组则称向量组b b能由向量组能由向量组a a线性表示线性表示 若向量组若向量组a a与与b b能相互表示能相互表示 则称这两个向量组等价则称这两个向量组等价 v定理定理2 2 向量组向量组b b b b1 1 b b2 2 b bl l能由向量组能由向量组a a a a1 1 a a2 2 a am m线性表示的充分必要条件是线性表示的充分必要条件是r r( (a a) ) r r( (a a b b) ) 注注 ( (a a b b) ) ( (a a1 1 a a2

24、 2 a am m b b1 1 b b2 2 b bl l) ) 推论推论 向量组向量组a a a a1 1 a a2 2 a am m与向量组与向量组b b b b1 1 b b2 2 b bl l等价的充分必要条件是等价的充分必要条件是r r( (a a) ) r r( (b b) ) r r( (a a b b) ) 下页下页 例例2 2 设设a a1 1 (1(1 1 1 1 1 1)1)t t a a2 2 (3(3 1 1 1 1 3) 3)t t b b1 1 (2(2 0 0 1 1 1) 1)t t b b2 2 (1(1 1 1 0 0 2)2)t t b b3 3 (3

25、(3 1 1 2 2 0) 0)t t 证明向量组证明向量组a a1 1 a a2 2与向量组与向量组b b1 1 b b2 2 b b3 3等价等价 记记a a ( (a a1 1 a a2 2) ) b b ( (b b1 1 b b2 2 b b3 3) ) 证明证明 将将( (a a b b) )化为行最简形化为行最简形又又r r( (b b) ) r r( (a a b b) ) 2 2 于是知于是知r r( (b b) ) 2 2 因此因此r r( (a a) ) r r( (b b) ) r r( (a a b b) ) 根据定理根据定理2 2的推论的推论 知知向量组向量组a a1 1 a a2 2与向量组与向量组b b1 1 b b2 2 b b3 3等价等价 00000000001112031231 02131201111101131231) ,(rba可见可见 r r( (a a) ) 2 2 r r( (a a b b) ) 2 2 故故r r( (b b) )