组合数的性质2

1、11 1、组合定义、组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成一并成一组组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数个元素的所有组合的个数，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示. .mnc2 2、组合数、组合数: :3、组合数公式、组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmman nnnmcam!()!mnncm nm210242322cccc 计算计算有简洁明

2、快的计算方法吗？有简洁明快的计算方法吗？引例引例1：某小组有7人:选出3人参加植树劳动,可以有多少种不同的选法?选出4人参加清扫校园劳动,可以有多少种不同的选法?思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同?这一结果的组合的意义是什么？3537c3547 c即选出3人参加植树劳动或选出4人参加清扫校园劳动都有35种不同的选法.4737cc对应从从7 7位同学中位同学中选出选出3 3位同学位同学构成一个组合构成一个组合剩下的剩下的4 4位同位同学构成一个组学构成一个组合合从从7 7位同学中位同学中选出选出3 3位同学位同学的组合数的组合数37c即：从从7 7位同学中选位同学中选出出4 4位同学的组

3、位同学的组合数合数47c思考二思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？质？ 一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下nm个元素,因此从n个不同元素中取出m个不同元素的每一个组合,与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数,等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数.即 mnnmncc这就是我们今天学习的组合数的第一个性质. 性质性质1mnnmncc性质性质1 1的证明的证明 mnnmncmnnmnnmnmnc)!()!(!)!( !说明：说明：2 2、为了使性质、为了使性质1 1在在m mn n时也能成立

4、时也能成立, ,规定规定01nc 1 1、为简化计算、为简化计算, ,当当m m 时时, ,通常将计算通常将计算 改为计算改为计算 2ncmncn mn 3xynncc 、xyxyn 或或例如例如: :20111201120102011201120102011ccc4 4、该性质又叫、该性质又叫对偶法则对偶法则练习练习（1）计算：97100c=161700 （2）已知：725225xxcc,求x 414ttcctc20（3）已知：,求x=6或7=190 引例引例2 2：一个口袋内装有大小相同的一个口袋内装有大小相同的7 7个白球个白球和和1 1个黑球个黑球（1 1）从口袋内取出）从口袋内取出3

5、 3个球个球, ,共有多少种取法？共有多少种取法？（2 2）从口袋内取出）从口袋内取出3 3个球个球, ,使其中含有使其中含有1 1个黑个黑 球球, ,有多少种取法？有多少种取法？（3 3）从口袋内取出）从口袋内取出3 3个球个球, ,使其中不含黑球使其中不含黑球, ,有多少种取法？有多少种取法？ 3537c解：解：2127c 5638c 我们发现：我们发现：372738ccc这是为什么呢这是为什么呢? ? 我们可以这样解释我们可以这样解释: :从口袋内的从口袋内的8 8个球中所取出的个球中所取出的3 3个球个球, ,可以分为两可以分为两类类: :一类一类含有含有1 1个个黑球黑球, ,一类一

6、类不含有不含有黑黑球球. .因此根据分类计数原理因此根据分类计数原理, ,上述等上述等式成立式成立. .372738ccc思考思考：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？1211,1nmna aanmc 一一般般地地，从从这这个个不不同同的的元元素素中中取取出出个个元元素素的的组组合合数数是是， 11aa这这些些组组合合可可分分成成两两类类：一一类类含含有有 ，一一类类不不含含有有 ，1231,nmnaaaanmc 不不含含的的组组合合是是从从这这 个个元元素素中中取取出出个个元元素素组组成成的的，共共有有个个 123111,1nmnaaaanmac 含

7、含有有的的组组合合是是从从这这 个个元元素素中中取取出出个个元元素素与与组组成成的的，共共有有个个； 由由分分类类计计数数原原理理，得得 11mnmnmnccc性质性质2 2ccmnmn1 :证明)!1()!1(!)!( !mnmnmnmn)!1( !) 1( !mnmmnmnn)!1( !)1(mnmnmmn!) 1(!)!1(mnmn.1cmn性质性质2 2的证明的证明 11mnmnmnccc 注注:1:1 公式特征公式特征: :下标相同而上标差下标相同而上标差1 1的两个组合数之的两个组合数之和和, ,等于下标比原下标多等于下标比原下标多1 1而上标与原组合数上标较大而上标与原组合数上标

8、较大的相同的一个组合数的相同的一个组合数 2 2 此性质的作用此性质的作用: :恒等变形恒等变形, ,简化运算简化运算. .3 3 4 该性质又叫增一法则该性质又叫增一法则11mnmnmnccc等式体现：等式体现：“含与不含某元素含与不含某元素”的分类思想的分类思想. 11()()mmmnnnaccac含含素元素不元练习：练习：mnc 化简（用化简（用 形式表示）形式表示）9 08 99 99 9c c mnc89999099cc92004102005cc变式一：90100c102004c899990100-cc变式二：9099c0c -8m7mc变式三：81mc例例 1 计算计算198200

9、( 1 ) ;c329999( 2 ) ;cc 332898( 3 ) .2ccc22002001991990021 c 31001009998161700321 c 3322388888562()ccccc;11111)1( ccccmnmnmnmn.21211)2( ccccmnmnmnmn例例2 求证求证:.111111)1(ccccccmnmnmnmnmnmn .)()(2121111111)2( ccccccccccmnmnmnmnmnmnmnmnmnmn0129456131cccc（）计算 ；2222234102cccc（）计算 ；例例3常用的等式常用的等式:111010kkkkk

10、kcccc一一个个组组合合数数简简为为能能使使多多个个组组合合数数的的和和化化，连连续续使使用用性性质质11 mnmnmnccc练习：_,8771ncccnnn则若(1)（2）已知 , c12 = c11 + c11 7 7 x x则则 n,c3241863n18则则）若）若（nc69584737cccc(4)计算计算（5）2100252423aaaa 计算计算1456或或2210ccccc5545352515222)6( 计算计算计算：计算： 69584737cccc解：解：原式原式 34567789()cccc568489ccc568489()ccc6959cc610c410c10 9 8

11、 72104! 2 2、数学思想：、数学思想：mn mnncc11mmmnnncc c1 1、组合数的两个性质、组合数的两个性质从从特殊到一般特殊到一般的归纳思想的归纳思想取法与剩法的取法与剩法的一一对应一一对应的思想的思想.(3)含与不含其元素的分类思想性性 质质ccmnnmncccmnmnmn11应应 用用简化计算简化计算等式证明等式证明证明证明例例1.100件产品中，有件产品中，有98件合格品，件合格品，2件次品，从件次品，从100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3件件（只列式，不计算）（只列式，不计算）（1）一共有多少种不同的抽法？）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的）抽出的3件都不

12、是次品的抽法有多少种？件都不是次品的抽法有多少种？（3）抽出的）抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法有多少件是次品的抽法有多少种？种？（4）抽出的）抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的取法有多少件是次品的取法有多少种？种？3100c398c29812cc1982229812cccc 3983100cc 练习：练习：（1）某校开设）某校开设9门课程供学生选修，其中门课程供学生选修，其中a,b,c三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位学生选修每位学生选修4门，则共有多少种不同选修方案？门，则共有多少种不同选修方案？（2）某班级要从）

13、某班级要从4名男生名男生2名女生中选派名女生中选派4人参加人参加某次社区服务，如果要求至少有某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不名女生，那么不同的选派方案有多少种？同的选派方案有多少种？75463613 ccc1424223412 cccc141264446 ccc例例2.现有现有8名青年，其中有名青年，其中有5名胜任英语翻译工作，名胜任英语翻译工作，有有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承名青年承担一项任务，其中担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，名从事英语翻译

14、工作，2名从名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？练习：在练习：在10个学生中，有个学生中，有3人只会唱歌，人只会唱歌，2人人只会跳舞，其余只会跳舞，其余5人能唱会舞，现要挑选人能唱会舞，现要挑选3名名会唱歌的组成歌咏组，同时挑选会唱歌的组成歌咏组，同时挑选3名会跳舞名会跳舞的组成舞蹈组，若每个学生只能参加一组，的组成舞蹈组，若每个学生只能参加一组，总共有多少种不同的选法？总共有多少种不同的选法？675例例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；）分给甲、乙、

15、丙三人，每人两本；（2）分成三份，每份两本；）分成三份，每份两本；（3）分成三份，一份）分成三份，一份1本，一份本，一份2本，一份本，一份3本；本；（4）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙3人，一人人，一人1本，一人本，一人2本，一人本，一人3本；本；（5）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；人，每人至少一本；（6）分给）分给5个人，每人至少一本；个人，每人至少一本；（7）6本本相同相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。练习：练习：(1)今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分成三份件分成三份, 二份各二份各1件件,另一份另一份4件件

16、, 有多少种分法有多少种分法?(2) 今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分给甲乙丙三人件分给甲乙丙三人,每每人二件有多少种分法人二件有多少种分法?解解: (1)(2)641111062123150cccc62221064218900cccc四、分类组合四、分类组合,隔板处理隔板处理例例4、 从从6个学校中选出个学校中选出30名学生参加数学竞赛名学生参加数学竞赛,每每校至少有校至少有1人人,这样有几种选法这样有几种选法?分析分析:问题相当于把个问题相当于把个30相同球放入相同球放入6个不同盒子个不同盒子(盒盒子不能空的子不能空的)有几种放法有几种放法?这类问可用这类问可用“隔板法

17、隔板法”处理处理.解解:采用采用“隔板法隔板法” 得得:5294095c思考：把个思考：把个30相同球放入相同球放入6个不同盒子个不同盒子(盒子能空的盒子能空的)，有几种放法有几种放法?练习：练习： （1）将）将8个学生干部的培训指标分配给个学生干部的培训指标分配给5个不个不同的班级，每班至少分到同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少个名额，共有多少种不同的分配方法？种不同的分配方法？的的自自然然数数解解的的组组数数。求求100wzyx)2( 353747 cc1768513103 c五、混合问题，先五、混合问题，先“组组”后后“排排”例例5 对某种产品的对某种产品的6件不同的正品和件不同的

18、正品和4件不同的次品件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第品恰好在第5次测试时全部发现次测试时全部发现,则这样的测试方法则这样的测试方法有几种可能？有几种可能？解：由题意知前解：由题意知前5次测试恰有次测试恰有4次测到次品，且第次测到次品，且第5次测试是次品。故有：次测试是次品。故有： 种可能。种可能。576441634acc练习：练习：1、某学习小组有、某学习小组有5个男生个男生3个女生，从中选个女生，从中选3名名男生和男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法人参加，则有不同参赛方法_种种.解：采用先组后排方法解：采用先组后排方法:312353431080ccca2、3 名医生和名医生和 6 名护士被分配到名护士被分配到 3 所学校为学生所学校为学生体检体检,每校分配每校分配 1 名医生和名医生和 2 名护士名护士,不同的分配方不同的分配方法共有多少种法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法一：先组队后分校（先分堆后分配）223364540c c a解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士生和护士.5401)()(24122