20202021高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大小值与导数优化练习新人教A版选修1经典实用

1、3.3.3 函数的最大（小）值与导数课时作业 a组基础巩固1函数f(x)xex，x0,4的最大值是()a0 b. c. d.解析：f(x)，当x0,1)时，f(x)>0，f(x)是增函数；当x(1,2时，f(x)<0，f(x)是减函数f(x)的最大值为f(1).答案：b2已知函数f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值为()a37 b29 c5 d11解析：f(x)6x212x6x(x2)，由f(x)0得x0或2.f(0)m，f(2)8m，f(2)40m，显然f(0)>f(2)>f(2)，m3，最小值为f(2)37.答案：a3

2、函数f(x)x33x(|x|<1)()a有最大值，但无最小值b有最大值，也有最小值c无最大值，但有最小值d既无最大值，也无最小值解析：f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)<0，所以f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值答案：d4已知函数f(x)ax3c，且f(1)6，函数在1,2上的最大值为20，则c的值为()a1 b4 c1 d0解析：f(x)3ax2，f(1)3a6，a2.当x1,2时，f(x)6x2>0，即f(x)在1,2上是增函数，f(x)maxf(2)2×23c20，c4.答案：b5函数f(x)x33x在区间(a2

3、12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是()a(1，) b(1,2)c(1,2 d(1,4)解析：f(x)3x23，令f(x)0，得x±1.x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小极大f(x)在r上的极小值f(1)2，极大值f(1)2.令x33x2，即x33x20，(x1)2(x2)0，x1或x2.f(x)在区间(a212，a)上有最小值，a2121a2，解得1a2.答案：c6函数y的最大值为_解析：函数的定义域为x0.y，令y0得xe，当0xe时，f(x)0，当xe时，f(x)0，y最大 .答案：7当x1,1时，函数f(x)的值域是_解析：f(x).令f(x)0得

4、x0或x2(舍)，又f(0)0，f(1)e，f(1)，故f(x)在(1x1)的值域为0，e答案：0，e8设函数f(x)ax33x1(xr)，若对于任意的x(0,1都有f(x)0成立，则实数a的取值范围为_解析：因为x(0,1，f(x)0可化为a.设g(x).则g(x).令g(x)0，得x.当0<x<时，g(x)>0；当<x1时，g(x)<0.所以g(x)在(0,1上有极大值g()4，它也是最大值，所以a4.答案：4，)9设f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0<a<2时，f(x)在1,4上的最小值为，求

5、f(x)在该区间上的最大值解析：(1)f(x)x2x2a22a.当x时，f(x)的最大值为f2a.令2a>0，得a>.所以当a>时，f(x)在上存在单调递增区间，即f(x)在上存在单调递增区间时，a的取值范围为.(2)令f(x)0，得两根x1，x2，所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当0<a<2时，有x1<1<x2<4，所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2)，又f(4)f(1)6a<0，即f(4)<f(1)所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)8a，得a1，x22，从而f(x)在1,4上的

6、最大值为f(2). 10已知f(x)ln xxa，x(0,2(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)<a23对任意的x(0,2恒成立，求实数a的取值范围解析：(1)f(x)1，令f(x)0，x1.当0<x<1时，f(x)>0，f(x)单调递增；当1<x2时，f(x)<0，f(x)单调递减f(x)的单调增区间为(0,1)，f(x)的单调减区间为(1,2(2)由(1)知x1时，f(x)取得最大值，即f(x)maxa1.f(x)<a23对任意的x(0,2恒成立，a1<a23，解得a>2或a<1.a的取值范围为(，1)(2，)b组能力提升

7、1设函数fn(x)n2x2(1x)n(n为正整数)，则fn(x)在0,1上的最大值为()a0 b1c1 d4()n2解析：因为fn(x)2xn2(1x)nn3x2(1x)n1n2x(1x)n12(1x)nx，令fn(x)0，得x10，x21，x3，易知fn(x)在x时取得最大值，最大值为fn()n2()2(1)n4()n2.答案：d2函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()a0a<1 b0<a<1c1<a<1 d0<a<解析：f(x)3x23a，令f(x)0，可得ax2，又x(0,1)，0<a<1，故选b.答案：

8、b3函数f(x)x2ln x的最小值为_解析：由得x>1，由得0<x<1.f(x)在x1时取最小值f(1)ln 1.答案：4设直线xt与函数f(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点m，n，则当|mn|达到最小时t的值为_解析：|mn|的最小值，即函数h(x)x2ln x的最小值，h(x)2x，显然x是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t.答案：5已知函数f(x)ln xax(ar)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在1,2上的最小值解析：(1)f(x)a(x>0)，当a0时，f(x)a>0，即函数f(

9、x)的单调增区间为(0，)当a>0时，令f(x)a0，可得x，当0<x<时，f(x)>0；当x>时，f(x)<0，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，f(x)的最小值是f(2)ln 22a.当2，即0<a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，f(x)的最小值是f(1)a.当1<<2，即<a<1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a.当<a<ln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a<1时，最小值为f(2)ln 22a.综上可知，当0<a<ln 2时，函数f(x)的最小值是a；当aln 2时，函数f(x)的最小值是ln 22a.6设函数f(x)ax(1a2)x2，其中a0，区间x|f(x)0(1)求i的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2)给定常数k(0,1)，当1ka1k时，求i长度的最小值解：(1)因为方程ax(1a2)x20(a0)有两个实根x10，x2，故f(x)0的解集为x|x1xx2因此区间i(0，)，区间i的长度为.(2)设d(a)，则d(a)(a0)令d(a)0，得a1.由于0k1，故当1ka