利用导数研究函数的极值课后限时作业

1、课后限时作业（十三）（60分钟，150分）(详解为教师用书独有)a组一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1. 函数f(x)x33x23xa的极值点的个数为 ()a0 b1 c2 d3解析：f(x)3x26x33(x1)20恒成立所以f(x)在r上单调递增，故f(x)无极值答案：a2.已知函数y=f(x),其导函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x) ( )a.在(-,0)上为减函数 b.在x=0处取极小值c.在(4,+)上为减函数 d.在x=2处取极大值解析：使导函数y=f(x)>0的x的取值范围为增区间；使导函数y=f(x)<0的x的取值范围为减区间.答案：c

2、3. 已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)>0，f(x)>0，那么函数yxf(x) ()a存在极大值 b存在极小值c是增函数 d是减函数解析：yf(x)xf(x)>0，x(0，)，所以选c.答案：c4.函数y=x3-2ax+a在（0,1）内有极小值，则a的取值范围是 ( )a.(0,3) b. c. d. 解析：因为,所以即.答案：b5.(2009·天津)设函数(x>0),则y=f(x) ( )a.在区间,(1,e)内均有零点b.在区间,(1,e)内均无零点c.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点d.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点解析：

3、因为 (x>0),所以所以选d.答案：d6. 已知f(x)的定义域为r，f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则 ()af(x)在x1处取得极小值bf(x)在x1处取得极大值cf(x)是r上的增函数df(x)是(，1)上的减函数，(1，)上的增函数解析：因为f(x)0对任意的x都成立，所以f(x)为增函数答案：c二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）7.函数的最小值为 .解析：由得x>1,由得0<x<1.所以f(x)在x=1时取最小值，答案：8. 若f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是 .解析：f(x)3x26ax3(a

4、2)，因为f(x)既有极大值又有极小值，所以3x26ax3(a2)0有两个不同的实数解所以4a24(a2)>0，即a2a2>0，所以a>2或a<1.答案：(-,-1)(2,+)9.（2011届·福州一中模拟）函数f(x)的导函数f(x)的图象如图，则关于f(x)的单调性叙述：f(x)在(-,1和3，5上都是减函数;f(x)在1，3和5，+）上都是减函数；f(x)是r上的增函数.其中正确的序号为 .解析：由图象知f(x)0，所以函数f(x)在r上为增函数.答案：10. 设函数f(x)ax3bx2cx在x1和x1处均有极值，且f(1)1，则abc .解析：因为f(

5、x)ax3bx2cx，所以f(x)3ax22bxc，则解得所以abc1.答案：1三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11. 求下列函数的极值(1)f(x)3ln x；(2)f(x)x2ex.解：(1)函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值3因此当x1时，f(x)有极小值，并且f(1)3.(2)函数f(x)的定义域为r.f(x)2xexx2ex(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表

6、：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极小值极大值从表中可以看出，当x0时，函数f(x)有极小值，且f(0)0；当x2时，函数f(x)有极大值，且f(2).12. 设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值(2)试判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由解：(1)f(x)2bx1.因为f(1)f(2)0，所以解得(2)由(1)得f(x)ln xx2x，所以f(x)x1x1.当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0.故在x1处函数f(x)取得极小值，在x2处函数f(x)取得

7、极大值ln 2.b组一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)1.下面是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )a. b. c. d.解析：因为有两个极值点的为三次函数，有一个极值点的为其导函数，所以易得不正确，故选b.答案：b2. 对任意的实数a、b，记maxa，b已知f(x)maxf(x)，g(x)(xr)，其中奇函数yf(x)在x1时有极小值2，yg(x)是正比例函数，函数yf(x)(x0)与函数yg(x)的图象如图所示下列关于函数yf(x)的说法中，正确的是 ()ayf(x)为奇函数byf(x)有极大值f(1)，且有极小值f(0)cyf(x)的最小值

8、为2，最大值为2dyf(x)在(3,0)上为增函数解析：在图中画出yf(x)的图象，易知选b.答案：b二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）3. 已知实数a0，函数f(x)ax(x2)2(xr)有极大值32，则实数a等于 .解析：f(x)ax(x24x4)ax34ax24ax，所以f(x)3ax28ax4aa(3x28x4)a(3x2)(x2)令f(x)0，得x1或x22.所以在x1或x22处取得极值把x2代入验证，极值为0，因此函数在x处取得极值32，即a××232.解得a27.答案：274.（2011届·福州质检）已知函数f(x)=x3+ax2+b

9、x+a2在x=1处取极值10，则f(2)= .解析：f(x)=3x2+2ax+b,由题意但当a=-3时，,故不存在极值，所以a=4,b=-11,f(2)=18.答案：18三、解答题(本大题共2小题，每小题14分，共28分)5.(2010·北京)设函数 (a>0)，且方程的两个根分别为1，4.（1）当a=3且曲线y=f(x)过原点时，求f(x)的解析式；（2）若f(x)在(-,+)内无极值点，求a的取值范围.解：由得.因为的两个根分别为1,4，所以 （*）（1）当a=3时，由（*）式得解得b=-3,c=12又因为曲线y=f(x)过原点，所以d=0，故（2）因为a>0,所以“

10、f(x)=a3x3+bx2+cx+d在（-，+）内无极值点”等价于“0在（-，+）内恒成立”.由（*）式得2b=9-5a,c=4a.又，解得a1,9，即a的取值范围是1,96. 已知ar，函数f(x)xln(x)(a1)x.(1)若f(x)在xe处取得极值，求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间e2，e1上的最大值g(a)解：(1)f(x)ln(x)a，由题意知f(e)0，解得a1，所以f(x)ln(x)1.当x(，e)时，f(x)>0，当x(e,0)时，f(x)<0，故函数f(x)的单调增区间为(，e)，单调减区间为(e,0)(2)因为f(x)ln(x)a，由f(x)0得xea，当x(，ea)时，f(x)>0，当x(ea,0)时，f(x)<0，所以f(x)在xea处取得极大值，f(x)极大值f(ea)ea.