2021-2021版高中数学第二章统计2.3.2方差与标准差学案苏教版必修3

1、232 方差与标准差【学习目标丨1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差；2.会用样本的根本数字特征(平均数、标准差)估计总体的根本数字特征；3.体会用样本估计总体的思想.ET问题导学知识点一用样本的根本数字特征估计总体的根本数字特征1 .样本的根本数字特征包括 、.2 .平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能无视的因此，还需要刻画数据的分散程度.3 .一组数据的 的差称为极差，用极差刻画数据的分散程度简便易行，但集中程度差异不大时，不易得出结论.知识点二方差、标准差思考假设

2、两名同学的两门学科的平均分都是80分，一名是两门均为80分，另一名是一门40分，一门120分，如何刻画这种差异？梳理标准差与方差：一般地，标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示.s =/!22T、/#X1 X+ X2 x+Xn x.(2) 标准差的平方s2叫做方差.S2=-(X1 X ) 2+ (X2 X)2+ (Xn X)2(Xn是样本数据，n是样本容量，X是样本平n均数).(3) 标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近.s = 0时，每一组样本数据均为 匚.囱题型探究类型一感受数据的离散程度例1分另IJ计算下列四组样羊本数据的平均数，并画出条形图，说明它们的异同点(1)

3、5,5,5,5,5,5,5,5, 5;(2)4,4,4,5,5,5,6,6, 6;(3)3,3,4,4,5,6,6,7, 7;(4)2,2,2,2,5,8,8,8, 8.反思与感悟 标准差能够衡量样本数据的稳定性，标准差越大，数据的离散程度就越大，也 就越不稳定标准差越小，数据的离散程度就越小，也就越稳定跟踪训练 1 有两位射击运发动在一次射击测试中各射靶10 次，每次命中的环数如下：甲： 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙： 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7试求出甲、 乙两人本次射击的平均成绩， 并画出两人成绩的频率分布条形图， 你能说明其水 平差异在哪里吗？类型二 方差、标准

4、差的计算例 2 从甲、乙两种玉米中各抽 10 株，分别测得它们的株高如下：甲： 25， 41，40，37， 22，14，19，39，21，42；乙： 27， 16，44，27， 44，16，40，40，16，40. 试计算甲、乙两组数据的方差和标准差反思与感悟 计算方差 或标准差 时要先计算平均数跟踪训练 2 求出跟踪训练 1 中的甲、乙两运发动射击成绩的标准差，结合跟踪训练 1 的条 形图体会标准差的大小与数据离散程度的关系类型三 标准差及方差的应用例 3 甲、乙两人同时生产内径为 25.40 mm 的一种零件为了对两人的生产质量进行评比， 从他们生产的零件中各抽出 20 件，量得其内径尺寸

5、如下 单位： mm：甲254625.3225.4525.3925.36253425.4225.4525.3825.42253925.4325.3925.4025.44254025.4225.3525.4125.39乙254025.4325.4425.4825.48254725.4925.4925.3625.3425. 3325.4325.4325.3225.4725. 3125.3225.3225.3225.48结果保存小数点后 3位从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高?反思与感悟比拟两组数据的异同点，一般情况是从平均数及标准差这两个方面考虑.其中标准差与样本数据单位一样，比方差更能直观

6、地刻画出与平均数的平均距离.跟踪训练3甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下 单位：t/hm2，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比拟稳定.当堂训练品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.81 .以下说法正确的选项是 在两组数据中，平均值较大的一组方差较大； 平均数反映数据的集中趋势，方差那么反映数据离平均值的波动大小; 方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和； 在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高.1 .将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为 91

7、.现场作的9个分数的茎叶图后来有 1个数据模糊，无法识别，在图中以x表示:8 7 79 4 0 I 0 x V I那么7个剩余分数的方差为.2 .如果数据X1, X2，Xn的平均数为X ,方差为S2,那么1新数据X1+ b, X2+ b,，Xn+ b的平均数为 ，方差为 新数据ax1, ax?，axn的平均数为，方差为. 新数据ax1 + b, ax2 + b,，axn+ b的平均数为 ，方差为.3 .某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7, 8, 7, 9, 5, 4, 9, 10, 7, 4.那么：1平均命中环数为;2命中环数的标准差为 .为规律与方迭 1 标准差的平方 s2称

8、为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度方差与标 准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.2现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性.3 在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性.用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案.合案精析问题导学知识点一1 .众数中位数平均数标准差极差3 .最大值与最小值知识点二思考可以通过考察样本数据的分散程度的大小.题型探究例1解四组样本数据的条形图如下：o.u 1>!

9、3;： O.h - 0.3 - 0 4 03 0 2 O Imono(21敕率F=3w M 7 h 5 4 3-1 <L(>.<I.(kw.fl.0<I111 >*)- Djr i'.7 ().<- IT-D 1 - n；k 120 T=S(4)四组数据的平均数都是5,但数据的离散程度不一样，其中(1)最集中，(4)的离散程度最大.1跟踪训练 1 解 x 甲=(7 + 8+ 7 + 9 + 5+ 4 + 9+ 10+ 7+ 4) = 7,同理可得x乙=7.条形图如下：通过频率分布条形图直观地看，虽然平均数相同，还是有差异的甲的成绩比拟分散，乙的成绩相

10、对集中.1例 2 解 x 甲=10(25 + 41 + 40+ 37+ 22+ 14+ 19+ 39 + 21 + 42) = 30,2 1 2 2s?= 10(25 - 30) + (41 - 30) +2+ (42 - 30) = 104.2 ,s 甲='104.2 = 10.208. 1x 乙=(27 + 16+ 44+ 27+ 44 + 16 + 40+ 40 + 16+ 40) = 31 ,10同理 sl = 128.8 ,s 乙=-128.8 = 11.349.1跟踪训练 2 解 x 甲=和(7 + 8+ 7 + 9 + 5+ 4 + 9+ 10+ 7+ 4) = 7,同理

11、可得 7乙=7.根据标准差的公式，得s甲=当堂训练1.解析 中平均值和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；中求和后还需取平均数;中方差越大，射击越不平稳，水平越低.362.7解析由题意知这组数据平均数是87+ 94+ 90+ 91 + 90+ 90+ X+ 9191,解得x= 4.所以这组数据的方差是2 1s = 7【(87 91) + (94 91) + (90 91) + (91 91) + (90 91) +2 2(94 91) + (91 91)=7(16 + 9+ 1 + 0+ 1 + 9+ 0)3672 x + b s (2)a xa2s2a x + b a 1 s = ( 1

12、1) + (0 1) + (1 1) + (2 1) + (3 1) = 2.5s24. (1)7(2)2170解析 (1) X =亦(7 + 8 + 7 + 9+ 5 + 4+ 9+ 10+ 7+ 4)=兀=7.1(2) s =祁(7 7) + (8 7) + (7 7) + (9 7) + (5 7) + (4 7) + (9 7) + (10 7) +(7 7)2+ (4 7)2 = 4 , s = 2. 命中环数标准差为2.5. 21 、解析 由题意知(a+ 0 +1 + 2 + 3) = 1，解得a= 1,所以样本方差为5.107 - 7* 2+8 - 72+-+4- 72 = 2;同理可得s乙 1.095.所以s甲>s乙.因此说明离散程度越大，标准差就越大.例3解用计算器计算可得x 甲 25.401 , x 乙 25.406 ; s 甲 0.037 , s 乙 0.068.从样本平均数看，甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40mm),差异很小；从样本标准差看，由于s甲v s乙，因此甲生产的零件内径尺寸比乙的稳定程度高得多于是，可以作出判断，甲生产的零件的质量比乙的高一些.跟踪训练3解 甲品种的样本平均数为10,样本方差为2 2 2 2 2(9.8 - 10) +