高一数学下第5章解斜三角形解析及答案

1、高一数学下第5章解斜三角形解析及答案巩固基础一、自主梳理 1.正弦定理：=2r，其中r是三角形外接圆半径. 2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosa,b2=a2+c2-2accosb,cosa=. 3.sabc=absinc=bcsina=acsinb,s=sr(s=,r为内切圆半径)=(r为外接圆半径). 4.在三角形中大边对大角，反之亦然. 5.射影定理：a=bcosc+ccosb,b=acosc+ccosa,c=acosb+bcosa. 6.三角形内角的诱导公式 (1)sin(a+b)=sinc,cos(a+b)=-cosc,tanc=-tan(a+b),cos=sin, sin=

2、cos 在abc中，熟记并会证明tana+tanb+tanc=tana·tanb·tanc; (2)a、b、c成等差数列的充要条件是b=60°； (3)abc是正三角形的充要条件是a、b、c成等差数列且a、b、c成等比数列. 7.解三角形常见的四种类型 (1)已知两角a、b与一边a,由a+b+c=180°及=，可求出角c，再求b、c. (2)已知两边b、c与其夹角a，由a2=b2+c2-2bccosa，求出a，再由余弦定理，求出角b、c. (3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角a、b、c. (4)已知两边a、b及其中一边的对角a，由正弦定理=，求出

3、另一边b的对角b，由c=-(a+b)，求出c，再由=求出c，而通过=求b时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：a>90°a=90°a<90°a>b一解一解一解a=b无解无解一解a<ba>bsina两解无解无解a=bsina一解a<bsina无解 8.用向量证明正弦定理、余弦定理，关键在于基向量的位置和方向. 9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.二、点击双基1.在abc中，a=60°，a=43,b=4，则b等于( )a.45°或135° b.135° c

4、.45° d.以上答案都不对解析：sinb=,又b<a,b<a.0°<b<60°.故b=45°.答案：c2.abc中，a=2bcosc，则此三角形一定是( )a.等腰三角形 b.直角三角形c.等腰直角三角形 d.等腰或直角三角形解析：由正弦定理得sina=2sinbcosc, 即sin(b+c)=2sinbcosc. sin(b-c)=0. 又-<b-c<，b-c=0.答案：a3.设a是abc最小内角，则sina+cosa的取值范围是( )a.(-，) b.-, c.(1，) d.(1,解析：0°<a6

5、0°,45°<a+45°105°. sina+cosa=sin(a+45°)(1,.答案：d4.(2006山东潍坊检测)在abc中，cos2=(a、b、c分别为角a、b、c的对边)，则abc的形状为( )a.正三角形 b.直角三角形c.等腰三角形或直角三角形 d.等腰直角三角形解析：cos2=,=,即cosa=. 又cosa=,=,即a2+b2=c2.abc为直角三角形.故选b.答案：b5.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则a=_.解析：由已知得(b+c)2-a2=3bc,b2+c2-a2=bc.=.a=.答案：训练思维6、ab

6、c的三个内角a、b、c的对边分别是a、b、c,如果a2=b(b+c),求证:a=2b.剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角,二是角化边.证明：用正弦定理,a=2rsina,b=2rsinb,c=2rsinc,代入a2=b(b+c)中,得 sin2a=sinb(sinb+sinc)sin2a-sin2b=sinbsinc -=sinbsin(a+b) (cos2b-cos2a)=sinbsin(a+b) sin(a+b)sin(a-b)=sinbsin(a+b).因为a、b、c为三角形的三内角,所以sin(a+b)0.所以sin(a-b)=sinb.所以只能有a-b=b,即a=2b.讲

7、评：利用正弦定理,将命题中边的关系转化为角间关系,从而全部利用三角公式变换求解.链接·聚焦 7、(1)该题若用余弦定理如何解决? 解：利用余弦定理,由a2=b(b+c),得 cosa= =,cos2b=2cos2b-1=2()2-1=-1=. 所以cosa=cos2b.因为a、b是abc的内角,所以a=2b. (2)该题根据命题特征,能否构造一个符合条件的三角形,利用几何知识解决? 解：由题设a2=b(b+c),得=, 做出abc,延长ca到d,使ad=ab=c,连结bd.式表示的即是=,所以bcdabc.所以1=d. 又ab=ad,可知2=d,所以1=2. 因为bac=2+d=22

8、=21, 所以a=2b.讲评：近几年的高考题中,涉及到三角形的题目,重点考查正弦、余弦定理,考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.8、（2004全国高考卷）已知锐角abc中,sin(a+b)=,sin(a-b)=.(1)求证:tana=2tanb;(2)设ab=3,求ab边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式,结合图形,以(1)为铺垫,解决(2).(1)证明：sin(a+b)=,sin(a-b)=, =2. tana=2tanb.(2)解：a+b,sin(a+b)=. tan(a+b)=-, 即=-.将tana=2tanb代入上式整理得2tan2b-4tanb-1=0

9、,解得tanb=(负值舍去).得tanb=,tana=2tanb=2+. 设ab边上的高为cd,则ab=ad+db=+=. 由ab=3得cd=2+,ab边上的高为2+.讲评：本题主要考查三角函数概念,两角和与差的公式以及应用,分析和计算能力.9、 如图，有两条相交成60°角的直路ef、mn，交点是o.起初，阿福在oe上距o点3千米的点a处；阿田在om上距o点1千米的点b处.现在他们同时以4千米/时的速度行走，阿福沿ef的方向，阿田沿nm的方向.(1)求起初两人的距离；(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离；(3)什么时候他们两人的距离最短？解：(1)ab2=oa2+ob2-2oa

10、·obcos60°=7, 起初他们两人的距离是7千米. (2)设他们t小时后的位置分别是p、q，则ap=4t,bq=4t. 下面分两种情况讨论: 当0t时，pq2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°. 当t>时，pq2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°. 由综合得pq2=48t2-24t+7,即pq=. (3)pq2=48t2-24t+7=48(t-)2+4, 当t=时，即在第15分钟时他们两人的距离最短.链接·拓展 本题还可以转化为坐标运算，从而避免分类讨论.

11、提示：以o为坐标原点，oe所在直线为x轴建立坐标系，则t时刻p(3-4t,0),q(1+4t), (1+4t).状元训练复习篇10.在abc中，下列三式·>0,·>0,·>0中能够成立的不等式个数( )a.至多1个 b.有且仅有1个 c.至多2个 d.至少2个解析：原条件可转化为cosa>0,cosb>0,cosc>0.而a、b、c是三角形的内角，a+b+c=最多一个钝角.答案：d11.在abc中，a=80,b=100,a=45°，则此三角形解的情况是( )a.一解 b.两解 c.一解或两解 d.无解解析：bsina=

12、50,a>bsina.答案：b12（理）在abc中，若a=60°,b=1,sabc=，则的值为( )a. b. c. d.解析：sabc=bcsina,bcsina=. c=4.a2=b2+c2-2bccosa=13.a=. =.答案：b13、(文)(2004浙江高考)在abc中,“a30°”是“sina”的( )a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件解析：在abc中,a30°0sina1sina;sina30°a150°a30°.答案：b14.在abc中,角a、b、c所对的边分别是

13、a、b、c,若三角形的面积s=(a2+b2-c2),则c的度数是_.解析：由s=(a2+b2-c2)得absinc=·2abcosc.tanc=1.c=45°.答案：45°15.在abc中,若c=60°,则+=_.解析：+= =. (*) c=60°,a2+b2-c2=2abcosc=ab.a2+b2=ab+c2. 代入(*)式得=1.答案：116.在abc中，c=2,a>b,c=,且有tana·tanb=6,试求a、b以及此三角形的面积.思路分析：由已知可求出tana+tanb,这样便可求得tana和tanb的值，只要求出si

14、na、sinb利用正弦定理可求得a、b.解：tana+tanb=tan(a+b)(1-tanatanb) =-tanc(1-tanatanb) =-tan(1-6)=5, 又tana·tanb=6且a>b,则tana>tanb.tana=3,tanb=2. 而0<a<,0<b<, sina=,sinb=. 由正弦定理得a=, b=, sabc=absinc=.17.(2006北京海淀模拟)(理)abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，2sin2c=3cosc,c=,又abc的面积为.求：(1)角c的大小；(2)a+b的值.解：(1)由已知得2

15、(1-cos2c)=3cosc, cosc=或cosc=-2(舍), 在abc中，c=60°. (2)sabc=absinc=, absin60°=.ab=6. 又c2=a2+b2-2abcosc, ()2=a2+b2-2abcosc. a2+b2-ab=7.a2+b2=13. a+b=5.18(文)abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，abc的面积为,且c=,3cosc-2sin2c=0.求：(1)角c的大小；(2)a、b的值.解：(1)由已知得2(1-cos2c)=3cosc, cosc=或cosc=-2(舍), 在abc中，c=60°.(2)sabc

16、=absinc=, absin60°=.ab=6. 又c2=a2+b2-2abcosc, ()2=a2+b2-2abcosc. a2+b2-ab=7.a2+b2=13. a+b=5. a=2,b=3或a=3,b=2.加强篇19、在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c,依次成等比数列，求y=的取值范围.解：b2=ac, cosb= =(+)-.0b, y= =sinb+cosb=sin(b+). b+,sin(b+)1.故1y.20.(全新创编题)某城市有一条公路,自西向东经过a点到市中心o点后转向东北方向ob,现要修建一条铁路l,l在oa上设一站a,在ob上设一站b,铁路在

17、ab部分为直线段,现要求市中心o与ab的距离为10 km,问把a、b分别设在公路上离中心o多远处才能使|ab|最短?并求其最短距离.(不要求作近似计算)解：在aob中,设oa=a,ob=b. 因为ao为正西方向,ob为东北方向, 所以aob=135°. 则|ab|2=a2+b2-2abcos135°=a2+b2+ab2ab+ab=(2+)ab,当且仅当a=b时,“=”成立.又o到ab的距离为10,设oab=,则oba=45°-.所以 a=,b=, ab=·= = = =, 当且仅当=22°30时,“=”成立. 所以|ab|2=400(+1)2,

18、 当且仅当a=b,=22°30时,“=”成立. 所以当a=b=10时,|ab|最短,其最短距离为20(+1),即当ab分别在oa、ob上离o点10km处,能使|ab|最短,最短距离为20(-1).教学参考 一、教学思路 1.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角；(2)化角为边.具体有如下四种方法：通过正弦定理实施边角转换；通过余弦定理实施边角转换；通过三角变换找出角之间的关系；通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论. 2.用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形边长等. 3.在判断三角形形状或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件. 4.用向量的数量积求三角形内角时，需通过向量的方向判断向量的夹角与三角形内角是相等还是互补. 二、注意问题 1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用,另一方面要让学生体会解三角