量子力学与原子物理试题答案_第1页
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1、 量子力学与原子物理试题答案题号一二三四五总分学院： 班级： 学号： 姓名： 得分可能会有用的公式：薛定谔方程：一维定态薛定谔方程：动量算符：高斯积分：一。30分一维无限深方势阱：质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为：1。10分求解能量本征值和归一化的本征函数；2。5分若已知时，该粒子状态为：，求时刻该粒子的波函数；3。5分求时刻测量到粒子的能量分别为和的几率是多少？4。10分求时刻粒子的平均能量和平均位置。解：1）10分2）5分时刻的波函数：3）5分 时刻测量到粒子的能量为的几率是：时刻测量到粒子的能量为的几率是：4）10分平均能量：平均位置：二。30分一维线性谐振子：质量为的

2、粒子在一维线性谐振子势：中运动。按占有数表象，哈密顿可写为：。这里是湮灭算符，是产生算符：已知一维线性谐振子基态波函数为：1。10分利用产生算符性质：，求线性谐振子第一激发态在坐标表象下的波函数：；（）2。10分假设粒子处在基态，突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为，粒子新的基态能是多少？新的基态波函数是什么？3。10分假设这时粒子波函数仍然保持不变（），此时测量粒子能量，发现粒子能量取新的基态能的几率是多少？解：1）10分利用：，其中：2）10分新基态能：新基态波函数：3）10分测量粒子能量取新基态能的几率：三。40分两电子波函数：考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部

3、分坐标时可以是对称的或是反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自旋部分）时必须是反对称的。1。15分假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符定义为：。求：和的本征值；2。15分假设空间部分波函数是对称的，求对应自旋部分波函数，和的本征值；3。10分假设两电子系统哈密顿量为：，分别针对（1）（2）两种情形，求系统的能量。解：1）15分自旋三重态（spin triplet）空间部分波函数是反对称的，自旋部分应对称：对应总自旋平方本征值为：对应总自旋第三分量本征值分别为：2）15分自旋单态（spin singlet）空间部分波函数是对称的，自旋部分应反对称：对应总自旋平方本征值为：0对应总自旋第三分量

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