211椭圆定义与标准方程

1、椭圆的定义与标准方程椭圆的定义与标准方程 材料准备：材料准备：一条一定长度的线绳、两枚钉子、 和一只铅笔。步骤步骤1 1：将线绳的两端用钉子固定在画板上的f1和f2 两点，并使线绳长大于f1和f2 的距离。步骤步骤2 2：用笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔尖在画板上慢慢移动，观察所画出的图形。tuoyuan1.exe1.在上述椭圆中点m到两个定点f1、f2 的距离之和为多少？2 2.椭圆上其它的点到两个定点f1、f2 的距离之和又为多 少呢？也就是说椭圆上任意一点到两个定点f1、f2 的距离之和都为绳长。（绳长）（绳长）（绳长）（绳长） 定义：定义：平面内到平面内到两两个定点个定点f

2、f1 1、f f2 2的距离之的距离之和和等于等于 常数常数（大于（大于|f|f1 1f f2 2| |）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做椭圆椭圆。这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点，两焦点的距离叫做椭圆的两焦点的距离叫做椭圆的焦距焦距。1f2fxyo),( yxm 取取过过焦点焦点f f1 1、f f2 2的直线为的直线为x x轴，线段轴，线段f f1 1f f2 2的垂的垂直平分线为直平分线为y y轴，建立直角坐标系。轴，建立直角坐标系。 设m(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c0)，m与f1、f2的距离的和等于常数2a，由由定义知：定义知：amfmf221()()2

3、22221 ycxmfycxmf-()()aycxycx22222-将将方程移项后平方得：方程移项后平方得：()()()222222244ycxycxaaycx-()222ycxacxa-两边再平方得：两边再平方得：2222222222422yacacxaxaxccxaa-()()22222222caayaxca-则则 f1(-c,0) f1(-c,0) f2(c,0)f2(c,0)。()()22222222caayaxca-由由椭圆定义知：椭圆定义知：0,2222-cacaca即(): 0 222得设-bbca222222bayaxb()0 12222babyax两边同除以两边同除以 得：得

4、：22ba这个方程叫做椭圆的标准方程，这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在它所表示的椭圆的焦点在x轴上。轴上。 如果椭圆的焦点在y轴上，用类似的方法，可得出它的方程为：()0 12222babxay它它也是椭圆的标准方程。也是椭圆的标准方程。1f2fxyo),( yxm 1.建系;2. 设点;3. 列式;4. 化简这里求椭圆标准方程是按照哪几个步 骤来进行的？()0 12222babyax yof1 1f2 2mx yxof2 2f1 1m()0 12222babxay判定下列椭圆的焦点在那条轴上?并指出焦点坐标.11625)1(22yx在x轴上，焦点（-3，0）（3，0）116

5、9144)2(22yx在y轴上，焦点（0，-5）（0，5）判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则? 哪个分母大,焦点就在哪条轴上,大的分母就是a2.例例1: 1: 已知椭圆的焦点在x轴上,焦距为8,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10, 求:该椭圆的标准方程 .解解: :945.4,5,82,10222222-cabcaca192522yx1.求出a,b的值；2.确定焦点在那条轴上.求椭圆标准方程的关键？x x x因为椭圆的焦点在x轴上,所以它的标准方程为:例2：求下列椭圆的焦点和焦距.145)1(22yx所以:所以椭圆的焦点为: 解：（1）因为54，所以椭圆的焦点在x轴上，4,522ba22, 1,

6、 1222-ccbac)0, 1(),0, 1(21ff-162)2(22 yx焦距为：2并且因为:168所以椭圆的焦点为: 解：将方程化成标准方程为：,8,1622ba116822yx, 8222-bac故242,22cc)22,0(),220(21ff-24焦距为：并且所以椭圆的焦点在y轴上，练习1：求椭圆的焦点坐标与焦距1615)1(22yx焦点（-3，0）（3，0）焦距 2c=6116925)2(22yx 焦点（0，-12）（0，12） 焦距 2c=24练习2：写出适合下列条件的椭圆的标准方程:焦点在y轴上。15,4ca（1）1,4ba答案:1116).1 (22yx（2）1116)2(22xy焦点在x轴上；1f2fxyo),(yxm yxof1 1f2 2m1.椭圆的定义.2.字母a,b,c之间的大小关系.3.在求椭圆标准方程的关键是什么?()0 12222babyax()0 12222babxay1.1.读书部分：教材读书部分：教材2.12.12.2.