立体几何求角致远书屋

1、立体几何求角一解答题（共8小题）1如图，在正四棱锥pabcd中，pa=ab=a，e是棱pc的中点（1）求证：pcbd；（2）求直线be与pa所成角的余弦值2如图，已知abc和bcd所在平面互相垂直，且bac=bcd=90°，ab=ac，cb=cd，点e，f分别在线段bd，cd上，沿直线ef将efd向上翻折使得d与a重合（）求证：abcf；（）求直线ae与平面abc所成角3如图，在直三棱柱abca1b1c1中，ab=ac=5，bb1=bc=6，d，e分别是aa1和b1c的中点（1）求证：debc；（2）求三棱锥ebcd的体积4如图：abcd是平行四边形，ap平面abcd，beap，ab

2、=ap=2，be=bc=1，cba=60°（1）求证：ec平面pad；（2）求证：平面pac平面ebc；（3）求直线pc与平面pabe所成角的正弦值5如图所示，四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，m、n分别是ab、pc的中点，pa=ad=1，ab=2（1）求证：mn平面pad；（2）求证：平面pmc平面pcd；（3）求点d到平面pmc的距离6如图，在四棱锥pabcd中，ad平面pdc，adbc，pdpb，ad=1，bc=3，cd=4，pd=2（）求异面直线ap与bc所成角的余弦值；（）求证：pd平面pbc；（）求直线ab与平面pbc所成角的正弦值7如图，已知三棱

3、锥pabc，pa平面abc，acb=90°，bac=60°，pa=ac，m为pb的中点（）求证：pcbc（）求二面角macb的大小8如图，四棱锥pabcd中，pd底面abcd，且底面abcd为平行四边形，若dab=60°，ab=2，ad=1（1）求证：pabd；（2）若pcd=45°，求点d到平面pbc的距离h立体几何求角一解答题（共8小题）1如图，在正四棱锥pabcd中，pa=ab=a，e是棱pc的中点（1）求证：pcbd；（2）求直线be与pa所成角的余弦值【解答】证明：（1）四边形abcd为正方形，且pa=ab=a，pbc，pdc都是等边三角形，（

4、2分）e是棱pc的中点，bepc，depc，又 bede=e，pc平面bde（5分）又bd平面bde，pcbd（6分）解：（2）连接ac，交bd于点o，连oe 四边形abcd为正方形，o是ac的中点（8分）又e是pc的中点oe为acp的中位线，apoebeo即为be与pa所成的角 （10分）在rtboe中，be=，eo=，（12分）cosbeo=直线be与pa所成角的余弦值为（14分）2如图，已知abc和bcd所在平面互相垂直，且bac=bcd=90°，ab=ac，cb=cd，点e，f分别在线段bd，cd上，沿直线ef将efd向上翻折使得d与a重合（）求证：abcf；（）求直线ae与

5、平面abc所成角【解答】解：（1）面abc面bcd，面abc面bcd=bc，bcd=90°cfbc，fc面abc，abcf（5分）（2）设，设be=t，则ed=ea=2t，取bc的中点h，连接he，ah，又（7分）又ah面bcd，ae2=ah2+eh2，（2t）2=+t2t+，点e是bd的中点，（10分）hebc，he面abc，bea为所求角的线面角（12分）（14分）所以直线ae与平面abc所成角为（15分）3如图，在直三棱柱abca1b1c1中，ab=ac=5，bb1=bc=6，d，e分别是aa1和b1c的中点（1）求证：debc；（2）求三棱锥ebcd的体积【解答】证明：（1）

6、取bc中点f，连结ef，af，则efbcb1的中位线，efbb1，ef=bb1，adbb1，ad=bb1，efad，ef=ad，四边形adef是平行四边形，deaf，ab=ac，f是bc的中点，afbc，debc（2）bb1平面abc，af平面abc，bb1af，又afbc，bc平面bcc1b1，bb1平面bcc1b1，bcbb1=b，af平面bcc1b1，de平面bcc1b1，ac=5，bc=6，cf=3，af=4，de=af=4bc=bb1=6，sbce=9三棱锥ebcd的体积v=sbcede=124如图：abcd是平行四边形，ap平面abcd，beap，ab=ap=2，be=bc=1，c

7、ba=60°（1）求证：ec平面pad；（2）求证：平面pac平面ebc；（3）求直线pc与平面pabe所成角的正弦值【解答】（1）证明：因为bepa，be平面pad，pa平面pad，所以be平面pad，同理bc平面pad，所以平面pad平面ebc，因为ec平面ebc，所以ec平面pad（4分）（2）证明：因为ab=2，bc=1，cba=60°，由余弦定理得，ac=，所以由勾股定理逆定理bca=90°，所以acbc，又因为be平面abcd，所以beac，则有ac平面ebc，ac平面pac所以平面bec平面pac（8分）（3）解：作chab于h，连结ph，又因为ch

8、pa，所以ch平面pabe，所以hpc即为线面角，（13分）5如图所示，四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，m、n分别是ab、pc的中点，pa=ad=1，ab=2（1）求证：mn平面pad；（2）求证：平面pmc平面pcd；（3）求点d到平面pmc的距离【解答】（1）证明：设pd的中点为e，连接ae、ne，由n为pc的中点知en平行且等于dc，又abcd是矩形，dc平行且等于ab，en平行且等于ab又m是ab的中点，en平行且等于am，amne是平行四边形mnae，而ae平面pad，nm平面padmn平面pad（2）证明：pa=ad，aepd，又pa平面abcd，cd平面

9、abcd，cdpa，而cdad，cd平面padcdae，pdcd=d，ae平面pcd，mnae，mn平面pcd，又mn平面pmc，平面pmc平面pcd（3）解：设点d到平面pmc的距离为h，则，点d到平面pmc的距离h=6如图，在四棱锥pabcd中，ad平面pdc，adbc，pdpb，ad=1，bc=3，cd=4，pd=2（）求异面直线ap与bc所成角的余弦值；（）求证：pd平面pbc；（）求直线ab与平面pbc所成角的正弦值【解答】解：（）如图，由已知adbc，故dap或其补角即为异面直线ap与bc所成的角因为ad平面pdc，所以adpd在rtpda中，由已知，得，故所以，异面直线ap与bc

10、所成角的余弦值为证明：（）因为ad平面pdc，直线pd平面pdc，所以adpd又因为bcad，所以pdbc，又pdpb，所以pd平面pbc解：（）过点d作ab的平行线交bc于点f，连结pf，则df与平面pbc所成的角等于ab与平面pbc所成的角因为pd平面pbc，故pf为df在平面pbc上的射影，所以dfp为直线df和平面pbc所成的角由于adbc，dfab，故bf=ad=1，由已知，得cf=bcbf=2又addc，故bcdc，在rtdcf中，可得所以，直线ab与平面pbc所成角的正弦值为7如图，已知三棱锥pabc，pa平面abc，acb=90°，bac=60°，pa=ac

11、，m为pb的中点（）求证：pcbc（）求二面角macb的大小【解答】解：（）证明：由pa平面abc，pabc，又因为acb=90°，即bcacbc面pac，pcbc（）取ab中点o，连结mo、过o作hoac于h，连结mh，因为m是pb的中点，所以mopa，又因为pa面abc，mo面abcmho为二面角macb的平面角设ac=2，则bc=2，mo=1，oh=，在rtmho中，tanmho=二面角macb的大小为3008如图，四棱锥pabcd中，pd底面abcd，且底面abcd为平行四边形，若dab=60°，ab=2，ad=1（1）求证：pabd；（2）若pcd=45°，求点d到平面pbc的距离h【解答】（1）证明：ad=1，ab=2，dab=60°，bd2=ab2+ad22abadcos60°=3，ad2+bd2=ab2，