反常积分的审敛法课件

1、反常积分的审敛法1二、无界函数反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法一、无穷限反常积分的审敛法第五节反常积分的审敛法 函数 第五五章 反常积分的审敛法2一、无穷限的广义积分的审敛法收敛收敛上有界，则广义积分上有界，则广义积分在在若函数若函数且且上连续，上连续，在区间在区间定理设函数定理设函数 axadxxfadttfxfxfaxf)(),)()(0)(),)( 不通过被积函数的原函数判定广义积分收不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判定方法敛性的判定方法.由定理由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积，对于非负函数的

2、无穷限的广义积分有以下比较收敛原理分有以下比较收敛原理反常积分的审敛法3也发散也发散发散，则发散，则且且并并也收敛；如果也收敛；如果收敛，则收敛，则并且并且上连续，如果上连续，如果区间区间在在、设函数设函数比较审敛原理比较审敛原理定理定理 aaaadxxfdxxgxaxfxgdxxfdxxgxaxgxfaxgxf)()(),()()(0)()(),()()(0),)()()(2证证.)()()()()()(0 ababaadxxgdxxgdxxfdxxgxgxfba收敛，得收敛，得及及，由，由设设上有上界上有上界在在即即),)()( adxxfbfba反常积分的审敛法4由定理知由定理知收收敛敛

3、 adxxf)(.)(,)(),()(0必必定定发发散散则则发发散散且且如如果果 aadxxfdxxgxfxg也收，这与假设矛盾也收，这与假设矛盾收敛，由第一部分知收敛，由第一部分知如果如果 aadxxgdxxf)()(例如，例如， 时时发发散散当当时时收收敛敛；当当广广义义积积分分11)0(ppaxdxap反常积分的审敛法5发散发散则则，使得，使得常数常数收敛；如果存在收敛；如果存在则则，使得，使得及及存在常数存在常数如果如果上连续，且上连续，且在区间在区间设函数设函数比较审敛法比较审敛法定理定理 aapdxxfxaxnxfndxxfxaxmxfpmxfaaxf)()()(0)(),()(1

4、0. 0)()0(),)()(3反常积分的审敛法6例例.1134的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分 xdx解解,111103/43434xxx , 134 p根据比较审敛法，根据比较审敛法，.1134收收敛敛广广义义积积分分 xdx反常积分的审敛法7发发散散则则或或如如果果收收敛敛；存存在在，则则使使得得，如如果果存存在在常常数数上上连连续续，且且在在区区间间设设函函数数极极限限审审敛敛法法定定理理 axxapxdxxfxxfdxxfdxxfxfxpxfaaxf)(),)(lim(0)(lim)()(lim1. 0)()0(),)()(4例例.112的的收收敛敛性性判判别别广广义义积积分

5、分 xxdx解解, 111lim22 xxxx所给广义积分收敛所给广义积分收敛反常积分的审敛法8例例.1122/3的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分dxxx 解解2222/31lim1limxxxxxxxx , 根据极限审敛法，所给广义积分发散根据极限审敛法，所给广义积分发散例例.arctan1的的收收敛敛性性判判别别广广义义积积分分dxxx 解解xxxxxxarctanlimarctanlim ,2 根据极限审敛法，所给广义积分发散根据极限审敛法，所给广义积分发散反常积分的审敛法9也收敛也收敛收敛；则收敛；则如果如果上连续，上连续，在区间在区间设函数设函数定理定理 aadxxfdxxf

6、axf)()(),)(5证证).)()(21)(xfxfx 令令, )()(0)(xfxx ，且，且,)(收收敛敛dxxfa .)(也收敛也收敛dxxa , )()(2)(xfxxf 但但,)()(2)( bababadxxfdxxdxxf .)()(2)( aaadxxfdxxdxxf 即即收敛收敛.反常积分的审敛法10.)(5称称为为绝绝对对收收敛敛条条件件的的广广义义积积分分满满足足定定理理定定义义 adxxf必定收敛必定收敛绝对收敛的广义积分绝对收敛的广义积分 adxxf)(例例5.)0,(sin0的收敛性的收敛性常数常数都是都是判别广义积分判别广义积分 abadxbxeax解解.,s

7、in0收收敛敛而而 dxeebxeaxaxax.sin0收敛收敛 dxbxeax所以所给广义积分收敛所以所给广义积分收敛.反常积分的审敛法11二、无界函数的广义积分的审敛法.)(),()()(10)(),()()(10.)(lim, 0)(,()()2(60发散发散则广义积分则广义积分，使得，使得及及收敛；如果存在常数收敛；如果存在常数则广义积分则广义积分，使得，使得及及常数常数如果存在如果存在上连续，且上连续，且在区间在区间设函数设函数比较审敛法比较审敛法定理定理 baqbaqaxdxxfbxaaxnxfqndxxfbxaaxmxfqmxfxfbaxf反常积分的审敛法12发散发散分分则广义积

8、则广义积或或，使得，使得如果存在常数如果存在常数收敛；收敛；则广义积分则广义积分存在存在，使得，使得如果存在常数如果存在常数上连续，且上连续，且在区间在区间设函数设函数极限审敛法极限审敛法定理定理 baqaxqaxbaqaxaxdxxfxfaxdxfaxqdxxfxfaxqxfxfbaxf)(),)()(lim(0)()(lim1)(,)()(lim10.)(lim, 0)(,()()2(0000反常积分的审敛法13例例6.ln31的的收收敛敛性性判判别别广广义义积积分分 xdx解解的的左左邻邻域域内内无无界界被被积积函函数数在在点点1 x由洛必达法则知由洛必达法则知xxxxx11limln1

9、)1(lim0101 , 01 根据极限审敛法根据极限审敛法2,所给广义积分发散所给广义积分发散.反常积分的审敛法14例例7.1sin31的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分dxxx 解解也收敛也收敛从而从而dxxx 101sin收收敛敛，而而 1,11sinxdxxxx收敛，收敛，dxxx 101sin根据比较审敛原理根据比较审敛原理,反常积分的审敛法15例8. 判定椭圆积分) 1()1)(1 (d210222kxkxx散性 . 解解:,1为瑕点此处x由于 1limx的敛21) 1( x)1)(1 (1222xkx)1)(1 (1lim221xkxx)1 (212k根据极限审敛法 2 ,

10、 椭圆积分收敛 . 反常积分的审敛法16类似定理5, 有下列结论:,)(d)(baaxxf收敛为瑕点若反常积分例例9. 判别反常积分xxxdln10的敛散性 .解解:,d)(baxxf收敛称为绝对收敛 . ,0为瑕点此处x,0lnlim410 xxx因, 1ln,41xxx 有的故对充分小从而 4141lnlnxxxxx411x据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .则反常积分 反常积分的审敛法17)0()(01 sdxxessx定义定义特点特点: 1.积分区间为无穷积分区间为无穷;.001. 2右右领领域域内内无无界界的的时时被被积积函函数数在在点点当当 xs,1121011 dxxeidxx

11、eisxsx设设;,1)1(1是常义积分是常义积分时时当当is ,10时时当当 s函函数数三三、 反常积分的审敛法18,111111sxssxxexxe ., 2, 111收收敛敛根根据据比比较较审审敛敛法法而而is , 0lim)(lim)2(112 xsxsxxexxex., 12也也收收敛敛根根据据极极限限审审敛敛法法i.0)2(),1(01均收敛均收敛对对知知由由 sdxxesxs)(s o反常积分的审敛法19 函数的几个重要性质：函数的几个重要性质：).0()()1( ssss递推公式递推公式.)(0 ss时时，当当).10(sin)1()(3 ssss余余元元公公式式.2)()(0122012 duuesuxdxxessusx有有，中中，作作代代换换在在 反常积分的审敛法20四、小结比较审敛法极限审敛法无穷限的广义积分审敛法比较审敛法极限审敛法无界函数的广义积分审敛法广广义义积积分分审审敛敛法法绝对收敛绝对收敛反常积分的审敛法21练练 习习 题题;23. 4;)(ln. 3;1sin. 2;1. 12132213120242 xxdxxdxdxxdxxxx的收敛性：的收敛性：一、判别下列广义积分一、判别下列广义积分.)1(ln. 2);0(. 1100 dxxndxepxn收敛范围：