Jordan标准型及其应用

1、毕 业 论 文论文题目 jordan标准型及其应用学 院 专 业 数学年 级 06级姓 名 指导教师 职 称 教授（2010 年 6月）目录摘要1引言21、若尔当（jordan）标准型概念 32、若尔当（jordan）标准型的应用 2.1 jordan标准形在“求解线性微分方程组”中应用 4 2.2 jordan标准形在“计算矩阵多项式”中应用 53.小结74.参考文献85.致谢8 jordan标准型及其应用摘要: 回顾高等代数学过的jodan标准形定义，在学习解线性微分方程组、计算矩阵多项式的基础上引进用jordan标准型的这一工具进行求解，从而感受jordan标准型在代数学中的广泛应用价值

2、.summary:jodan normal form definitions, with the jordan canonical form linear differential equations, calculation of matrix polynomials.关键词: jordan标准形；微分方程；矩阵多项式；应用.keyword: jordan canonical form; equation; matrix polynomial; application.引言 在高等代数、线性代数各种教材中都有jordan标准形，我们想想学习了它在解决线性代数问题中能否给我们带来什么作用？答案

3、是能!本文先阐述jordan标准型定义，再具体通过具体实例来说明jordan标准形的广泛应用。1 若尔当（jordan）标准型概念 定义 形如为 j（，t）= t×t 的矩阵称为若尔当（jordan）块，其中是复数，由若尔当块组成的准对角矩阵为若尔当形矩阵，其一般形式如 其中ai= ki×ki 并且1 ，2， ，i中有一些可以相当。例如 ， ， 都是若尔当块，而 是一个若尔当形矩阵。 一级若尔当块是一级矩阵，因此若尔当形矩阵中包括对角矩阵。2.若尔当（jordan）标准型的应用2.1 jordan标准形在“求解线性微分方程组”中应用。 例1 解线性微分方程组 解:令x(t)

4、=, a= 则微分方程组的矩阵形式为=a. 因a的若尔当标准形可求得为:j=, 且变换矩阵p为:p=,则 p-1ap=j. 作线性变换x(t)=py(t)，其中 y(t)=（t），2（t），3（t）t，则有 =p-1= p-1 a= p-1ap y(t)=j y(t) 即= 或者=， =， =- 其一般解为=k1+k2t, =k2, =k3e-1 再由x(t)= p y(t) ，  求得原微分方程组得一般解为 其中k1,k2,k3是任意常数。 2.2jordan标准形在“计算矩阵多项式”中应用。 计算矩阵多项式 已知 acn×n和变量的多项式 f()=am+am-

5、1 m-1+a1 +a0 则称 f(a)=am a +am-1 a m-1+a1 a +a0e为矩阵a的多项式。 定理1 若a为ni阶若尔当块矩阵，即 a=ji()=ni×ni 则f(ji)= （1）证：用数学归纳法可以证明 (i)= 其中=（lk）, 而当l>k时，认为=0. 于是 对ji(i) 的矩阵多项式 f(ji)=am + am-1 + a1 +a0e 把 , , 代入上式，经过运算即得（1）式。 由定理1容易得出如下结论：推论 若a为n阶矩阵，是它的若尔当标准型，则 (1) a=pjp-1=pdiag(j1,j2, ,js)p-1 ; (2) f(a)= pdiag

6、(f(j1),f(j2), ,f(js)p-1. 例2 已知多项式 f()= 4-23+-1与矩阵a，计算f(a) .其中， a= 解： 易求a的若尔当标准型是 j= ，其中j1=（1），j2=. 且变换矩阵p为=,则可求得 p-1= 所以，由推论知，f(a)=pf(j)p-1=pdiag(f(j1),f(j2)p-1 = 其中f （）是f()在=1处的导数值. 3小结：综合上面可以知道jordan标准型在代数学中有着重要的作用，可用jordan标准形求解线性微分方程组，计算矩阵多项式等等。参考文献1万冰蓉 矩阵若当标准形的另一证明  井冈山师范学院学报  2004年第6期 2 张志旭  矩阵标准形的思想及应用  佳木斯大学学报  2006年第4期 3 王莲花 若当标准形的计算及其应用  河南教育学院学报  2001 /15 /33王品超， 高等代数新方法（上下册） 中国矿业大学出版社  2003致谢在论文的撰写过程中，舒情老