复数法讲义稻谷书屋

1、高中平面几何(叶中豪)知识要点几何变换及相似理论位似及其应用复数与几何（1） 复数的意义及运算（2） 复数与复平面上的点一一对应（3） 复数与向量（4） 定比分点（5） 重心和加权重心，三角形的特殊点（6） 面积（7） 90°旋转与正方形（8） 相似与复数乘法的几何解释（9） 三次单位根与正三角形例题和习题1（sylvester）已知p是abc所在平面上任一点。求证：，其中g是abc的重心。2（lami定理）已知p是abc所在平面上任一点，p点对于abc的重心坐标为。求证：。3（gergonne）(1)四边形的两组对边中点连线及两条对角的中点连线共点；（2）六边形相间的两组中点所构成

2、的三角形的重心重合。4（von aubel）以任意四边形的各边向形外作正方形，则相对两正方形的中心连线互相垂直。5以abc的ab、ac两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形abd和ace，使abdace90°。求证线段de的中点的位置与顶点a的位置无关。6已知abc，在给定线段mn的同侧作三个彼此相似的三角形，使得 amnnbmmn cabc。求证：abcabc。7（1）如图，在已知abc的周围作三个相似三角形：dbcecafab。求证：afde是平行四边形。（2）如图，在四边形abcd周围作四个相似三角形：eabfcbgcdhad。求证：efgh是平行四边形。8在abc的外围作三个相

3、似三角形：dcbeacfba。求证：def的重心是定点。9若在四边形abcd内存在一点p，使得pab、pbc都是以p为直角顶点的等腰直角三角形。求证：必存在另一点q，使得qbc、qda也都是以q为直角顶点的等腰直角三角形。10（上海市高中竞赛）设abc是锐角三角形。在abc外分别作等腰直角三角形： bcd、abe、caf，这三个三角形中，bdc、bae、cfa是直角。又在四边形bcfe形外作等腰直角三角形efg，efg是直角。求证：（1）gaad；（2）gad135°。11（第17届imo）已知任意abc，在其外部作abr、bcp、caq，使得pbccaq45°，bcpqc

4、a30°，rbarab15°。求证：（1）qrp90°；（2）qrrp。12在复平面上，abc是正三角形的充要条件：（1）或；（2）；（3）。13（拿破仑定理）（1）在任意三角形周围同时向外或向内作正三角形，则三个正三角形的中心仍构成正三角形；（2）外、内两正三角形的面积差等于原三角形的面积。14（1941年匈牙利数学竞赛题）六边形abcdef内接于一圆，它的边ab，cd，ef等于圆的半径。求证：六边形abcdef的其它三边的中点是正三角形的顶点。15已知四边形abcd中，b=d=30°，自a作ambc于m，自a作ancd于n，且l是bd中点。求证：lm

5、n是正三角形。16如图，已知abc是正三角形，d是形内任意一点，作等腰rtbde和等腰rtcdf，并以ef为底向下方作底角为30°的等腰三角形gef。求证：a、g、d三点共线。17设d是abc内的一点，满足dacdca30°，dba60°，e是bc边的中点，f是ac边的三等分点，满足af2fc求证：deef。（2007年女子竞赛）18在abc的外围作三个正三角形：dbc、eca、fab。若def是正三角形，求证abc也是正三角形。19在abc的外围作三个相似三角形：dcbeacfba。若def是正三角形，求证：要么abc是正三角形，要么dcb、eac、fba同时是以120°为顶角的等腰三角形。