可微的几何意义ppt课件

1、10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义1 用用 h 和和 d 分别表示点分别表示点 Q 到直线到直线 PT 的距离的距离 和点和点 Q 到点到点 P 的距离的距离, 由于由于 图图 1 sin, hdQSP因因此此当当沿沿趋趋于于时时, ,0.hd0 PRSdhQT0d 等等同同于于当当时时，PTSP是是曲曲线线 在在点点 的的切切线线0lim0.dhd 三、可微的几何意义10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义2定义定义 3 设曲面设曲面 S 上一上一一个一个平面平面, S 上的动点上的动点 仿照这个想法仿照这个想法, 我们引我们引进曲面进曲面 S 在点在点 M 的

2、切平的切平 面的定义面的定义(参见图参见图2). MQhdxyzOS 图图 2 当当 Q 在在 S 上以任上以任意方式趋近于意方式趋近于 M 时时, 有有0lim0,dhd点点 M, 为通过点为通过点 M 的的 Q 到定点到定点 M 和到平面和到平面 的距离分别记为的距离分别记为 d 和和 h. 若若 10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义3定理定理 3 00( , )(,)zf x yP xy 函函数数在在点点可可微微0000000(,)()(,)()( ),xyzzfxyxxfxyyyo 0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy000000( , )(

3、,)()zf x yM xy zzf xy 在在点点, ,存存在在 切切平平面面 ：证证：“”00( , )(,)zf x yP xy 函函数数在在点点可可微微2200000(,),.()()zf xyxxyy 其其中中 则称则称 为曲为曲面面 S 在点在点 M的的切平面切平面, 称称 M 为为切点切点. 10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义4讨论过点讨论过点000(,)M xyz 的的平平面面 ：0000000(,)()(,)(),xyzzfxyxxfxyxy ( , , )Q x y z 平平面面由于由于 S 上动点上动点 到到的距离为的距离为 0000000220000|

4、(,)()(,)()|1(,)(,)xyxyzzfxyxxfxyyyhfxyfxy220000| ( )|,1(,)(,)xyofxyfxy 10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义5000222()()(),dxxyyzz 00hd 因因此此, ,由由，并并当当时时有有220000| ( )|10,1(,)(,)xyhhodfxyfxy M 到到 Q 的距离为的距离为 ( , )zf x y 在点在点根据定义根据定义 便知便知平面平面 即为曲面即为曲面P 的切平面的切平面10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义6000( , )(,)zf x yM xyz 若若曲曲面

5、面在在点点存存在在切切平平面面第一步第一步 设设 Q(x, y, z) 是曲面上任意一点是曲面上任意一点, 由由 Q 到这到这 个平面的距离为个平面的距离为 00022|()()|.1zzA xxB yyhAB“”0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy00022222,()()()()() .xxxyyyzzzxydxyz ，令令 00(,)xAfxy 00(,)yBfxy 10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义7QM 0.hd由切平面的定义知道由切平面的定义知道, 当当时时, 有有 因因此对于充分接近的此对于充分接近的 M 与与 Q, 有有 22|1h

6、zA xB yddAB由此则得由此则得 221|() .22dzAxByz 221,2 1AB10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义8由由于于2222|11zA xB ydABdAB 221,hdABd |zA xB y 因此因此, 想要证得当想要证得当 d 充充分分小小时时，为为一一有有界界量量. .f000(,)P xy第二步第二步 分析分析: 要证明要证明 在点在点可微可微, 事实事实 上就是需证上就是需证 ()( ).zAxByo 10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义9|:z 是有界量是有界量|abab由由第三步第三步 先证先证 可推得可推得 2211|(

7、|),22zAxByzz 故有故有 11|,22zAxBy |2 |12(|)1.zxyABAB 10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义10第四步第四步 :d 再证是有界量再证是有界量由上式进一步可得由上式进一步可得 2221|12( | 1 ).zdzzAB 00(,)P xy根据第二步的分析，这就证得根据第二步的分析，这就证得在点在点 可微可微. . 10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义11000( , )(,)zf x yM xy z 在在点点处的切平面方程为处的切平面方程为0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy过切点过切点 M 与

8、切平面垂直的直线称为曲面在点与切平面垂直的直线称为曲面在点 M 的的 由切平面方程知道，由切平面方程知道，法向量法向量为为 0000(,),(,),1),xynfxyfxy于是过切点于是过切点 M 的法线方程为的法线方程为 0000000.(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy法线法线.10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义12xyz 设设 ， ， 分分别别是是法法线线与与 轴轴、 轴轴、 轴轴正正向向的的夹夹角角，0000(,),(,),1)xynfxyfxy则则法法向向量量的的方方向向余余弦弦是是00(,)cosxfxy 00(,)cosyfxy 1cos 220000= 1+(,)(,)xyfxyfxy 其其中中10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义13所以切平面方程为所以切平面方程为 0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy 2241(2,1,4)zxy 例例 、求求曲曲面面在在点点的的切切平平面面方方程程和和.法法线线方方程程以以及及法法向向量量的的方方向向余余弦弦2xzx 解解：2yzy (2,1)4xz (2,1)2yz 44(2)2(1).zxy 即即