2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测10立体几何大题含答案详解

1、高考数学二轮复习课时跟踪检测10立体几何大题练如图，已知平行四边形abcd与emn所在的平面都与矩形bdef所在的平面垂直，且bad=60°，ab=mn=2ad=2，em=en，f为mn的中点(1)求证：mnad；(2)若直线ae与平面abcd所成的角为60°，求二面角m­ab­c的余弦值已知直角梯形abcd中，abcd，abad，cd=2，ad=，ab=1，如图所示，将abd沿bd折起到pbd的位置得三棱锥p­bcd，如图所示(1)求证：bdpc；(2)当平面pbd平面pbc时，求二面角p­dc­b的大小如图，在四棱锥p&

2、#173;abcd中，底面四边形abcd内接于圆o，ac是圆o的一条直径，pa平面abcd，pa=ac=2，e是pc的中点，dac=aob.(1)求证：be平面pad；(2)若二面角p­cd­a的正切值为2，求直线pb与平面pcd所成角的正弦值如图，在四棱锥e­abcd中，底面abcd为直角梯形，其中cdab，bcab，侧面abe平面abcd，且ab=ae=be=2bc=2cd=2，动点f在棱ae，且ef=fa.(1)试探究的值，使ce平面bdf，并给予证明；(2)当=1时，求直线ce与平面bdf所成角的正弦值如图，在多面体abcdef中，底面abcd是边长为2的

3、菱形，bad=60°，四边形bdef是矩形，平面bdef平面abcd，bf=3，h是cf的中点(1)求证：ac平面bdef；(2)求直线dh与平面bdef所成角的正弦值；(3)求二面角h­bd­c的大小如图，在矩形abcd中，ab=4，ad=2，e是cd的中点，将ade沿ae折起，得到如图所示的四棱锥d1­abce，其中平面d1ae平面abce.(1)设f为cd1的中点，试在ab上找一点m，使得mf平面d1ae；(2)求直线bd1与平面cd1e所成的角的正弦值如图，三棱柱abc­a1b1c1中，acb=90°，cc1底面abc，ac=

4、bc=cc1=2，d，e，f分别是棱ab，bc，b1c1的中点，g是棱bb1上的动点(1)当为何值时，平面cdg平面a1de?(2)求平面a1bf与平面a1de所成的锐二面角的余弦值如图，在四棱锥p­abcd中，e，f分别是pc，pd的中点，底面abcd是边长为2的正方形，pa=pd=2，且平面pad平面abcd.(1)求证：平面aef平面pcd；(2)求平面aef与平面ace所成锐二面角的余弦值参考答案解：(1)证明：在abd中，bad=60°，ab=2，ad=1，由余弦定理可得bd2=ab2ad22ab·ad·cosbad=22122×2&

5、#215;1×cos 60°=3，所以bd=，ad2bd2=ab2，所以adbd.又平面abcd平面bdef，平面abcd平面bdef=bd，所以ad平面bdef.在emn中，em=en，f为mn的中点，所以mnef，又平面emn平面bdef，平面emn平面bdef=ef，所以mn平面bdef.所以mnad.(2)在矩形bdef中，edbd，又平面abcd平面bdef，平面abcd平面bdef=bd，所以ed平面abcd.所以ead为直线ae与平面abcd所成的角，故ead=60°.在rtead中，ed=adtanead=1×tan 60°=.

6、如图，以d为坐标原点，分别以da，db，de所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则d(0,0,0)，a(1,0,0)，b(0，0)，e(0,0，)，f(0，)，m(1，)，=(0，)，=(1，0)因为de平面abcd，所以=(0,0，)为平面abcd的一个法向量设平面mab的法向量为n=(x，y，z)，所以即整理得令y=1，则x=，z=1，所以n=(，1，1)是平面mab的一个法向量所以cos ，n=.设二面角m­ab­c的大小为，由图可知为钝角，所以cos =cos，n=.解：(1)证明：在图中，连接ac，交bd于点g，因为cda=dab=90°，所以

7、tancad=，tandba=，所以cad=dba，因为cadbag=90°，所以dbabag=90°，所以bdac.所以将abd沿bd折起到pbd的位置后，仍有bdpg，bdcg，如图所示，又pgcg=g，所以bd平面pcg，又pc平面pcg，所以bdpc.(2)因为平面pbd平面pbc，pbpd，平面pbd平面pbc=pb，pd平面pbd，所以pd平面pbc，因为pc平面pbc，所以pdpc，又bdpc，bdpd=d，所以pc平面pbd，所以bpcp.以p为坐标原点，pc，pb，pd所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则p(0,0,0)，b(0,

8、1,0)，c(，0,0)，d(0,0，)，=(0，1，)，=(，1,0)，易知平面pcd的一个法向量为m=(0,1,0)，设n=(x，y，z)为平面bcd的法向量，则即令x=1，则y=，z=1，得n=(1，1)是平面bcd的一个法向量则cosm，n=，易知二面角p­dc­b为锐角，所以二面角p­dc­b的大小为45°.解：(1)证明：dac=aob，adob.e为pc的中点，o为圆心，连接oe，oepa，又oboe=o，paad=a，平面pad平面eob，be平面eob，be平面pad.(2)四边形abcd内接于圆o且ac为直径，adcd，又p

9、a平面abcd，pacd，又paad=a，cd平面pad，cdpd，pda是二面角p­cd­a的平面角，tanpda=2，pa=2，ad=1，如图，以d为坐标原点，da所在的直线为x轴，dc所在的直线为y轴，过点d且垂直于平面abcd的直线为z轴建立空间直角坐标系d­xyz.pa=ac=2，ad=1，延长bo交cd于点f，boad，bfcd，bf=boof，bf=1=，又cd=，df=，p(1,0,2)，b，c(0，0)，=(1，2)，=(0，0)，设平面pcd的法向量n=(x，y，z)，即令z=1，则x=2，y=0.n=(2,0,1)是平面pcd的一个法向量，又

10、=，|cos，n|=，直线pb与平面pcd所成角的正弦值为.解：(1)当=时，ce平面bdf.证明如下：连接ac交bd于点g，连接gf(图略)，cdab，ab=2cd，=，ef=fa，=，gfce，又ce平面bdf，gf平面bdf，ce平面bdf.(2)如图，取ab的中点o，连接eo，则eoab，平面abe平面abcd，平面abe平面abcd=ab，eo平面abcd，连接do，bocd，且bo=cd=1，四边形bodc为平行四边形，bcdo，又bcab，abod，则od，oa，oe两两垂直，以od，oa，oe所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系o­xyz，则o(0,0,

11、0)，a(0,1,0)，b(0，1,0)，d(1,0,0)，c(1，1，0)，e(0,0，)当=1时，有=，f，=(1,1,0)，=(1,1，)，=.设平面bdf的法向量为n=(x，y，z)，则有即令z=，得y=1，x=1，则n=(1，1，)为平面bdf的一个法向量，设直线ce与平面bdf所成的角为，则sin =|cos，n|=，故直线ce与平面bdf所成角的正弦值为.解：(1)证明：四边形abcd是菱形，acbd.又平面bdef平面abcd，平面bdef平面abcd=bd，且ac平面abcd，ac平面bdef.(2)设acbd=o，取ef的中点n，连接on，四边形bdef是矩形，o，n分别为

12、bd，ef的中点，oned.ed平面abcd，on平面abcd.由acbd，得ob，oc，on两两垂直以o为原点，ob，oc，on所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系底面abcd是边长为2的菱形，bad=60°，bf=3，a(0，0)，b(1,0,0)，d(1，0,0)，e(1,0,3)，f(1,0,3)，c(0，0)，h.ac平面bdef，平面bdef的法向量=(0,2，0)设直线dh与平面bdef所成角为，=，sin =|cos，|=，直线dh与平面bdef所成角的正弦值为.(3)由(2)，得=，=(2,0,0)设平面bdh的法向量为n=(x，y，z)，则令

13、z=1，得n=(0，1)由ed平面abcd，得平面bcd的法向量为=(0,0，3)，则cosn，=，由图可知二面角h­bd­c为锐角，二面角h­bd­c的大小为60°.解：(1)如图，取d1e的中点，记为l，连接al，fl，则flec，又ecab，flab，且fl=ab，m，f，l，a四点共面，且平面d1ae平面amfl=al，若mf平面d1ae，则mfal，四边形amfl为平行四边形，am=fl=ab.(2)取ae的中点o，过点o作ogab于g，ohbc于h，连接od1.ad1=d1e，d1oae，d1o平面abce，d1oog，d1ooh，

14、又易得ogoh，故og，oh，od1两两垂直，以o为坐标原点，og，oh，od1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则b(1,3,0)，c(1,3,0)，e(1,1,0)，d1(0,0，)故=(1，3，)，=(1，3，)，=(0，2,0)设平面cd1e的一个法向量为m=(x，y，z)，则即取x=，得m=(，0，1)设直线bd1与平面cd1e所成的角为，则sin =|cosm，|=.即直线bd1与平面cd1e所成的角的正弦值为.解：(1)当=，即g为bb1的中点时，平面cdg平面a1de.证明如下：因为点d，e分别是ab，bc的中点，所以deac且de=ac，又aca1c1，ac=a1

15、c1，所以dea1c1，de=a1c1，故d，e，c1，a1四点共面如图，连接c1e交gc于h.在正方形cbb1c1中，tanc1ec=2，tanbcg=，故che=90°，即cgc1e.因为a1c1平面cbb1c1，cg平面cbb1c1，所以decg，又c1ede=e，所以cg平面a1de，故平面cdg平面a1de.(2)由(1)知，当g为bb1的中点时，平面a1de的一个法向量为.三棱柱abc­a1b1c1中，acb=90°，cc1底面abc，所以以c为原点，ca，cb，cc1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示因为ac=bc=cc1=

16、2，d，e，f分别是棱ab，bc，b1c1的中点，所以c(0,0,0)，a1(2,0,2)，d(1,1,0)，e(0,1,0)，b(0,2,0)，f(0,1,2)，g(0,2,1)，=(2,2，2)，=(2,1,0)，=(0,2,1)由cd知为平面a1de的一个法向量设平面a1bf的法向量为n=(x，y，z)，则即令x=1得n=(1,2,1)，为平面a1bf的一个法向量设平面a1bf与平面a1de所成的锐二面角为，则cos =，所以平面a1bf与平面a1de所成的锐二面角的余弦值为.解：(1)证明：由题意知，pa=pd=ad，f为pd的中点，可得afpd，平面pad平面abcd，平面pad平面abcd=ad，cd平面abcd，cdad，cd平面pad.又af平面pad，cdaf，又cdpd=d，af平面pcd，又af平面