2020届二轮复习(理)专题七第1讲坐标系与参数学案

1、专题七选修4系列第1讲坐标系与参数方程考情研析高考中，该部分内容常以直线、圆锥曲线(主要是圆、椭圆)几何元素为载体，主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角 坐标方程互化；同时进一步考查利用相应方程形式或几何意义解决元素位置关 系、距离、面积等综合问题该部分试题难度一般不大 .核心知识回顾1极坐标与直角坐标的互化公式设点P的直角坐标为(x, y)，极坐标为(P, ，贝U（p B? （x，y）（x，y）? （p, B）X= pcos0, y= pin Bx2+ y2，tanA X 02. 常见圆的极坐标方程(1) 圆心在极点，半径为r的圆： 尸r(OW Q<2n)圆心为 M(a,O

2、)，半径为a的圆： _尸2acosB 詐 其g (3)圆心为Ma，扌，半径为a的圆： 2asi n &0W BW n )3. 常见直线的极坐标方程(1) 直线过极点，直线的倾斜角为a MOP R.(2) 直线过点M(a,O)，且垂直于极轴：生pos皓a二2<扌.(3) 直线过点 Ma,才，且平行于极轴： pin A a(0<n )4. 直线、圆与椭圆的参数方程特征普通方程参数方程'直线过点斜角为口天=.心（住= 90°） y= Tatv （ j-工。）（rH90°）、厂=+/cos $=恥 + wim（/为参数）圆心a)t半径为厂= r2回,r

3、= « + rcOS（?Ty= 6+rsinS ©为参数）焦点在X轴上， 长轴长为2一短 轴长为2A4+=i（d>b>0> x=aCQSdAsin/?"为参数）热点考向探究考向1极坐标方程及应用例1 (2019全国卷U )在极坐标系中，O为极点，点M( p, 0d)( p>0)在曲线 C:尸4sin B上，直线I过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.当oo=n时求p及|的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.解(1)因为M( p，叭在曲线C 上,当也=塾时 P= 4sin3= 2,3.n由已知得 |O

4、P|= |OA|cos3= 2.设Q( p 9为I上除P外的任意一点.在 RtAOPQ 中，pos 9-3 = |OP|= 2.经检验，点P 2，3在曲线pcos 9一3 = 2上，所以，l的极坐标方程为 pos 9才=2.(2)设 P( p, 9)，在 Rt OAP 中，|OP| = |OA|cos9= 4cos9,即尸4cosB因为P在线段0M上，且API OM ,n n 所以B的取值范围是4, 2.n n所以，P点轨迹的极坐标方程为 尸4cosB, 0 4, 2 .方法指导直角坐标与极坐标方程的互化及应用(1) 直角坐标方程化极坐标方程时， 通常可以直接将x= pose, y= pinB

5、代入 即可.(2) 极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造p, psinB, pcosB,常用的技巧有式子两边同乘以 p两角和与差的正弦、余弦展开等.对点精练丨(2019武汉市高三调研)在直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C仁pin=C2： P二片兀42r 3 4sin B(1)求曲线C1, C2的直角坐标方程；曲线C1和C2的交点为M , N,求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标.n得 n . n V2psin 6cos4 + cos Bin4)= 2,解(1)由 pin(0+ 4)=pin 0= y,将代入上式得x+ y= 1.pos 0= x

6、即C1的直角坐标方程为x+ y= 1,1同理，由p = 彳 2可得3 y2= 1, C2的直角坐标方程为3x2y=1.(2)v PM丄PN,先求以MN为直径的圆， 设 M(X1, y”, N(X2, y2),3x2 y2 = 1,222由得 3x2 (1 x)2= 1,即卩 x2 + x 1 = 0.x+ y= 1,f-T| +孔=1 */13 A =_ 则MN的中点坐标为(一专化 | MN | =/1 + 1" | 斗一孔 | =QX /1 - 4 X (- 1) =yTo 二以际为玄径的圆的方程为( + y)(y-y)2令x = 0t得Ay=0或v=3* A所求P点坐标为（0,0

7、）或（趴3.考向2参数方程及应用例2 （2019四川省华文大教育联盟高三第二次质量检测）在平面直角坐标（0为参数），直线I的参数方程为x= cosB, 系xOy中，曲线C的参数方程为y= sin 0X= 2 + tCOSa, A .（t为参数）.y= tsin a（1）求曲线C和直线I的普通方程；（2）直线I与曲线C交于A, B两点，若AB匸1,求直线I的方程.X= COS0c c解对曲线C:消去参数0,得X2 + y2= 1.y= sin 0x= 2 + tcosa,对直线I:消去参数t,y= tsin a当 COSa= 0 时，I: X= 2；当 cosaM0 时，I: y= tan ax

8、 2).x= 2 + tcosa，(2)把 * . y=tsin a代入 x2 + y2= 1 中，得 t2 + 4tcosa+ 3= 0.3 因为= 16co$a 12>0，所以 cos2 d>.4因为 t1 +12= 4cosa，t1t2= 3，|AB|= |t1 12|= 1，所以(t1 12)2 = (t1 + t2)2 4t 1t2 = 16coV a 12= 1，.22132 sin a 3所以 COS a,，所以 tan a 2 .16COS a 13所以tan ±詈，即直线l的斜率为±19.所以直线I的方程为y谱X箸或y £9x+锯9(

9、1) 代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程 通常用代入消参法.(2) 三角恒等式法：利用sin2 a+ COS2 a 1消去参数，圆的参数方程和椭圆的 参数方程都是运用三角恒等式法.(3 )常见消参数的关系式：1 t 1 1; t+ 1 2 t1 2 4; 2+21.对点精练丨(2019太原市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为X tCOS a,以原点0为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2y 1 + tsin a,的极坐标方程为尸2cos 6(1) 若曲线C1方程中的参数是a且C1与C2有且只有一个公共点，求 C1的 普通方程；(2)

10、已知点A(0,1),若曲线C1方程中的参数是t,0<a< n且C1与C2相交于P，1 1Q两个不同点，求 兩+ 両的最大值.解(1)v p 2cos0,曲线C2的直角坐标方程为(x 1)2+ y2 1，x tcos a,T a是曲线C1：的参数，y 1 + tsin a C1的普通方程为x2 + (y 1)2t2，t C1与C2有且只有一个公共点， |t匸'2- 1 或 |t|= ；2+ 1, Ci 的普通方程为 x2+ (y- 1)2= ( ,'2- 1)2 或 x2+ (y- 1)2= (；2 + 1)2.X = tCOSa,(2)v t是曲线Ci：的参数，y=

11、 1 + tsin a二Ci是过点A(0,1)的一条直线，设与点P，Q相对应的参数分别是t1, t2,X= tCOS a,c把代入(x- 1)2 + y2= 1y= 1 + tsin a得 t2 + 2(sin a- cos Mt + 1 = 0,.= 一2(5in(i一coa)= 一 2 勺空前口£一于)*UjZ2 = l >UPl+ra=iT+KT=|f11 + 也li+丨= 22 sin(cr-j) £2雄当 a=T 时 T4 = 4(sin<zcosa)2 4 = 4>0,4；為+爲取得最大值2挖.考向3极坐标与参数方程的综合应用角度1极坐标方程中

12、极径几何意义的应用例3在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为x2= 4y+ 4.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程;x= tCOs a,(2)直线I的参数方程是(t为参数)，1与C交于A, B两点，AB|y= tsin a=8,求I的斜率.解 由x= pos 0, y= pinB可得抛物线C的极坐标方程 pcos2 0 4 pinB 4= 0.(2)在 (1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 =a p R), 设A, B所对应的极径分别为p, p,将I的极坐标方程代入C的极坐标方 程得 pcos2 a 4 pin a-4= 0,2 a 4 coS

13、 a，因为0（否则，直线I与抛物线C没有两个公共点），于是P+尸鹦,4216coSa+ 16si n，2 cos aP P= cosa，|AB|Tp化匸 71由 |AB|= 8 得 cos2 atanoc= ±，所以I的斜率为1或1.方法指导（1）几何意义：极径p表示极坐标平面内点M到极点O的距离.（2）应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用 极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题.对点精练（2019哈尔滨市第三中学高三第一次模拟）已知曲线C仁x+ 3y=空和C2：x= %/6cos©，厂（©为参数）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立

14、极坐y= 2sin ©标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；（2）设C1与x，y轴交于M， N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与 C1, C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离.X= V6cos （b,解（1）：C2的参数方程为（©为参数），2si n ©、x2 y2二其普通方程为6+ 2 = 1，又 C1: x+ , 3y= 3，代可得C和G的极坐标方程分别为ClspHn（5+y）扭八2 _6=TT需而甘M如匸P（參寺）,-OP的极坐标方程为&tE 9 *代入解in（0+令）=亨*得点P的坐标为（1请）把罟代

15、入/ =1+2讨矿得代乜二点Q的坐标为（2诘）.二 I PQl = I1=1.1? RQ两点间的距离专L角度2直线参数方程中参数几何意义的应用例4 （2019山东高三模拟）在直角坐标系xOy中，已知直线I的参数方程为X= 1 + tcos a ,c .（t为参数，a为直线l的倾斜角），点P和F的坐标分别为（y= 3+ tsin a 1,3）和（1,0）;以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建 立极坐标系，曲线c的极坐标方程为尸4COs0-（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线I与曲线C交于A, B两点，且Pa Pb = 2PF2,求a的值. 解 由 尸&q

16、uot;豐,得psin2 0= 4posB,即y2= 4x,sin 0所以曲线C的直角坐标方程为y2 = 4x.X= 1 + tCOSa,222将代入 y2 = 4x 得，t2sin2a+ (6sina 4cos"t + 13 =y= 3 + tsin a,0(s in2 a 0),由题意，得= (6sin a 4coso)2 4X 13sin2a>0, (*)13设A, B对应的参数分别为tl, t2，则tlt2= "7,sin a由点P在直线I上，得2PF2 = 2|PF|2 = 2X ( ,22 + 32)2= 26,所以 13 = 26, 即卩 sin a=牛

17、2,sin a '2结合own所以a4或 a= ¥，将a代入(*),可知a n不适合，a 3n适合.综上,3n方法指导X= xo + tCOSa,对直线参数方程(t为参数)，其中Mo(xo, yo)为定点，a为y= yo + tsin a直线倾斜角的理解(1)几何意义：参数t的绝对值等于直线上动点 M到定点Mo的距离，若t>o, 则MoM的方向向上；若t<o,则MoM的方向向下；若t = 0,则点M与Mo重合.(2)应用：一般应用于过定点的直线与圆锥曲线交于A, B两点，与弦长AB|及其相关的问题，解决的方法是首先用t表示出弦长，再结合根与系数的关系构 造方程、函

18、数式等解决问题.对点精练(2019 州市普通高中高三综合测试)在直角坐标系xOy中，倾斜角为a的直线I的参数方程为X= 2 + tCOsa, y= .3+tsi na(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C的极坐标方程为p= 2pcos9+ 8.(1)求直线I的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线I与曲线C交于A, B两点，且|AB|= 4.2,求直线I的倾斜角.(1)因为直线I的参数方程为X= 2+ tCOs a, y= 3+ tsin a(t为参数)，当a= 时，直线I的直角坐标方程为xa 2.直线I的直角坐标方程为y 3atan c(x- 2).因

19、为 p=x2 + y2, pcosB= x,又因为 p= 2 pcos 0+ 8,所以 x2 + y = 2x+ 8. 所以C的直角坐标方程为x2 + y2 2x-8= 0.因为曲线C的直角坐标方程为x2+ y2 2x 8 = 0, 将直线I的参数方程代入曲线C的方程整理，得 t2 + (2 3sin a+ 2cosc)t 5 = 0.因为= (2 3sina+ 2cosa)2 + 20>0,所以可设该方程的两个根为 ti, t2,则 ti +12= (2 '3sina+ 2cosa), tit2= 5.所以 AB|= |tl t2= , tl + t2 2 4tlt2=4 2.

20、3sin a+ 2c0Sa 2+ 20= 42.整理得(：'3sina+ cos"2 = 3,故 2sin(a+=±'3. 因为 ow a<n ,所以 a+ f= 或 a+ f= £ 解得 a= 6或 a= 2，押题综上所述，直线I的倾斜角为6或n真题真题模拟1. (2019大庆市高三第三次教学质量检测)在直角坐标系xOy中，直线11的、x= 1 /3t,参数方程为(t为参数).以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极y=7 3 +1n坐标系，圆C的极坐标方程为P= 4COS0,射线I2的极坐标方程为 =6( p> 0).(1) 求直线H的

21、倾斜角及极坐标方程；(2) 若射线l2与l1交于点M，与圆C交于点N(异于原点)，求|OM| |ON|.x 1 一解 消去方程'中的参数t,整理得x+ 3y 4 = 0,y=Q 3+1直线li的普通方程为x+.3y 4= 0.设直线l1的倾斜角为a则tana=_33 ,TOW a<n, a=疙6把x= pcosB,y= pin B代入x+ 3y4 = 0,可得直线li的极坐标方程为 posB+ 3 psin 0= 4.n4(2)把0= 6代入li的极坐标方程中得|OM|= P = 3，把0=6代入圆的极坐标方程中得|ON|= p= 2 3, |OM| |ON|= p p= 8.j

22、n"n2. (2019江苏高考)在极坐标系中，已知两点A 3, 4 , BJ2, 2，直线In的方程为pin 0+ 4 = 3.(1) 求A, B两点间的距离； 求点B到直线I的距离.解(1)设极点为O.在厶oab中，a3, n, b 2, n,由余弦定理，得AB|=32 + .'2 2 2X 3X ；2 X cos； ： = 5.n(2) 因为直线l的方程为psin 0+4 = 3,所以直线I过点3 2, n，倾斜角为3n n3 n n又B 2,，所以点B到直线I的距离为(3 2 ,2)X sin = 2.3. (2019郴州市高三第三次质量检测)在直角坐标系xOy中，曲线

23、C1的参数X= tcos a,方程为(t为参数，0Wa<n，点M(0, 2).以坐标原点O为极y= 2 + tsin a点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p= 4,2cos( 0+才).(1) 求曲线C2的直角坐标方程，并指出其形状；1 1(2) 曲线C1与曲线C2交于A, B两点，若丽|+丽厂，求sina的值.解 (1)由 尸 4,2cos(0+ /,得 p= 4cos0- 4si n 0, 所以 p= 4pos0 4 psin 0,即 x2 +=4x 4y, (x 2)2 + (y+ 2)2= 8.X= tCOSa,代入(x 2)2 + (y+ 2)2 = 8,

24、将所以曲线C2是以(2, 2)为圆心，2 '2为半径的圆.y= 2+ tsin a整理得 t2 4tCOSa 4= 0,设点A, B所对应的参数分别为ti, t2，则ti +12= 4cosa tit2= 4.1 + 丄_ |MA| + |MB|_ Iti 1+ |t2| |MA|+|MB厂 |MA|MB| _ |tit2|ti 12|； ti +12 2 4tit2;16coSa+ 16444甘7 解得 coS a16,贝U sin4. (2019 -全国卷皿)如图*在极 坐标系 Oh A ( 2, 0 ),A弧AB.BC.CD所在圆的圆心分别是(1,0),曲线是弧乔曲线是弧5?仙线

25、随是MCD.(1) 分别写出的极坐标方程；(2) 曲线M由, M2 t M3构成，若点P在M上，且 11=73,求P的极坐标.A rj 口广 广门解(1)由题设可得，弧'八' '所在圆的极坐标方程分别为 尸2cos 0, p 2sin 0, 2cos 0,n所以Mi的极坐标方程为p 2cos0 0< 0<4 ,n 3 nM2的极坐标方程为p 2sin04<其才,M3的极坐标方程为p_ 2cos 0沽 其n .设P(p, ，由题设及(1)知若 0W 0<4，则 2cosB= .3,解得 0= 6；若n<其3n,则2sin0=羽，解得0= 3或

26、=2n；若3n< 其 n 则一2cos 0=/3，解得 0= *综上，P的极坐标为，3，总或，3，扌或.3，寻或.3，57 .金版押题5在平面直角坐标系中，以原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐22x=2+ 2COS0,标系，曲线C1的极坐标方程为p(1 + 3sin2 0 = 4，曲线C2：(0y=2sin 0为参数).(1) 求曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；1 1(2) 极坐标系中两点A( p1， 0)，B p， 0+ 2都在曲线C1上，求p + p的值.2C2的普通方程为解(1)由题意可得，曲线C1的直角坐标方程为4+y2= 1， (x 2)2 + y2= 4.(2

27、)由点A，B在曲线C1上，得2P=n,n1 + 3sin2 0 + 2211+3cos 0，P= 4 ，1 + 3sin2 &+ 1 + 3cos2 0 52424p= 1 + 3sin20，厂 4=4.配套作业1 1 因此2+ -2 =P Pc 31. (2019广西八市高三联合考试)已知曲线I的参数方程为x=2+号，4 (t y= 4为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 P= 4(2cos (一 n .(1)求曲线C的直角坐标方程；设P(2,1)，直线l与曲线C交于点A，B,求|PA| |PB|的值.解 由 尸4/2cos (0 n ,得 P=

28、 4cos0+ 4sin 0, p= 4 pcos0+ 4 pin 0, 又 x= pos 0, y= psin 0, x2+ y2 = 4x+ 4y,即曲线C的直角坐标方程为(x 2)2 + (y 2)2 = 8.c 3x= 2+ 5t,(2)将代入C的直角坐标方程，得,4尸1 392/42c 2825 +( 5t 1)二8,二t + 8t 7二0,设A, B两点对应的参数分别为ti, t2,A tit2= 7.I的极坐标方程 圆C的参数方程 求线段PQ的长.C的圆心为(0,2),则 |PA| |PB匸"2匸 7.2以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线n n是2 pin

29、 0+ 6 = 5 3,射线OM : 0= §,在直角坐标系xOy 中,x= 2COS©,为y= 2 + 2si n ©(©为参数).(1) 求圆C的普通方程及极坐标方程；(2) 射线OM与圆C的交点为O, P,与直线I的交点为Q,x=2cos ©解(1)由圆C的参数方程(©为参数)知，圆y=2 + 2si n ©半径为2,所以圆C的普通方程为x2+ (y 2)2 = 4,将 x= pcos0, y= pin 0代入 x2+ (y 2)2 = 4,得圆C的极坐标方程为尸4sin0尸 4sin 0,n设P(pi , 0),则由

30、 n解得2, 0i = 6.6，设Q( p2, 0),则由解得 p= 5, 02= n所以线段PQ的长|PQ|=|p p| = 3.n3 在平面直角坐标系 xOy中，倾斜角为 aa 2的直线I的参数方程为X= 1 + tCOSa,.(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极y= tsin a坐标系，曲线C的极坐标方程是pcosy=代入 x2 = 4y，得 t2 6 2t + 2 = 0.设A，B两点对应的参数分别为t1, t2. 0 4sin0= 0.(1) 写出直线I的普通方程和曲线C的直角坐标方程；n(2) 已知点P(1,0).若点M的极坐标为1, 2，直线I经过点M且与曲线

31、C 相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值.X= 1 + tCOsa，解(1)V直线I的参数方程为(t为参数)，y=tsin a直线I的普通方程为y=tana(x 1).由 pos2 0 4sin= 0 得 pcosv Q为线段AB的中点， 0 4 psin 0= 0，即卩 x点Q对应的参数值为 呼=622 = 3 2. 4y= 0. 曲线C的直角坐标方程为x又点 P(1,0),则 |PQ|= 3 2.4. (2019兰州市高三二诊)在直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为x= 2+ 2cos6,= 4y.nV点M的极坐标为1, 2，点M的直角坐标为(0,1).3 n t

32、an a= 1，直线I的倾斜角a= 34.x= 标系，曲线C2的极坐标方程为 尸4sinB.直线I的参数方程为(t为参数).(1) 求曲线Cl的普通方程和C2的直角坐标方程；(2) 已知曲线C3的极坐标方程为 缸a, 0<a<n, p R，点A是曲线C3与Ci 的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O,且|AB| = 4 '2，求 实数a的值.x= 2 + 2cos 6,解 由曲线Ci的参数方程为(6为参数)，y= 2sin 6消去参数得曲线Ci的普通方程为(x2)2 + y2= 4，因为曲线C2的极坐标方程为 尸4si n所以p = 4 pi nd所以C2

33、的直角坐标方程为x2 +4y,整理得 x2 + (y2)2= 4.(2>C! ：一？)"=4化为扱坐标方程卩=4cg洪所以I AB| pApB I = 4l sina cosal = 4 松=4 yr.所以sin a )=士1,所以a-=手+斤*丘W L * 即又因为0 VaVir.所以a= ¥44x= 2cos 0,5在直角坐标系xOy中，已知圆C:c (0为参数)，点P在直线y= 2sin 0l: x+ y 4= 0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.(1) 求圆C和直线I的极坐标方程；(2) 射线OP交圆C于点R,点Q在射线OP 上,且满足|

34、OP|2= |OR| |OQ|,求 Q点轨迹的极坐标方程.4解 圆C的极坐标方程p= 2,直线I的极坐标方程为p=sin 0+ cos0设P, Q, R的极坐标分别为(p1, 0, (p, 0, (p, 0,4因为 p1,2,sin + cos0又因为 |OPf |OR| |OQ|, 即卩 ppp, p 161所以 P=c=2X°,p sin 0+ cos02'8所以Q点轨迹的极坐标方程为 尸一.“1 + sin2 06. （2019青岛市高三一模）直角坐标系xOy中，曲线 Ci的参数方程为 X= 2+ /5cOSa,（其中a为参数）.以O为极点，以X轴的非负半轴为极轴建 y

35、= 1+ ：5sin a3 n立极坐标系，直线I的极坐标方程为0=巨（卩 R）,曲线C2： p= 4sin0（1）求曲线C1的普通方程和极坐标方程；（2）已知直线I与曲线C1和曲线C2分别交于M和N两点（均异于点O）,求线 段MN的长.X= 2+/5cosa,解 因为曲线C1的参数方程为（a为参数）,y= 1+寸5sin a所以C1的普通方程为（x- 2）2 + （y 1）2= 5,x= pcosO,在极坐标系中，将代入得p 4 pcos0-2 pin 0= 0,y= psin 0化简得，C1的极坐标方程为p= 4cos 0+ 2sin 03冗（2）因为直线l的极坐标方程为0=才（p R）, 且直线l与曲线C1和曲线C2分别交于M , N, 可设駅肌,竽）,N仏,竽）,将，牛）代入得pj =节+ 2sin卡=也X（-f）+2xf=-#.# N仏.攀）代入曲线C2