根与系数地关系韦达定理练习题

1、实用标准一元二次方程根与系数的关系练习题一 选择题（共14小题）1下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）A x2- x+2=0 B x2- 2x+2=0|C. x2 - x- 2=0|D. 2x2- 4x+1=02小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2, - 3,而小华看错常数项,A .x - 3x+6=0B .x - 3x- 6=0C .x 3x - 6=0D .x +3x+6=0解错两根为-2, 5，那么原方程为（）23. （ 2011?锦江区模拟）若方程 x - 3x - 2=0的两实根为xi、乂2,则（xi+2） （X2+2）的值为（）A. - 4B .

2、6|C. 8D. 124. （2007?泰安）若xi, X2是方程x2- 2x - 4=0的两个不相等的实数根，则2x/-2xi+x22+3的值是（）A. 19B . 15|C. 11|D. 35. （ 2006?贺州）已知a, b是一元二次方程 x2*4x - 3=0的两个实数根，则 玄2 - ab+4a的值是（）A . 6B . 0|C .7D . - 16. （ 1997?天津）若一元二次方程 x2- ax- 2a=0的两根之和为4a-3,则两根之积为（）A . 2B . - 2|C .- 6 或2|D . 6 或-227. 已知x的方程x +mx+n=0的一个根是另一个根的 3倍.贝&

3、quot;（）A . 3n 2=16m2B . 3m2=16 n|c . m=3 n|d . n=3m22 2 2& a、b 是方程 x + （m - 5） x+7=0 的两个根，则（a +ma+7） （b +mb+7 ）=（）A . 365B . 245|c . 210|d . 17529.在斜边 AB为5的Rt ABC中，/ C=90°两条直角边 a、b是关于x的方程x -（ m- 1） x+m+4=0 的两个实数根，则 m的值为（）A. - 4B . 4|C . 8 或-4|D . 82 210 .设m、n是方程x +x - 2012=0的两个实数根，则 m +2m+n

4、的值为（）A . 2008B . 2009|C . 2010|D . 201111 .设X1、X2是二次方程x +x - 3=0的两个根，那么 x1 - 4x2 +19的值等于（）A . - 4B . 8|C . 6D . 02 2 212 . m, n 是方程 x2- 2008x+2009=0 的两根，则（m2- 2007m+2009） （ n2 - 2007n+2009）的值是（）A . 2007B . 2008|C . 2009|D . 201013 .已知x1、X2是一兀二次方程 x +x - 1=0两个实数根，则（x1 - X1- 1） （ X2 - X2 - 1 ）的值为（）A .

5、 0B . 4|c . - 1|d . - 414 .设m, n是方程x2- x- 2012=0的两个实数根，则 m2+ n的值为（）A . 1006B . 2011|C . 2012|D . 2013二.填空题（共5小题）15 .若关于x的方程x +2mx+m +3m - 2=0有两个实数根 X1、X2,则x（x2+x1 ）+X2的最小值为 .2口.16若关于 X的一元二次方程 X +X - 3=0的两根为 X1, X2,贝V 2X1+2X2+X1X2= _ .2 2 2 217 .已知关于x的方程x - 2ax+a - 2a+2=0的两个实数根X1 ,X2,满足X1 +x2 =2,则a的值

6、是 _.2 2 一18 . 一元二次方程 2x +3x -仁0和x - 5x+7=0所有实数根的和为 .219 .已知m、n是关于x的一元二次方程 x - 3x+a=0的两个解，若（m- 1 ）（n- 1） =- 6,贝V a的值为 三.解答题（共11小题）文档大全20.已知关于x的一元二次方程 x25.已知关于x的方程x + (2k- 1) x - 2k=0的两个实数根x1、X2满足X1 - X2=2,试求k的值.+ (2m - 3) x+m2=0的两个不相等的实数根a B满足丄卜丄韵，求ma p丄的值.221.是否存在实数 m,使关于x的方程2x +mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于9

7、QJ若存在,求出m;若不存在，说明理由.22. 已知关于x的方程kx2- 2x+3=0有两个不相等的实数根X2,则当k为何值时，方程两根之比为1 :3?223. 已知斜边为 5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x -( 2m - 1) x+4 (m - 1) =0的两个根,求m的值.2 224. 实数k为何值时，方程 x + (2k - 1) x+1+k =0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根.26.已知xi、X2是方程x30.已知X1、X2是一元二次方程 2x - 2x+m+1=0的两个实根.(1) 求实数m的取值范围；(2) 如果m满足不等式7+4x1x2>X12+x2

8、2，且m为整数.求 m的值.- kx+二k ( k+4) =0的两个根，且满足(xi - 1) (X2- 1)='，求k的值.44227.关于x的一元二次方程 x +2x+k+仁0的实数解是xi和X2.(1 )求k的取值范围；(2)如果Xi+X2- Xix2<- 1且k为整数，求k的值._228.已知X1, X2是一元二次方程(a- 6) x +2ax+a=0的两个实数根.(1) 是否存在实数a,使-X1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由;(2) 求使(X1+1) (X2+1 )为负整数的实数 a的整数值.229.已知一元二次方程 x - 2x+

9、m=0 .(1) 若方程有两个实数根，求m的范围；(2) 若方程的两个实数根为 X1, X2，且X1+3x2=3，求m的值.15一元二次方程要与系数的关系练习题参考答案与试题解析一 选择题（共14小题）1下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）D. 2x2- 4x+1=02 2 2A x - x+2=0 B x - 2x+2=0 C. x - x 2=0考点：根与系数的关系.专题：方程思想.分析：利用一元二次方程的根与系 数的关系 x1+x2=-上对以a下选项进行一 一验证并作出 正确的选择.解答：解：A、Txi+x2=1 ；故 本选项错误；B、. =4 8= -4 V0,所以本 方程无根；故

10、本 选项错误；C、T X1+X2=1； 故本选项错误；D、 x1+x2=2 ； 故本选项正确； 故选D .点评：本题考查了一元二次方程根 与系数的关 系解答该题 时，需注意，一一 元二次方程的 根与系数的关 系是在原方程 有实数解的情 况下成立的.2小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2, - 3,而小华看错常数项,解错两根为-2, 5，那么原方程为（）OOQ |°A x - 3x+6=0 B x - 3x - 6=0 C x 3x - 6=0 D. x +3x+6=0考点：根与系数的关系.分析：利用根与系数 的关系求解即 可.解答：解:小明看错一 次项系

11、数，解得 两根为2，- 3, 两根之积正确； 小华看错常数 项，解错两根为 -2, 5，两根之 和正确， 故设这个一元二次方程的两 根是a伏可得：a ?甲-6, a+ 沪 -3,那么以a、B为 两根的一元二 次方程就是x2-3x - 6=0 ,故选：B.点评：此题主要考查了根与系数的关系，若XI、X2是方程2 ”ax +bx+c=O 的两根，则有b x1+x2= , acXlX2= 23. （ 2011?锦江区模拟）若方程 x - 3x - 2=0的两实根为xi、乂2,则（xi+2） （X2+2）的值为（）A. - 4B 6C. 8D. 12考点：根与系数的关 系.分析：根据（xi+2）解答:

12、点评:4. ( 2007?泰( )A. 19考点：(X2+2)=X1X2+2X1+2X2+ 4=xlx2+2(X1+X2) +4 ,根据一元二次 方程根与系数 的关系，即两根 的和与积，代入 数值计算即可.解：XI、X2 是 方程x2 - 3x - 2=0的两个实数 根.二X1+X2=3, X1?X2= - 2.又( X1+2)(X2+2)=X1x2+2x1+2x2+ 4=X1X2+2(X1+X2) +4 . 将 X1+x2=3、 X1?X2= - 2 代 入，得(X1+2) (X2+2) =x1x2+2x1+2x2+ 4=X1X2+2(X1+X2) +4=(-2)+2X3+4=8 .故选C

13、将根与系数的 关系与代数式 变形相结合解 题是一种经常 使用的解题方法.2 2 2)若X1, X2是方程x - 2x- 4=0的两个不相等的实数根，则代数式2X1 - 2X1+X2 +3的值是B . 15C. 11D. 3根与系数的关系；一兀二次方程的解.专题：压轴题.分析：欲求2x12 -22X1+X2 +3 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入 数值计算即可.解答：解： Xi, X2是方程x2- 2x -4=0的两个不相 等的实数根.xi2 - 2xi=4,X1X2= - 4, X1+X2=2. 2x12-22X1+X2 +32=xi -2 22xi+xi +X2 +3=

14、xi2 - 2xi+（X1+x2）2 -2xiX2+3=4+4+8+3=19 .故选A .点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方a2 - ab+4a 的值是（）法.25. （ 2006?贺州）已知a, b是一元二次方程 x +4x - 3=0的两个实数根，则A. 6B . 0C. 7ID. - 1考点：根与系数的关 系； 元二次方 程的解.专题：压轴题.分析：由a, b是一兀 二次方程x +4x-3=0的两个实 数根，可以得到 如下四个等式：2a +4a- 3=0,b +4b - 3=0 , a+b= - 4, ab=- 3;再根据问题 的需要，灵活变 形.解答:解

15、：把a代入方程可得2a +4a=3，根据根与系数的关系可得ab= - 3.点评:ab+4a=a +4a- ab=3-( - 3) =6.故选A本题考查了元二次方程根 与系数的关 系.解此类题目 要利用解的定 义找一个关于 a、b的相等关 系，再根据根与 系数的关系求 出ab的值，把 所求的代数式 化成已知条件 的形式，代入数 值计算即可.一 元二次方程2ax +bx+c=O（a旳）的根与 系数的关系为：bXl+X2=aX1?X2=26. （ 1997?天津）若一元二次方程 x - ax- 2a=0的两根之和为4a- 3,则两根之积为（）C.D. 6 或- 2考点：专题：根与系数的关系.方程思想

16、.分析：由两根之和的 值建立关于a的 方程，求出a的 值后，再根据一 元二次方程根 与系数的关系 求两根之积.解答：解；由题意知xi+X2=a=4a - 3, a=1,-xix2= - 2a=-2.故选B .点评：本题考查了一 元二次方程根 与系数的关系， 在列方程时要 注意各系数的 数值与正负，避 免出现错误.I（）D. n=3m227.已知x的方程x +mx+ n=0的一个根是另一个根的 3倍.A . 3n =l6mB . 3m =16nC. m=3n考点：根与系数的关系.分析：设方程的一个 根为a,则另一 个根为3a,然后 利用根与系数 的关系得到两 根与m、n之间 的关系，整理即 可得

17、到正确的 答案；解答:解：方程x2+mx+ n=0 的一个根是另 个根的3倍，设一根为a, 则另一根为3a, 由根与系数的 关系，得：a?3a=n，a+3a= - m, 整理得：23m =16 n, 故选B .点评：本题考查了根 与系数的关系， 解题的关键是 熟练记忆根与 系数的关系，难 度不大.2 2 28 a、b 是方程 x + (m - 5) x+7=0 的两个根，则(a+ma+7) (b +mb+7 )=()A .365B . 245C. 210|D. 175考点：根与系数的关系；一兀次方 程的解.专题：计算题.分析：根据一元二次方程的解的意 义，知a、b满 足方程x2+( m -5)

18、 x+7=0, 又由韦达定理 知a?b=7;所 以，根据 来求代数式 2(a +ma+7)2(b +mb+7 )的 值，并作出选择 即可.解答：解：Ta、b是方程 x2+ ( m - 5) x+7=0的两个 根， a、b满足方程2x + (m - 5) x+7=0 ,.2a +ma+7 - 5a=0,即2a +ma+7=5a;2b +mb+7 - 5b=0,即2b +mb+7=5b ;又由韦达定理， 知a?b=7;/ 2 ( a +ma+7)2(b +mb+7) =25a?b=25 >7=1 75.故选D .点评：本题综合考查了一元二次方 程的解、根与系 数的关系.求代 数式(a2+ma

19、+7)2(b +mb+7 )的 值时，采用了根 与系数的关系 与代数式变形 相结合的解题 方法.29.在斜边 AB为5的Rt ABC中，/ C=90°两条直角边 a、b是关于x的方程x -( m- 1) x+m+4=0 的两个实数根，则 m的值为()A. - 4B. 4C. 8 或-4|D. 8考点：根与系数的关系；勾股定理.分析：根据勾股定理求的 a2+b2=25,22即 a +b = (a+b)2-2ab,然后 根据根与系数 的关系求的a+b=m -1 ab=m+4;最后由联立方程组，即可求 得m的值.解答：解：斜边AB为5的RtA ABC 中，/ C=90 °两条直角

20、边a、b,2 2二a +b =25,2 2 又/ a +b =2(a+b)- 2ab,a+b) 2 -2ab=25,a、b是关于x的方程x2-( m -1) x+m+4=0 的两个实数根， a+b=m - 1,ab=m+4, 由，解 得m= - 4,或 m=8 ;当m= - 4时，ab=0, a=0 或 b=0, (不合题意) m=8; 故选D .点评：本题综合考查了根与系数的 关系、勾股定理 的应用.解答此 题时，需注意作 为三角形的两 边a、b均不为 零这一条件.2 210.设m、n是方程x +x - 2012=0的两个实数根，则 m +2m+n的值为（）A. 2008B . 2009C.

21、 2010|D. 2011考点：根与系数的关 系； 元次方 程的解.专题：计算题.分析：由于m、n是方程 x2+x -2012=0的两个实数根，根据根 与系数的关系可以得到m+n=-1,并且 m2+m解答:点评:-2012=0,然后 把m +2m+n可 以变为 m +m+m+n，把 前面的值代入 即可求出结果 解：T m、n是 方程x2+x - 2012=0的两个 实数根，/ m+n= 1, 并且m2+m - 2012=0,2二 m +m=2011 ,2 2 m +2m+n=m +m+m+n=2012 -仁2011 故选D 此题主要考查 了根与系数的 关系，将根与系 数的关系与代 数式变形相结

22、 合解题是一种 经常使用的解 题方法.11设A 考点：专题：分析：解答:232X1、X2是二次方程x +x - 3=0的两个根，那么 X1 - 4x2 +19的值等于（）4B. 8C. 6|D. 0根与系数的关系.计算题.首先利用根的定义使多项式降次，对代数式进行化简，然后根据根与系数的关系代入计算.解：由题意有2X1 +X1 - 3=0,2X2 +X2- 3=0,即 X12=3 - X1,192 x2 =3 - X2, 所以X13-24x2 +19=xi (3 - xi) - 4 (3 - X2) +19=3xi -2xi +4x2+7=3xi -( 3-xi) +4x2+7=4 (xi+x

23、2) +4,又根据根与系 数的关系知道xi+x2= - i ,所以原式=4X(-i) +4=0 . 故选D .点评：本题考查根与系数的关系和 代数式的化简.求出Xi、X2的值再代入计 算，则计算繁 难，解题的关键 是利用根的定 义及变形，使多 项式降次，如2xi =3 - xi,2 X2 =3 - X2.2 2 2i2. m,n 是方程 x2 - 2008x+2009=0 的两根，则代数式(m2 - 2007m+2009) (n2- 2007n+2009)的值是()A. 2007B . 2008C. 2009|d. 20i0考点：根与系数的关系；一兀次方程的解.分析：首先根据方程的解的定义，得

24、2m -2008m+2009=02,n -2008n+2009=0,则有m2-2007m=m -22009, n -解答:点评:2007n=n -2009,再根据根与系数的关系，得 mn=2009 ,进行求解.解：T m, n是方程x2 - 2008x+2009=0 的两根, 2008m+2009=02,n 2008n+2009=0, mn=2009./( m2 - 2007m+2009)(n2-2007n+2009)=(m -2009+2009) (n-2009+2009)=mn=2009 . 故选C.此题综合运用 了方程的解的 定义和根与系 数的关系._ 2 2 213.已知XI、X2是一

25、元二次方程 x +x - 1=0两个实数根，则(X1 - X1- 1) ( X2 - X2 - 1 )的值为(A. 0B . 4C. - 1D. - 4考点：根与系数的关 系.专题：计算题.分析：根据一元二次方程的解的定义，将X1、X2 分别代入原方 程，求得X12=-2X1+1、 X2 =-X2+1 ；然后根据根与系数的关系求得X1X2=-1；最后将其代 入所求的代数 式求值即可.解答：解：T XI、X2是一元二次方程2x +x - 1=0 两个 实数根，2xi +xi - 1=0, 即 xi2= - x1 + 1 ； X22+X2 - 1=0 ,即2X2 =- X2+1 ； 又根据韦达定

26、理知 X1?X2= - 12 ( X1 - X1 - 1 ) (X22 - X2 - 1 )=-2x1? (- 2x2)=4X1?X2= - 4； 故选D .点评：此题主要考查了根与系数的 关系，将根与系 数的关系与代 数式变形相结 合解题是一种 经常使用的解 题方法.2 214设m, n是方程x2- x- 2012=0的两个实数根，则 m2+ n的值为()A. 1006B . 2011C. 2012|D. 2013考点：根与系数的关系；一兀二次方 程的解.分析：利用一元二次方程解的定义， 将x=m代入已 知方程求得2 _m =m+2012;然后根据根与系 数的关系知m+n=1 ;最后将m2、

27、m+n的值代入所求的代数 式求值即可.解答：解：T m, n是方程X2 - x -2012=0的两个 实数根，2 / m - m -2012=0,即2m =m+2012;又由韦达定理 知，m+n=1 ,2m +n=m+n+2 012=1+2012=20 13;故选D .点评：本题考查了根与系数的关系、 一元二次方程 的解.正确理解 一元二次方程 的解的定义是 解题的关键.二填空题（共5小题）15. （2014?广州）若关于 x的方程x +2mx+m +3m - 2=0有两个实数根 X1、X2,则（X2+X1）+X2的最小 值为 .-4考点：根与系数的关 系；二次函数的 最值.专题：判别式法.分

28、析：由题意可得2 =b - 4ac%, 然后根据不等 式的最小值计 算即可得到结 论.解答：解：由题意知， 方程2 2x +2mx+m +3m-2=0有两个实 数根，则厶=b2-24ac=4m - 42(m +3m - 2) =8 - 12m 为， m < ,3TX1 ( X2+X1)2+X22=(X2+X1)-X1X22=(-2m)-(m +3m - 2)22=3( m -=3m - 3m+2 m+丄- 4丄)+24=3( m- +4 ；当m=时，有2最小值'；4丄22 3- m=成立；2最小值为一；故答案为：4点评:本题考查了一 元二次方程根 与系数关系，考 查了一元二次 不

29、等式的最值 问题.总结一元二次 方程根的情况 与判别式的 关系：(1) >0?方 程有两个不相 等的实数根；(2) =0?方 程有两个相等的实数根；(3) < 0?方 程没有实数根.2厂r16. (2013?江阴市一模)若关于 x的一元二次方程 x +x - 3=0的两根为xi, x?,则2x+2x2+x 1X2= 5考点：分析:根与系数的关系.根据根与系数的关系列式计 算即可求出X1+X2 与 Xi?X2 的值，再整体代 入即可求解.解答:解：根据根与系51数的关系可得，X1?X2= - 1 ,X1+X2= - 23.则2x1+2x2+x1x2=2 (X1+x2)+X1x2= -

30、2 - 3= - 5.故答案为：-5.点评:本题主要考查了一元二次方 程的解和根与 系数的关系等 知识，在利用根 与系数的关系X1+X2=bX1?X2=时，要 注意等式中的a、b、c所表示 的含义.2 2 2 217.已知关于x的方程x - 2ax+a - 2a+2=0的两个实数根 X1, X2,满足X1 +x2 =2，贝U a的值是 1考点：根与系数的关系；根的判别 式.分析:先根据根与系数的关系，根据解答:点评:2 2X1 +X2 =(X1+X2)2 2X1X2,即可得到 关于a的方程， 求出a的值. 解：根据一元二 次方程的根与 系数的关系知： X1+X2=2a,2X1X2=a 2a+2

31、.2 2X1 +X2 =(X1+X2)2 22x1x2= (2a)2-2 (a - 2a+2)2=2a +4a - 4=2 .2解 a +2a- 3=0, 得 a1= - 3, a2=1.又方程有两实 数根，羽2 2 即(2a)- 4( a-2a+2)为. 解得a.a= 3 舍去. a=1.应用了根与系 数的关系得到 方程两根的和 与两根的积，根 据两根的平方 和可以用两根 的和与两根的 积表示，即可把 求a的值的问题 转化为方程求 解的问题.18.-考点：专题： 分析：22一V二次方程2X +3X -1=0和X - 5X+7=0所有实数根的和为根与系数的关 系.计算题.根据根与系数解答:点评

32、:的关系可知，两 根之和等于- 上，两根之积等a于，由两个一a元二次方程分 别找出a, b和c 的值，计算出两 根之和，然后再 把所有的根相 加即可求出所 求的值.2解：由2x +3x-仁0, 得到：a=2, b=3 , c= - 1,/ b2-4ac=9+8=17 >0,即方程有两 个不等的实数 根，设两根分别为X1 和 X2,则 Xi+X2=-；:2由 x - 5x+7=0 , 找出 a=1, b=- 5, c=7,2/ b - 4ac=25 -28=- 3v 0,此方程没有 实数根.综上，两方程所 有的实数根的3和为-一.2故答案为：-；此题考查了一 元二次方程的 根与系数的关 系

33、，是一道基础 题.学生必须掌19.已知4.考点：分析：握利用根与系数关系的前提是根的判别式大于等于0即方 程有实数根.2m、n是关于x的一元二次方程 x - 3x+a=0的两个解，若(m- 1) (n- 1) = - 6,则a的值为_-解答:点评:根与系数的关系.由m、n是关于 x的一元二次方 程 x - 3x+a=0 的两个解，得出 m+n=3 , mn=a, 整理(m - 1) ( n -1) = - 6，整 体代入求得a的 数值即可.解：T m、n是 关于x的一元二 次方程x2- 3x+a=0的两个 解，/ m+n=3 ,mn=a,( m- 1) (n -1) = - 6,/ mn (

34、m+n) +1= - 6 即 a- 3+1= - 6 解得a= - 4. 故答案为：-4. 此题考查了一 元二次方程2ax +bx+c=0(a旳)的根与 系数的关系：若 方程的两根为 x1 ,X2，贝U X1+x2= -,X1?X2= .aa三.解答题（共11小题）2 220. （2004?重庆）已知关于 x的一元二次方程 x+ （2m - 3） x+m =0的两个不相等的实数根 1,求m的值.a、3满足考点：分析:解答:点评:根与系数的关 系；解一元二次 方程-因式分解 法；根的判别 式.首先根据根的 判别式求出m 的取值范围，利 用根与系数的 关系可以求得 方程的根的和 与积，将-转化为关

35、于m的方 程，求出m的值 并检验.解：由判别式大 于零，得（2m- 3） 22-4m > 0,解得mv ；.4- 即cTp-1二 a+ 护 a0又 a+ 3= -（ 2m2-3）, a =m .代入上式得3 -22m=m .解之得m仁-3,m2=1 .3T m2=1>，故舍去. m= - 3.本题主要考查一兀二次方程 根的判别式，根 与系数的关系的综合运用.29Q21. （1998?内江）是否存在实数m，使关于x的方程2x +mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于J若存在，求出m ;若不存在，说明理由.考点：分析:根与系数的关 系；根的判别 式.根据根与系数的关系，两实根 的平方的

36、倒数 和2(k + x2)- 2瓦迅 异-20解答:即可确定m的 取值情况.解：设原方程的 两根为XI、X2, 则有：x1+k225xry2=21_2z22(b + 切)-2x龙g m? -201129点评:22.已知关于3?考点：分析：解答:24 >2 >5=m 40=2(±7) 2-40=9> 0存在实数±使关于原方程 的两实根的平 方的倒数和等 于山.25利用根与系数 的关系和根的 判别式来解 决.容易出现的 错误是忽视所 求的m的值是 否满足判别式.x的方程kx2- 2x+3=0有两个不相等的实数根xi、X2,则当k为何值时，方程两根之比为1 :根

37、与系数的关系.利用一元二次 方程根与系数 的关系可得：丄 23引+切兀,xL，不妨设xi：x2=1 : 3,则可 得X2=3x1 ,分别 代入两个式子， 即可求出k的 值，再利用一元 二次方程根的 判别式进行取 舍即可.解：由根与系数的关系可得：丄 23引+切苍,幻乜二匚不妨设X1：x2=1 : 3,则可得 X2=3x1 ,分别代入上面两个式子，消去X1和X2，整理得：4k2-k=0,解得k=0或k=当k=0时，显然不合题意，当k=叩寸，其判4别式 =1为，所以当k=叩寸，4方程两根之比为 1: 3.点评:本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系得到关

38、于k的方程，注意检验是否满足判别式大于0.23 已知斜边为 求m的值.考点：分析：2根与系数的关系；勾股定理.5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x -( 2m - 1) x+4 (m - 1) =0的两个根,先利用一兀二 次方程根与系 数的关系得： a+b=2m 1, ab=4 (m 1), 再由勾股定理 可得 a2+b2=52, 即(a+b) 2 - 2ab=25,把上面两个式子代入 可得关于m的 方程，解出m的 值，再利用一元 二次方程根的 判别式满足大 于或等于0及实 际问题对所求 m的值进行取 舍即可.解答:解：由一元二次方 程根与系数的 关系得：a+b=2m -1, ab=4

39、 (m -1),再由勾股定理2 2 2 可得a +b =5 , 即(a+b) 2 - 2ab=25,把上面两个式 子代入可得关 于m的方程：2 (2m - 1)- 8点评:(m - 1) =25 , 整理可得：m2 -3m - 4=0，解 得m=4或m=- 1, 当m=4或m=- 1一元二次方程 的判别式都大 于0,但当m= -1 时，ab= - 8, 不合题意(a, b 为三角形的边 长，所以不能为 负数), 所以m=4. 本题主要考查 一元二次方程 根与系数的关 系及勾股定理 的应用，解题的24.实数考点：分析：解答：关键是得出关于m的方程进 行求解，容易忽 略实际问题所 满足的条件而 导

40、致错误.2 2k为何值时，方程 x + (2k - 1) x+1+k =0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根.根与系数的关 系；根的判别 式.利用一元二次方程根与系数的关系表示出两实根的平方 和，得到一个关 于k的二次函 数，求出取得最 小值时k的值， 再利用根的判 别式进行验证. 解：设方程的两 根分别为xi和 X2, 由一兀二次 方程根与系数 的关系可得：s! + X2= _ (2k _ 1) , s =令 y=_ :;,则2=(2k- 1)- 22 2(1+k ) =2k -y=4k- 1=2 ( k - 1)其为开口向上 的二次函数，当 k=1时，有最小 值，点评:25.已知关

41、于考点：分析：但当k=1时，一元二次方程的判别式为=-7V 0,所以没有满足为的k的值，所以该题目无解.本题主要考查地一元二次方程根与系数的关系，解题时容易忽略还需要满足一元二次方程有实数根.2 、x的方程x+ (2k - 1) x - 2k=0的两个实数根 xi、X2满足xi - X2=2，试求k的值.解答:根与系数的关 系；解一元二次 方程-配方法；根 的判别式.先根据根与系 数的关系，可求 出 Xi+X2, Xi?X2 的值，再结合xi -X2=2，可求出 k的值，再利用 根的判别式，可 求出k的取值范 围，从而确定k 的值.解：根据题意得bX1+X2=-=-(2k - 1),xi?x2

42、=E= - 2k,a又Xi - X2=2, ( Xi - X2) 2 2=2 ,( Xi+X2)2 -4xix2=4,2( 2k - i) 2-4 (- 2k) =4 ,2( 2k+1 ) =4 ,k1=丄，k2=232又 = ( 2k-21)- 4X1X(-2k) = (2k+1) 2,方程有两个不 等的实数根，2 (2k+1) 2>0, k工-丄，2- k=, k2=-232点评：一兀二次方程的两个根X1、X2具有这样的关系: X1+x2=-,3cCX1?X2=.a26.已知xi、X2是方程x2- kx+ k ( k+4) =0的两个根，且满足(xi - 1) (X2- 1)=

43、9;，求k的值.44考点：根与系数的关系；根的判别式.分析：(x1 - 1) (x2 -131) =,即 X1X2-(X1+X2)1+ 1= | ,根据一4元二次方程中根与系数的关系可以表示出两个根的和与积，代入X1X2-(X1+X2)解答:点评:+1=二，即可得4到一个关于k的 方程，从而求得 k的值.解：T xi+x2=k，xix2= k( k+4)，4( xi - 1) (X2-1 ) =：，4x1X2(X1+X2)“ 13+1= I， k (k+4)4k+i=；，4解得k= ±当k=3时，方程 为x2 -913x+十=0, =9-21 V 0,不合 题意舍去； 当k= - 3

44、时，方 程为x2+3x -=0, =9+3 >0,符合题意. 故所求k的值为-3.本题考查了根与系数的关系：X1，X2 是一兀二次方程2ax +bx+c=0(aMD)的两根时，bX1+X2=，J 、/ 、:、1X1X2=.汪意运a 用根与系数的 关系的前提条 件是：一元二次 方程2 ” ax +bx+c=O 的根的判别式 为.2X1 和 X2.27. （2011?南充）关于x的一元二次方程 x +2x+k+仁0的实数解是 （1 ）求k的取值范围；（2）如果xi+x2- xix2V- 1且k为整数，求k的值.考点：根与系数的关系；根的判别 式；解一元一次 不等式组.专题：代数综合题；压轴题

45、.分析：（1 ）方程有两个实数根，必须 满足 =b2 - 4ac%，从而求 出实数k的取值 范围；（2 ）先由一元 二次方程根与 系数的关系，得 X1+x2= - 2,X1X2=k+1 .再代 入不等式X1+X2 -X1x2<- 1 ,即 可求得k的取值 范围，然后根据 k为整数，求出 k的值.解答：解：（1 ）方程有实数根，2 =22- 4 （k+1 ）为,（2 分）解得kO. 故K的取值范 围是kO.（4分）（2 ）根据一元 二次方程根与 系数的关系，得X1+X2= - 2, xix2=k+1 （5 分）X1+X2 - X1X2=-2-（ k+1 ）.由已知，得-2-（k+1） &l

46、t;- 1,解得k>- 2（6分） 又由（1） kO,- 2< kO. （ 7分）/ k为整数， k的值为-1 和0. （8分） 点评：本题综合考查了根的判别式 和根与系数的 关系.在运用一 元二次方程根 与系数的关系 解题时，一定要 注意其前提是 此方程的判别 式厶为.一 228 . （2012?怀化）已知X1, X2是一元二次方程（a-6） x +2ax+a=0的两个实数根.（1） 是否存在实数a,使-X1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出 a的值；若不存在，请你说明理由;（2）求使（X1+1） （x2+1 ）为负整数的实数 a的整数值.考点：根与系数的关系；根的判别 式.分析：根据根与系数的关系求得aX1X2=,N - 62aX1+X2= ；a - b根据一元二次 方程的根的判 别式求得a的取值范围；(1 )将已知等 式变形为X1X2=4+(X2+X1),即-2-=4+ 二 a-6 a-6,通过解该关于 a的方程即可求 得a的值；(2 )根据限制 性条件“(xi+1)(X2+1 )为负整 数”求得a的取 值范围，然后在 取值范围内取a 的整数值.解答:解：T X1 , X2 是 一元二次方程(a- 6)x +2ax+a=0 的 两个实数根，由根与系数 的关系可知，aX1X2=,a _ 62aX1+