97直线与平面所成的角和二面角(二)

1、.斜线任一点在平面内的射04.公式：已知平面:的斜线a与：内一直线b相交成B角，且a与:相交成;:1角，a在:上的射影c与b相9.7直线与平面所成的角和二面角(二)教学目的:1. 理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角2. 掌握二面角的平面角的一般作法：(1)根据定义；(2)作二面角棱的垂面;(3)利用三垂线定理或逆定理 教学重点：二面角的概念和二面角的平面角的作法.教学难点：二面角的平面角的一般作法及其寻求.授课类型：新授课.课时安排：1课时.教具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1.斜线,垂线,射影垂线自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射

2、影.这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.斜线一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这 个平面的斜线段.射影过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平 面内的射影.直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线.直线与平面垂直射影是点影一定在斜线的射影上.2.射影长相等定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长垂线段比任何

3、一条斜线段都短. OB=OC ：AB=ACOB 8 ： AB AC AB=AC : OB=OCAB AC ： OB OC OVAB, OA：AC3直线和平面所成角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平 面所成的角.一直线垂直于平面，所成的角是直角.一直线平行于平面或在平面内，所成角为角.直线和平面所成角范围：0,2(2)定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角角的棱，每个半平面叫做二面角的面.若棱为I，两个面分别为J的二面角记为cA 士 (B bCta- | -1 ;二面角的图交成：2 角，则有 cos cos 2 二 C

4、OST.二、讲解新课：1. 二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半 平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面形表示：第一种是卧式法，也称为平卧式:ACl（1 ）过二面角的棱上的一点ot_A匚OO'O分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA,OB，则.AOB叫做二面角3, AD =1，由余弦定理得 cos AED2方法二：（向量运算）令 AB-a , AC =b, AD=c ,棱长为1, EA ED =-丄（； ,）：-1；-1,=丄,2224武启 | 二, cos AED J23即相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小为1 a

5、rccos. -l - '的平面角.（2）个平面垂直于二面角 ：一 -的棱| ,且与两半平面交线分别为 OA,OB,O为垂足，贝U . AOB说明：（1） 二面角的平面角范围是 0；,180勺；（2） 二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 、讲解范例：例i .在正四面体 ABC中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小解：取BC的中点E ,连接AE, DE ,正四面体 ABCD，二 BC_AE,BC_ED 于 E , AED为二面角 A-BC-D的平面角,方法一：设正四面体的棱长为 1,则AE - , DE =2例2.在棱长为1的正方体AC1中，（1

6、 ）求二面角B1DC的大小;（2）求平面GBD与底面ABCD所成二面角G -BD -C的平面角大小.解: (1)取 中点 Q，连接 A0i,C0i,正方体 ACi，：、BD丨 AO1, CO1 I BD, AOQ即为二面角 A-BiDi -C的平面角，Di j OiCiA IlB iC在AOC中,AOi = COi ' , AC = . 2 ,2DiAiii可以求得cos. AOiC即二面角 ABiDiC的大小为arccos 33(2)过 Ci 作 CO _ BD于点°,Ci rBi/ / /pcO/B正方体 ACi , CC _ 平面 ABCD , . COCi为平面CiB

7、D与平面ABCD所成二面角 C - BD -C的平面角，可以求得：tan. COCi二.2所以，平面 GBD与底面ABCD所成二面角 C - BD-C的平面角大小为arctan、2 .说明：求二面角的步骤：作一一证一一算一一答例3.已知：二面角:-1 - 一：且A到平面1的距离为2.3 , A到I的距离为4，求二面角_：: I -的大小.解：作AO _ I于点O , AB _平面1于点B，连接BO , AB _ 于点 B , AO _ I 于点 O , I _OB AOB即为二面角:1的平面角,易知，AB =2 J3, AO =4 , . AOB =60；即二面角-I - -的大小为60 .说

8、明：利用三垂线定理作二面角的平面角是解决二面角问题中一种重要的方法，其特征是其中一个平面内 一点作另一个平面的垂线则已经有三种作二面角的平面角的方法，即：定义法、垂面法、三垂线法例 4 如图，AB_ 平面 BCD , BD_CD，若 AB 二 BC=2BD，求二面角B - AC - D的正弦值分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角解：过D作DE _ AC于E,过E作EF _ AC交BC于F，连结DF ,则C垂直于平面 DEF , FED为二面角B-AC-D的平面角， AC DF ,又 AB _ 平面 BCD , AB _ DF , AB _ CD , DF _ 平面 ABC , D

9、F _EF , DF _ BC,又 AB _ CD , BD _ CD , CD _ 平面 ABD , CD _ AD ,设 BD =a，贝U AB =BC =2a , Da2同理，Rt AC中, DE 15 a ,2/2 sin WFED洋a2、2帀 ?5所以，二面角B - AC - D的正弦值为1051 1在 Rt BCD 中，S BCD BC DF BD CD ,面角P-BC -A的平面角为-,C又二面角 A - BD -C为直二面角，求二面角 A - CD - B的大小. 解：过A作AH _ BD于H二面角 A-BD-C为直二面角 AH _面BCD取CD中点E , F为DE中点，连接H

10、F,AF BE _CD HF / BE EF _CD HF AFH为二面角_CDA-BD -C的平面角令 AB =a，贝V AH= a,BE 二仝忌2 2、6a2 HFa 在4Rt AHF 中 tan AFHAHHF厶AFH32/3=arctan3243即二面角 A-CD 'B的大小为arctan.33.设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点0 , AC = BC=1CD=2，求（1）AC与平面BCD所成角的大小；（2） 二面角A - BC - D的大小；（3）异面直线 AB和CD的大小.四、课堂练习：1如图所示，已知 PA _面ABC , S PBC = S, S

11、 ABC求证：S cos = S'证明：过P作BC的垂线，垂足为D，连接AD BC _ AD pa _ 平面 ABC , BC 平面 ABC , BC _ PD . PDA为二面角P-BC-A的平面角，即.PDA- - PA _ 面 ABC - PA_ ADADPAD是直角三角形 cos. pad =-PDp11又 Spbc BC PD 二 S,S abc BC AD 二 S22SS* cos £ PAD cos 即 S cos v - SSS说明：这是推广的射影定理，也是求二面角平面角的一种方法2 如图，在空间四边形 ABCD中，厶BCD是正三角形，ABD是等腰直角三角形，且.BAD = 90：,解：(1)V AO _ 面 BCD AO _co. . ACO 为 AC 与面 BCD 所成角/ BC =1,CD =、2 BD »3 co Jbd2 cos. ACOACO 即AC与平面BCD所成角的大小为2 2 6(2)取 BC 中点 E，连接 OE,AE OE/CD CD _ BC OE _ BC又 AO _ 面 BCD AE _ BC AEO为二面角 A - BC - D的平面角 又 OE JcD =2 AO J2 2 2兀6AOAO _ OE tan . AEO - OE冷-AEO询如彳即二面角