第8章阻抗测量章节练习

1、8.3谐振法测量阻抗一、谐振法测量阻抗的原理 谐振法是利用lc串联电路和并联电路的谐振特性来进行测量的方法。图氏31(a)和(b)分别画出了lc串联谐振电路和并联谐振电路的基本形式，图中电流、 电压均用相量表示。随堂章节图8.31 lc串、并联谐振电路的基本形式当外加信号源的角频率等于回路的固有角频率。时，即1ù = ù0=lc（8.3-1）时，lc串联或并联谐振电路发生谐振，这时l =10ù 2cc =10ù 2 l（8.3-2）（8.3-3）由式(83-2)和(83-3)可测得l或c的参数。对于图83-1(a)所示的lc串联谐振电路，其电流为i&am

2、p; =r +u&j(ùl 1)ùc（8.3-4）电流 i&的幅值为i =r2 +u s(ùl 1 )2ùc（8.3-5）当电路发生谐振时，其感抗与容抗相等，即 ù0 l= 1 / ù0c，回路中的电流达最大值，即i = i0= u sr此时电容器上的电压为u= u0=1i=1u& s= qu（8.3-6）cc 0式中q =1ù0crù0c= ù0 l rù0crs（8.3-7）由式(8，3-5)得i = u s（8.3-8） ù=22l ùù

3、;r1 + 0 0 r ù0ù由于谐振时电流u si0 =r，回路的品质因数q = ù0 l ，r故式(83-8)改写为i = 1i0 ù1 + q 2 2 ù 0 （8.3-9） ù0ù在失谐不大的情况下，可作如下的近似ù ù0ù 2 ù 20= (ù+ ù0 )(ù ù0 )ù0ùù0ùù0ù这样，式(83-9)可改写为i=i01 + q 21 2(ù2 ù0 )

4、 （8.3-10）ù0调节频率，使回路失谐，设ù = ù2和ù = ù1 分别为半功率点处的上、下限频率，如图83-2所示。此时，i/ i0= 1 /2 = 0.707，由式(83-10)得q 2(ù2 ù0 ) = 1（8.3-11）ù0由于回路的通频带宽 度，故由式(83-11)得b =f2 f1 =2 f2 f0 q =f0 =bf0f2 f1（8.3-12）由式(83-12)可知，只需测得半功率点处的频率f2、f1和谐振频率f0，即可求得品质因数q。这种测量q值的方法称为变频率法。由于半功率点的判断比谐振点

5、容 易，故其准确、度较高。图8.32变频时的谐振曲线图8.33变容时的谐振曲线设回路谐振时的电容为c0，此时若保持信号源的频率和振幅不变，改变回路的调谐电容。设半功率点 处的电容分别为c1和c2，且c2>c1，变电容时的谐振曲线如图833所示。类似于变频率法，可以推得q = 2c0（8.3-13）c2 c1由上式可求得品质因数q。这样测量q值的方法，称为变电容法。二、q表原理q表是基于lc串联回路谐振特性基础上的测量仪 器，其基本原理电路如图8.34所示。采用电阻耦合法 的q表原理图如图8.35所示。图8.34q表原理图8.35电阻耦合法q表原理图q = u coui（8.3-14）若保

6、持回路的输入电压ui大小不变，则接在电容c两端的电压表就可以直接用q表值采标度。若使v减少一半，由式(83工4)可知，同样大小的uco所对应 的q值比原来增加一倍，故接在输入端的电压表可用作 q值的倍乘指示。实际的q表，电压ui和uc的测量是通 过一个转换开关而用同一表头来完成的，如图834 所示。图8.36电感耦合法q表原理图三、元件参数的测量利用q表测量元件参数的简单方法是将被测元件直 接跨接到测试接线端，称为直接测量法。图835和 图836也是直接测试电感线圈的原理图。通过调节 信号源的频率或调节回路的可变电容，使回路发生谐 振，由电容器两端的电压表可直接读出q值，然后乘上 倍乘值即可得

7、到电感线圈的q值。由于q表中测量回路本身的寄生参量及其他不完善性对测量结果所产生的影响，称为残余效应，由此而 导致的测量误差，称为残差。由于直接测量法不仅存 在系统测量误差，而且存在残差的影响，因此一般采 用比较法进行测量，它可以比较有效地消除系统测量 误差和残差的影响。比较法又分为串联比较法和并联 比较法，前者适用于低阻抗的测量，后者适用于高阻 抗的测量。图8.37串联比较法原理图当电感线圈的电感量较小或电容器的电容量很大时，属于低阻抗测量，需要采用图837所示的串联 比较法测量元件参数。图中lk为已·知的辅助线圈，z m = rm +jx m 为其损耗电阻rh为被测元件阻抗。由于

8、电阻rh很小，故在讨论中忽略其影响。首先用一短路线将被测元件zm短路，调节电容c，使回路谐振。设此时的电容量为cl，被测得的品质因数为q1。根据谐振时回路特性，得x lk= x c1 或ùlx=1ùc1（8.3-15）q1 =ùlkrk=1或rkùc1rk =1q1ùc1（8.3-16）然后断开短路线，被测元件zm被接入回路。保持频率不变，调节电容器c，使回路再次谐振。设此时的电容量为c2，品质因数为q2，回路中的电抗满足clmx+ x= xk2（8.3-17）x = 1 / ùc1由于，故式(8317)可改写为lxx= x x=11

9、= c1 c2（8.3-18）mc 2lkùcùcùc c2112回路的品质因数1q2 =或( rk+ rm)ùc2rk + rm =故1rm =1q2ùc2 1= c1q1 q2c2q2ùc2q1ùc1ùc1c2q1q2（8.3-19）若被测元件为电感线圈，xm为感性，必有xm >0。由式(8.3lg)可知，此时c1>c2，并求得l = c1 c2（8.3-20）m ù 2c c1 2线圈的品质因数可由式(8.318)和式(8.319)求得，即x mqm= q1q2 (c1 c2 )（8.3

10、-21）rmc1q1 c2c2若被测元件为电容器，xm为容性，必有xm<0。由式(83-18)可知，此时c2>c1，x m由式(83'-18)求得= 1 / ùcm，cm=c1c2(8.3-22)c2 c1其q值的计算公式与式(8321)相同。若被测元件为纯电阻，则clc2c0，由式(8319)可求得其阻值为rm=q1 q2(8.3-23)ùc0q1q2测量电感量较大的电感器和电容。量较小的电容器等高阻抗元件需要采用并联比较法测量元件参数， 其原理图如图8.38所示。首先不接被测元件，调节可 变电容c，使电路谐振。设此时电容量为c1，品质因数 为q1，则

11、ùlk= 1ùc1(8.3-24)q1 =ùlkrk= 1rkùc1(8.3-25)然后将被测元件并接在可变电容c的两端。保持信号源频率不变，调节电容c，使回路再次发生谐振。设 此时的电容量为c2，品质因数为q2，回路中的电抗满足cxxx=2mlkxc2+ x m将式(8324)代入上式，可解得1x m =(8.3-26)ù (c1 c2 )图8.38并联比较法原理图若被测元件是电感，x m= ùlm，由上式解得lm=12ù(c1 c2 )(8.3-27)若被测元件是电容，x m= 1 / ùcm，由式(8326)

12、解得cm = c1 c2(8.3-28)谐振时，并联谐振回路的总电阻rf为rt =kq2 x l= q2x c 1=q2ùc1(8.3-29)令gt= 1 / rt为回路的总电导，gm= 1 / rm为被测阻抗的电导， gk为辅助线圈的电导，g = rk2kr2+ x 2即gt= gm+ gk，由于k，得lkgm = gt gk(8.3-30)或1=ùc1rk2= ùc1 11rm q2rk + x lq2 rk ùlk 1 + k ùc1q1rq 2rk2 k 1式(83-25)代入上式，得由上式解得1= ùc1rm q2 

13、9;c1q1rm=q1q2（8.3-31）ùc1 (q1 q2 )由式(83-26)和式(83-31)，求得被测元件的q值为rmqm = (c1 c2 )q1q2（8.3-32）x mc1 (q1 q2 )若被测元件为纯电阻，则由式(8.3-31)可求得其电阻值。采用谐振法测量电感线圈的q值，其主要误差有：耦合元件损耗电阻(如rh)引起的误差，电感线圈分布电 容引起的误差，倍率指示器和q值指示器读数的误差， 调谐电容器c的品质因数引起的误差以及q表残余参量 引起的误差。为了减少测量中的误差，需要选 择优质高精度的器件作为标准件，例如调谐电容器应选择介 质损耗小、品质因数高、采用 石英

14、绝缘支撑的空气电容器。另一方面，可根据测量时的实际情况，对测量 的q值作些修正，例如，若线圈的分布电容为cm，那 么真实的q值为q = q c + cmce （8.3-33）四、数字式q表原理构成数字式q表的方法有多种，这里仅介绍衰减振 荡法构成q表的原理，其框图如图8310所示。当脉冲电压作用于rlc串联振荡回路时，在欠阻尼 情况下，回路中的电流为 r ti = i m e2 lcosùd t= im e ùd t2qcosùd t（8.3-37）图8.310衰减振荡法测q原理图式中ùd=1 (lcr )22l为回路电流i的衰减振荡角频率，其波形如图8

15、.311所示。由图可知，电流的幅值是按指数规律衰减 的，即i = i ùd t2qem设t1和t2时刻电流i的幅值分别为ùdi1 = t1mie 2qùd和i 2= i m t2e 2qù则 i1 i 2 d ( t2 t1 )= e 2q图8.311电流i的波形对上式两边取对数，得q =ùd (t2 2 ln( i1 /t1 )i2 )（8.3-38）设由t1到t2的时间内，电流振荡n次，即t2 t1 =ntd（8.3-39）其中td= 2ð / ùd为电流i的振荡周期。将式(83-39)代入式(83-38)得q =n&#

16、240;（8.3-40）ln( i1 /i 2 )由上式可见，若选取 ln( i1 / i 2 )= ð，即i1 / i 2= 23.14 ，则q = n即q值可以通过直接计数振荡次数n求得。i1/i2值的选定，可以通过调节图8.310中的比较电压u1和u2来实现。8.4利用变换器测量阻抗设一被测阻抗zx与一标准电阻rb相串联，其电路如 图841所示，图中电流、电压均用相量表示。由于z x = rx +jx x= u&1=u&1= rbu&1(8.4-1)故u&1u& 2= rx +rbi&j x xrbu& 2/ rbu&am

17、p; 2(8.4-2)图 8.41一、电阻电压变换器法将被测电阻变换成电压，并由电压的测量确定只 霉值，其线路如图842所示。图中运算放大器为理想器件，即放大系数a ，输入阻抗 ri ，输出阻抗ro0，并且输入端虚短路(ui0)和虚断路(ii0)。图8.42电阻电压变换器对于图(a)的电路而言，运算放大器作为电压跟随器。由于运放的输入端虚短路，由图可知，运放的输 出电压uo即为电阻rb上的电压，故uo =解得srb u rx + rbu srx=uorb rb(8.4-3)由上式可知，当rb和us一定时，只霉可以通过测量相应的电压uo而求得。对于图(b)的电路而言，由于 ib= i x ,ui

18、= 0 得u s=rbrx= uorxb uor u s(8.4-4)同样，当us和rb一定时，rx可以通过测量相应的电压uo求得。二、阻抗电压变换器法采用鉴相原理的阻抗电压变换器原理图如图843所示。由于激励源为正弦信号，故图中电流、电压均用相量表示，被测阻抗z x = rx +jx x 。图8.43采用鉴相原理的阻抗电压变换器1由图可知，变换器的输出电压相量 u&即为被测阻抗zx两端的电压，故u&1 =rx +jx xrb + rx +jx x(8.4-5)rb >>rx +jx x则式(845)近似为u&1 rx u&+srbj x xrbu& s= u&1r+ u&1i(8.4-6)其中u&1r =srx u&rb(8.4-7)u&1i =j x