清华大学物理课件：量子物理

1、1 第六章第六章 量子物理量子物理 基础基础 (1)(1)2引言引言 十九世纪末，经典物理已相当成熟，十九世纪末，经典物理已相当成熟，对物理现象本质的认识似乎已经完成。对物理现象本质的认识似乎已经完成。但在喜悦的气氛中，还有两朵但在喜悦的气氛中，还有两朵小小的令人不安的乌云：小小的令人不安的乌云：跳出传统的物理学框架！跳出传统的物理学框架！？寻找以太的？寻找以太的 零结果零结果？热辐射的？热辐射的紫外灾难紫外灾难寻找以太的寻找以太的 零结果零结果 相对论相对论热辐射的紫外灾难热辐射的紫外灾难 量子论量子论36.10 6.10 黑体辐射和普朗克的能量子假说黑体辐射和普朗克的能量子假说分子分子(

2、(含有带电粒子含有带电粒子) )的热运动使物体辐射的热运动使物体辐射电磁波。这种辐射与温度有关，称为电磁波。这种辐射与温度有关，称为热辐射热辐射 ( (heat radiation)heat radiation)。热辐射的电磁波的能量对波长有一个分布。热辐射的电磁波的能量对波长有一个分布。 例如加热铁块，随着温度的升高例如加热铁块，随着温度的升高: : 开始不发光开始不发光 黄白色黄白色橙色橙色暗红暗红温度不同，热辐射的电磁波的能量不同，温度不同，热辐射的电磁波的能量不同， 波长分布不同。波长分布不同。4 温度为温度为t t时时, ,单位时间内从物体单位表面发出的单位时间内从物体单位表面发出的

3、波长在波长在 附近单位波长间隔内的电磁波的能量，附近单位波长间隔内的电磁波的能量，称为称为单色辐出度单色辐出度m m (t)(t)1 1单色辐出度单色辐出度m m (t)(t)一一. .描述热辐射的物理量描述热辐射的物理量 dde)t( m m 的的sisi单位为单位为w/mw/m3 3 de de 温度为温度为t t时时, ,单位时间内从物体单位表面单位时间内从物体单位表面发出的波长在发出的波长在 + + d d 间隔内的电磁波的能量间隔内的电磁波的能量 m m (t) (t) 表示辐射能量按波长的分布。表示辐射能量按波长的分布。52.2.总辐出度总辐出度m(t)m(t) 0)()( dtt

4、 m m 的单位为的单位为w/mw/m2 23.单色吸收率单色吸收率 ( (t)t)入射）入射）吸收）吸收）()( dedet 以上这些物理量均与物体以上这些物理量均与物体 种类及其表面情况有关。种类及其表面情况有关。 （t t）温度为温度为t t时时, ,（单位时间内）入射（单位时间内）入射到物体（单位表面）的到物体（单位表面）的, ,波长在波长在 + + d d 间隔间隔内的电磁波的能量，被物体吸收的百分比。内的电磁波的能量，被物体吸收的百分比。6平衡热辐射平衡热辐射此时物体具有固定的温度。此时物体具有固定的温度。以下只讨论平衡热辐射的情况。以下只讨论平衡热辐射的情况。 1.1.黑体黑体:

5、 :能完全吸收照射到它上面的各种能完全吸收照射到它上面的各种 波长的电磁波的物体，称为黑体。波长的电磁波的物体，称为黑体。物体辐射的能量等于在同一时间内所物体辐射的能量等于在同一时间内所吸收的能量时，热辐射过程达到热平衡，吸收的能量时，热辐射过程达到热平衡，称为称为平衡热辐射平衡热辐射。二二. .黑体和黑体辐射的基本规律黑体和黑体辐射的基本规律7 维恩维恩设计的黑体：设计的黑体：不透明材料的空腔不透明材料的空腔 开开一个小孔。一个小孔。 黑体黑体实验表明：实验表明：辐射本领大的物体，辐射本领大的物体，吸收本领也大。吸收本领也大。（演示）（演示）。 黑体能黑体能吸收吸收各种波长的电磁波，也能各种

6、波长的电磁波，也能辐射辐射 各种波长的电磁波。各种波长的电磁波。黑体的吸收本领最大，辐射本领也最大黑体的吸收本领最大，辐射本领也最大黑体的黑体的单色吸收率单色吸收率 ( (t)=1-t)=1-理想模型理想模型。8 对各种具体物体的总辐出度，可以通过实验对各种具体物体的总辐出度，可以通过实验 定出的定出的“黑度系数黑度系数”( (有有“机电手册机电手册”可查可查) ) 来得出。来得出。而黑体的热辐射正好与空腔的形状、材料及而黑体的热辐射正好与空腔的形状、材料及 表面状态表面状态 都无关。都无关。 研究热辐射研究热辐射本身本身的规律，应利用辐射本领的规律，应利用辐射本领 m m 只与温度有关，而和

7、材料及表面状态无关的只与温度有关，而和材料及表面状态无关的 物体。物体。）（）（物体的黑度系数物体的黑度系数黑体黑体物体物体tmtm 例例. . 油毛毡（法向）油毛毡（法向） 0.93 (200.93 (200 0c)c) 氧化铜（法向）氧化铜（法向） 0.60.60.7(500.7(500 0c c) )9研究黑体辐射的实验装置示意图研究黑体辐射的实验装置示意图: :黑体黑体热电偶热电偶( (测测 m m (t)(t) )光栅光谱仪光栅光谱仪t tm 黑体单色辐出度黑体单色辐出度m m (t)(t) 曲线曲线 实验结果实验结果102 2斯特藩斯特藩玻耳兹曼定律（实验定律）玻耳兹曼定律（实验定

8、律）其中常量其中常量 =5.67=5.671010- 8- 8 /m/m2 2k k4 4 3 3维恩位移定律（实验定律）维恩位移定律（实验定律）黑体辐射光谱中辐射最强黑体辐射光谱中辐射最强的波长与黑体温度的波长与黑体温度t t 之间之间满足反比关系满足反比关系tbm 其中常量其中常量 b = 2.89b = 2.891010-3-3 m mk km （1. 1. 黑体）黑体）4)(ttm 总辐出度总辐出度m(t)m(t)与黑体温度的四次方成正比与黑体温度的四次方成正比11热辐射定律的发现热辐射定律的发现斯特藩斯特藩玻耳兹曼定律和玻耳兹曼定律和维恩位移律是维恩位移律是测量高温测量高温、遥感遥感

9、和和红外追踪红外追踪等技术的等技术的物理基础。物理基础。维恩维恩 (wilhelm wien 德国人德国人 1864-1928)1911年年 诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖 获得者获得者12三三. .经典物理学所遇到的困难经典物理学所遇到的困难 - - 如何解释黑体辐射曲线？如何解释黑体辐射曲线？ 空腔壁产生的热辐射，想象空腔壁产生的热辐射，想象 成空腔壁内有许多以壁为成空腔壁内有许多以壁为 节点的许多电磁驻波。节点的许多电磁驻波。 其中最典型的是维恩公式其中最典型的是维恩公式 和瑞利和瑞利金斯公式金斯公式黑体内的驻波黑体内的驻波但是但是， 由经典理论导出的由经典理论导出的m m (t)(t)

10、公式都与实验结果不符合！公式都与实验结果不符合！13（1 1）维恩公式（非前面的维恩位移公式）维恩公式（非前面的维恩位移公式） 假定驻波能量按频率的分布类似于假定驻波能量按频率的分布类似于 麦克斯韦速度分布率（经典的）。麦克斯韦速度分布率（经典的）。（2 2）瑞利）瑞利金斯公式金斯公式 假定驻波的平均能量为假定驻波的平均能量为 ktkt （经典的能量均分定理）（经典的能量均分定理）在长波段，维恩线明显偏离实验曲线！在长波段，维恩线明显偏离实验曲线！在紫外区在紫外区( (短波段短波段) )与实验明显不符，与实验明显不符， 短波极限为无限大短波极限为无限大“紫外灾难紫外灾难”！14o(m)1 2

11、3 5 6 8 947mb维恩维恩瑞利瑞利-金斯金斯实验值实验值紫紫外外灾灾难难15四四. .普朗克的能量子假说和黑体热辐射公式普朗克的能量子假说和黑体热辐射公式1.1.普朗克假设（普朗克假设（19001900年）年） ( (普朗克与鲁本斯普朗克与鲁本斯) )。对于频率为对于频率为 的电磁辐射，的电磁辐射，物体只能以物体只能以 h h 为单位发射为单位发射或吸收它。或吸收它。即物体发射或吸收电磁辐射即物体发射或吸收电磁辐射只能以只能以“量子量子”方式进行，每方式进行，每个个能量子能量子的能量为的能量为 = = h h 其中其中 h = 6.626h = 6.6261010 - 3 4 - 3

12、4 j js s 称为普朗克常数。称为普朗克常数。162.2.普朗克公式普朗克公式 能量不连续的概念与经典能量不连续的概念与经典 物理学是物理学是完全不相容的！完全不相容的！ 但由此但由此, ,普朗克导出了与实验结果极为符合普朗克导出了与实验结果极为符合 的普朗克公式：的普朗克公式： 112/52)( kthctmehc 3 3经典极限：经典极限：h0h0 h h kt kt，能量，能量连续连续( (普朗克的排徊普朗克的排徊;1918 ;1918 诺贝尔物理奖诺贝尔物理奖) )176 61 1 光电效应光电效应 金属及其化合物在电磁辐射照射下发射电子的金属及其化合物在电磁辐射照射下发射电子的现

13、象称为光电效应，所发射的电子称为光电子现象称为光电效应，所发射的电子称为光电子。实验装置：实验装置：gdgd为光电管，为光电管，光通过石英窗口照射光通过石英窗口照射阴极阴极k k，光电子从阴极，光电子从阴极表面逸出。表面逸出。光电子在电场加速下向光电子在电场加速下向阳极阳极a a运动，形成光电流。运动，形成光电流。18实验规律实验规律（1 1）用光强一定的某种频率的光照射，得）用光强一定的某种频率的光照射，得到的饱和光电流强度到的饱和光电流强度i im m是一定的，光强越是一定的，光强越大，饱和光电流强度也越大。大，饱和光电流强度也越大。 当电压当电压 u=0 u=0 时，光电流时，光电流并不

14、为零；只有当两极间并不为零；只有当两极间加了反向电压加了反向电压 u =u =u uc c 0 ii1 1u ui iu uc c 截止电压截止电压。19这表明：这表明：从阴极逸出的光电子必有初动能。从阴极逸出的光电子必有初动能。cmeuum 221设设 u um m 为光电子的最大初动能，则有为光电子的最大初动能，则有（2 2）相同频率但强度大小不同的光照射，）相同频率但强度大小不同的光照射， 截止电压截止电压u uc c是相同的。是相同的。 （这与经典电磁波的概念完全不同）（这与经典电磁波的概念完全不同）截止电压截止电压u uc c与频率的具体实验规律如下：与频率的具体实验规律如下：20

15、电压电压 u uc c与与 入射光入射光频率频率 呈线性关系呈线性关系c cs sn na ac ca au uc c(v)(v) (10(101414h hz z) )实验规律实验规律u uc c= k= k - u - u0 0其中其中k k 为普适常数为普适常数直线与横坐标的交点直线与横坐标的交点就是就是红限频率红限频率 0.0.ku00 u u0 0 与材料有关与材料有关21（4 4）光电效应是瞬时发生的）光电效应是瞬时发生的 只要入射光频率只要入射光频率 0 0，无论光多微弱，无论光多微弱， 从光照射阴极到光电子逸出，驰豫时间从光照射阴极到光电子逸出，驰豫时间 不超过不超过10 10

16、 -9-9 s s 。（这与经典电磁波的概念也完全不同）（这与经典电磁波的概念也完全不同）（3 3）不论光强多大，）不论光强多大， 只有当入射光频率只有当入射光频率 大于一定的红限频率大于一定的红限频率 0 0 时，才会产时，才会产 生光电流。生光电流。 （这与这与 经典电磁波的概念也完全不同）经典电磁波的概念也完全不同） 226 62 2 光子与光的二相性光子与光的二相性爱因斯坦爱因斯坦19051905年提出了年提出了光量子假设光量子假设：（1 1）电磁辐射由以光速）电磁辐射由以光速c c 运动的运动的 局限于空间某一小范围的光局限于空间某一小范围的光 量子（光子）组成，每一个量子（光子）组

17、成，每一个 光量子的能量光量子的能量 与辐射频率与辐射频率 的关系为的关系为 = = h h 其中其中h h 是普朗克常数。是普朗克常数。（2 2）光量子具有）光量子具有“整体性整体性”。 一个光子只能整个地被一个光子只能整个地被 电子吸收或放出。电子吸收或放出。23对光电效应的解释：对光电效应的解释： 光照射到金属表面时，一个光子的能量光照射到金属表面时，一个光子的能量可以立即被金属中的自由电子吸收。但只有可以立即被金属中的自由电子吸收。但只有当入射光的频率足够高当入射光的频率足够高( (每个光量子的能量每个光量子的能量 h h 足够大时足够大时) )，电子才有可能克服，电子才有可能克服 逸

18、出功逸出功逸出金属表面。逸出金属表面。ahumm 221 光电子的最大初动能只与入射光的频率光电子的最大初动能只与入射光的频率有关，与光的强度无关。有关，与光的强度无关。逸出的电子的最大初动能为逸出的电子的最大初动能为（a-a-逸出功）逸出功）24ha 0 当当 即即 时，时，0212 ahumm ha 电子的能量不足以克服逸出功电子的能量不足以克服逸出功 而发生光电效应，所以存在而发生光电效应，所以存在红限频率红限频率: :ahumm 221)(2102ukeeuumcm 0eua hek 250eua hek -a ,ua ,u0 0 都与材料有关都与材料有关- - 密立根精确地测量得密立

19、根精确地测量得k k计算得普朗克常数计算得普朗克常数 h = 6.56h = 6.56 10 10-34 -34 jsjs与当时用其他方法测得的符合与当时用其他方法测得的符合得相当好。当时这是对得相当好。当时这是对爱因斯爱因斯坦坦光子假设的极大支持。光子假设的极大支持。密立根密立根 1923年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖26l光电效应对于光的本质的认识和光电效应对于光的本质的认识和 量子论的发展曾起过重要的作用。量子论的发展曾起过重要的作用。l分析光电效应所产生的分析光电效应所产生的光电子能谱光电子能谱， 已经成为一种有效的物质的已经成为一种有效的物质的 表面分析手段。表面分析手段。只要只要

20、 0 0，立刻就有光电子产生立刻就有光电子产生 （瞬时效应）。（瞬时效应）。 爱因斯坦于爱因斯坦于19211921年，年， 为此获诺贝尔物理奖为此获诺贝尔物理奖。27普朗克是这个杂志的主编，他对爱因斯坦普朗克是这个杂志的主编，他对爱因斯坦的工作给予了高度的评价。的工作给予了高度的评价。28光子的能量：光子的能量：光子的质量：光子的质量： hchmcp 2chm 光子的动量：光子的动量：-光有二象性。光有二象性。描写描写光的粒子性光的粒子性的的 、p，与，与描写描写光的波动性光的波动性的的 、 通过通过 = = h h ； 相联系相联系 hp = = h h 29 第六章第六章量子物理基础量子物

21、理基础 (2)(2)上上306.3 6.3 康普顿散射康普顿散射 光具有光具有波粒二象性波粒二象性。在有些情况下，光。在有些情况下，光突出地显示出其波动性；而在另一些情况突出地显示出其波动性；而在另一些情况下，则突出地显示出其粒子性。下，则突出地显示出其粒子性。描述光的波动性：描述光的波动性：波长波长 ，频率，频率 描述光的粒子性：描述光的粒子性：能量能量 ，动量，动量 p p康普顿散射是光康普顿散射是光显示出其粒子性的又一显示出其粒子性的又一著名实验。著名实验。由光的量子论：由光的量子论： = = h h 和质能关系：和质能关系： 2 2 = = p p2 2c c2 2 + m+ m0 0

22、2 2c c4 4 = = p p2 2c c2 231得光子的动量得光子的动量 p = hp = h /c = h /c = h / 令令 = = h/2h/2 ，圆频率，圆频率 = 2= 2， 得基本关系式得基本关系式: : = = h h = = knhp19231923年，年，康普顿研究康普顿研究 x x射线射线与与石墨石墨的散射。的散射。32一一. .康普顿散射的实验装置与规律：康普顿散射的实验装置与规律： 按经典电磁理论：按经典电磁理论： 如果入射如果入射 x x光光 是某种波长的是某种波长的 电磁波，散射电磁波，散射 光的波长是光的波长是 不会改变的！不会改变的！x-rayx-r

23、aysourcesourceincidentincident beam beamscatteredscattered beam beamcrystalcrystaldetector detector lead leadcollimatingcollimating slits slitsscattererscatterer 实验装置实验装置33这是这是x x射线晶射线晶体散射仪体散射仪康普顿正在测晶体康普顿正在测晶体对对x x射线的散射射线的散射34 在散射的在散射的x x射线中，射线中，除有波长与入射射线除有波长与入射射线相同的成分相同的成分 0 0外，外，还有波长较长的成分。还有波长较长的成

24、分。波长的偏移为波长的偏移为00243. 00)cos1 (a 其中其中 0 0入射波的波长入射波的波长 散射波的波长散射波的波长 散射角散射角通常令通常令oca0243. 0 c c称为电子的称为电子的 comptoncompton波长。波长。实验结果：实验结果： = 0o 4 5o 9 0o 1 3 5o 0.7000.7000.7500.750x x光在石墨上散射的角分布光在石墨上散射的角分布35康普顿效应的特点：康普顿效应的特点：（1 1）波长偏移只与散射角）波长偏移只与散射角 有有关，而与关，而与 散射物质及入射的散射物质及入射的x x射线的波长射线的波长 0 0 无关；无关；（2

25、2）散射线中还有与原波长相同的射线；）散射线中还有与原波长相同的射线；（3 3）只有当入射波长）只有当入射波长 0 0较短与电子的康普顿较短与电子的康普顿 波长波长 可比拟时，康普顿可比拟时，康普顿 效应才显著效应才显著. . oca0243. 0 36二二. .康普顿的解释康普顿的解释 石墨中的外层电子在原子中结合较弱，石墨中的外层电子在原子中结合较弱，因因x x光的光子能量很大，可认为这些光的光子能量很大，可认为这些电子是电子是静止的自由电子静止的自由电子。x x射线的射线的光子光子与静止的与静止的自由电子自由电子之间的之间的弹性碰撞弹性碰撞。并假设。并假设在碰撞过程中能量在碰撞过程中能量

26、守恒守恒, ,动量守恒。动量守恒。定性分析：定性分析：光子把部分能量传给了电子，能量光子把部分能量传给了电子，能量减小减小, ,频率变小频率变小, ,因而波长变长。因而波长变长。37 定量计算：定量计算：按能量与动量守恒定律应有按能量与动量守恒定律应有 vmnhnhmchcmh 002200解出的波长偏移解出的波长偏移（推导见书）：（推导见书）： cos10243. 0)cos1 (00 cmh和实验结果完全符合！和实验结果完全符合！38 为什么在散射线中还观察到有与原波长为什么在散射线中还观察到有与原波长 相同的射线？相同的射线？ 为什么，在可见光的散射中观察不到为什么，在可见光的散射中观察

27、不到 波长偏移现象？波长偏移现象？（光子与石墨中被原子核束缚很紧的内层电子（光子与石墨中被原子核束缚很紧的内层电子 的碰撞，应看做是光子和的碰撞，应看做是光子和整个原子整个原子的碰撞）的碰撞）（最大为最大为0 004860486；是可见光的；是可见光的1010-5-5） 为什么为什么与散射物的种类无关？与散射物的种类无关？（散射物中的电子看成（散射物中的电子看成自由电子自由电子）39三三. .康普顿散射实验的意义康普顿散射实验的意义（1 1）有力地支持了）有力地支持了“光子光子”概念；概念； 也证实了普朗克假设也证实了普朗克假设 = = h h 的正确的正确；（2 2）首次在实验上证实了）首次

28、在实验上证实了“光子具有动量光子具有动量” 的假设；的假设；（3 3）证实了）证实了在微观的单个碰撞事件中，在微观的单个碰撞事件中， 动量和能量守恒定律仍然是成立的。动量和能量守恒定律仍然是成立的。康普顿的成功也不是一帆风顺的，在他早期的康普顿的成功也不是一帆风顺的，在他早期的几篇论文中，一直认为散射光频率的改变是由于几篇论文中，一直认为散射光频率的改变是由于“混进来了某种荧光辐射混进来了某种荧光辐射”；在计算中起先只；在计算中起先只考虑能量守恒，后来才认识到还要用动量守恒。考虑能量守恒，后来才认识到还要用动量守恒。40 吴有训吴有训（1897-19771897-1977） 吴有训吴有训康普顿

29、与我国物理学家吴有训。康普顿与我国物理学家吴有训。康普顿于康普顿于19271927年获诺贝尔物理奖。年获诺贝尔物理奖。41对轻元素对轻元素 p p 峰很低，峰很低，m m 峰很高；峰很高；随着元素质量的增加，随着元素质量的增加，p p 峰逐渐增高峰逐渐增高,m ,m 峰逐渐降低。峰逐渐降低。（补图）吴有训作的多种元素（补图）吴有训作的多种元素x x射线散射曲线射线散射曲线想一想：如何解释？想一想：如何解释？在同一散射角，不同元素都具有在同一散射角，不同元素都具有相同的峰值位置。相同的峰值位置。吴有训先生曾任我校物系学主任、吴有训先生曾任我校物系学主任、中国科学院付院长。他的学生中中国科学院付院

30、长。他的学生中有多人成为我国两弹一星的功臣。有多人成为我国两弹一星的功臣。426 64 4 粒子的波动性粒子的波动性一一. .德布洛意假设德布洛意假设 （19241924年）年） 关于德布洛意关于德布洛意（1892-19871892-1987）。）。 knhp = = h h = = 实物粒子具有波动性。实物粒子具有波动性。实物粒子有实物粒子有 和和 ， 和它相联系的波的和它相联系的波的 和和 的关系的关系 和光子一样，为和光子一样，为（德布洛意关系）：（德布洛意关系）：p43 德布洛意德布洛意首先对玻尔（原子）模型中的首先对玻尔（原子）模型中的 轨道量子化条件轨道量子化条件作出了解释：作出了

31、解释： 2hnrmv （n=1,2,n=1,2,）mvhnnr 2 2hnmvr 与与 粒子相联系的波称为物质波粒子相联系的波称为物质波, , 或或 德布洛意波。德布洛意波。r r44二二. .实验验证实验验证电子衍射实验电子衍射实验(1)戴维逊戴维逊革末实验（革末实验（19271927年）年） 真空真空电子枪电子枪掠射角掠射角i in ni i单晶单晶u u实验装置示意图实验装置示意图45)(.003122auuemh 得得假如电子具有波动性假如电子具有波动性，应满足应满足布喇格公式布喇格公式 , 3 , 2 , 1ku3 .12ksind2 sin.dku2312cc，2c,3c,2c,3

32、c,此时电表中应出现此时电表中应出现最大的电流最大的电流即即vmhph0 由由euvm 2021及及46cc cc cc cci iu实验结论实验结论: :47（2 2）g.p.g.p.汤姆逊（汤姆逊（19271927年）年） 电子通过金属多晶薄膜的衍射实验电子通过金属多晶薄膜的衍射实验. . 衍衍射射图图象象 实实验验原原理理48g.p.g.p.汤姆逊汤姆逊观察到电子束观察到电子束通过金属箔时通过金属箔时产生的圆环形产生的圆环形条纹条纹19291929年年 德布洛意获诺贝尔物理奖。德布洛意获诺贝尔物理奖。4919371937年，年，戴维逊戴维逊 与与 g.p.g.p.汤姆逊汤姆逊 获诺贝尔物

33、理奖获诺贝尔物理奖g.p.g.p.汤姆逊汤姆逊戴维逊戴维逊50 后来，又有人作了后来，又有人作了电子的单缝、双缝、三缝电子的单缝、双缝、三缝 和四缝衍射实验。和四缝衍射实验。 单单缝缝 双双缝缝 三三缝缝 四四缝缝三三. .一切实物粒子都有波动性一切实物粒子都有波动性 后来实验又验证了：质子、中子和原子、后来实验又验证了：质子、中子和原子、 分子等实物粒子都具有波动性，并都满足分子等实物粒子都具有波动性，并都满足 德布洛意关系。德布洛意关系。51一颗子弹、一颗子弹、 一个足球一个足球 有没有有没有 波动性呢？波动性呢？例题：例题：质量质量m=0.01kgm=0.01kg，速度，速度 v=300

34、m/sv=300m/s的子弹的德布的子弹的德布 洛意波长为洛意波长为 mmvhph34341021. 230001. 01063. 6 因普朗克常数极其微小，因普朗克常数极其微小，子弹的波长小到实验难子弹的波长小到实验难以测量的程度以测量的程度( (足球的波长足球的波长也是如此也是如此) )。只表现出粒子性。只表现出粒子性。52 第六章第六章量子物理基础量子物理基础 （2下）下）53再谈玻尔（原子）模型再谈玻尔（原子）模型 与与 玻尔：玻尔：玻尔把量子论推广到玻尔把量子论推广到原子系统。至今仍然原子系统。至今仍然正确的假设：正确的假设：（1 1）原子中的能量状态）原子中的能量状态也是分立的、稳

35、定的：也是分立的、稳定的：（2 2）当原子从某一能量状态）当原子从某一能量状态跃迁到另一能量状态时跃迁到另一能量状态时mneeh 卢瑟福卢瑟福 - - 玻尔玻尔 54玻尔理论很好地解释了氢原子光谱的波长。玻尔理论很好地解释了氢原子光谱的波长。但是，不能说明氢原子光谱线的强度；但是，不能说明氢原子光谱线的强度； 不能说明复杂的原子光谱结构（即使不能说明复杂的原子光谱结构（即使hehe）。）。理论本身存在困难：理论本身存在困难：（1 1）电子作轨道运动，受到向心力）电子作轨道运动，受到向心力 - - 电子的能量等于动能加电势能电子的能量等于动能加电势能 - - 电子在中心力场中运动角动量守恒电子在

36、中心力场中运动角动量守恒玻尔加一个角动量量子化条件玻尔加一个角动量量子化条件就可得到氢原子能级公式。就可得到氢原子能级公式。. 3 ,2 , 1nnvrme （为什么？）（为什么？）有向心加速度而不辐射能量、稳定。有向心加速度而不辐射能量、稳定。（为什么？）（为什么？）55（2 2）卢瑟福）卢瑟福 给玻尔给玻尔 提的问题提的问题e e1 1e e2 2e e3 3? ?多种频率的光入射多种频率的光入射（3 3）薛定格）薛定格 给玻尔给玻尔 提的问题提的问题电子从电子从 e e1 1 到到 e e2 2过程的速度不可能过程的速度不可能是无限大是无限大 -？玻尔理论在人们认识原子结构的进程中有玻尔

37、理论在人们认识原子结构的进程中有很大的贡献很大的贡献- - 19221922年玻尔获诺贝尔物理奖。年玻尔获诺贝尔物理奖。56玻尔正在讲解他的玻尔正在讲解他的互补原理互补原理玻尔（左）和玻尔（左）和 海森伯（中）海森伯（中） 泡利（右）在一起泡利（右）在一起57在玻尔研究所里在玻尔研究所里学术空气很浓，学术空气很浓，玻尔演讲后与听玻尔演讲后与听众踊跃讨论。众踊跃讨论。哥本哈根学派哥本哈根学派“丹麦是我出生的地方，丹麦是我出生的地方， 是我的故乡，是我的故乡， 是我心中的世界是我心中的世界 开始的地方。开始的地方。”卢瑟福的邀请卢瑟福的邀请普朗克的邀请普朗克的邀请586.5 6.5 概率波概率波如

38、何对波粒二象性正确理解？如何对波粒二象性正确理解？ 一一. .二象性是单个微观粒子的属性二象性是单个微观粒子的属性19491949年，前苏联物理学家年，前苏联物理学家费格尔曼费格尔曼做了做了一个非常精确的一个非常精确的弱电子流衍射实验弱电子流衍射实验电子几乎是一个一个地通过双缝，电子几乎是一个一个地通过双缝，底片上出现一个一个的点子。底片上出现一个一个的点子。（显示出电子具有粒子性）（显示出电子具有粒子性）开始时底片上的点子开始时底片上的点子“无规无规”分布，随着分布，随着电子增多，逐渐形成双缝衍射图样。电子增多，逐渐形成双缝衍射图样。59衍射图样说明每个电子到达屏上各点衍射图样说明每个电子到

39、达屏上各点有一定几率，衍射图样是大量电子有一定几率，衍射图样是大量电子出现几率的出现几率的统计结果。统计结果。德布洛意波德布洛意波也称为也称为几率波。几率波。衍射图样不是电子相互作用的结果衍射图样不是电子相互作用的结果, ,来源于来源于“ “ 单个电子单个电子”具有的波动性。具有的波动性。（放映（放映cai-cai-电子双缝衍射实验）电子双缝衍射实验）60 对微观粒子的二象性的理解：对微观粒子的二象性的理解：（1 1）粒子性）粒子性 指它与物质相互作用的指它与物质相互作用的“颗粒性颗粒性”或或 “整体性整体性”。 但不是经典的粒子！因为微观粒子但不是经典的粒子！因为微观粒子 没有确定的轨道，没

40、有确定的轨道， 应抛弃应抛弃“轨道轨道”的概念！的概念！61（2 2）波动性）波动性 指它在空间传播有指它在空间传播有“可叠加性可叠加性”， 有有“干涉干涉”，“衍射衍射”等现象。等现象。 但不是经典的波！因为它没有某种实际但不是经典的波！因为它没有某种实际 物理量（如质点的位移、电场、磁场）物理量（如质点的位移、电场、磁场） 的波动分布。的波动分布。 要描述微观粒子的运动，应该用一个函数要描述微观粒子的运动，应该用一个函数（波函数），它必须能把（波函数），它必须能把“颗粒性颗粒性”与与 “ “可叠加性可叠加性” 统一起来！统一起来！ 62二二 . .玻恩对波函数的统计诠释玻恩对波函数的统计诠

41、释人们人们 常用常用 （复函数）代表微观粒子的波函数。（复函数）代表微观粒子的波函数。 本身并无物理意义，而本身并无物理意义，而波函数的模的平方（波的波函数的模的平方（波的强度）代表时刻强度）代表时刻t t、在空、在空间间 r r点处，单位体积元中点处，单位体积元中微观粒子出现的几率，微观粒子出现的几率，玻恩为了把玻恩为了把“颗粒性颗粒性”与与 “ “可叠加性可叠加性” 统一起来，给了波函数统一起来，给了波函数一个统计诠释：一个统计诠释：63 ( (r,t)r,t)* * (r,t)dv(r,t)dv表示在时刻表示在时刻t t、空间、空间r r点处，点处，体积元体积元dvdv中发现微观粒子的几

42、率。中发现微观粒子的几率。 ( (r,t)r,t)称为称为“几率振幅几率振幅”。 ( (r,t)r,t) 2 2称为称为 几率密度几率密度。1954年年 玻恩获诺贝尔物理奖。玻恩获诺贝尔物理奖。( (r,t)r,t) 2 2 = = (r,t)(r,t)* * (r,t)(r,t)64波函数应满足的条件：波函数应满足的条件：（）（）自然条件：自然条件：单值、有限、连续单值、有限、连续（）（）归一化条件：归一化条件：粒子在空间各点的粒子在空间各点的几率总和应为几率总和应为l l，即，即1),(*),()( dvtrtrtotal（3 3）状态叠加原理：状态叠加原理： 若体系具有一系列不同的可能状

43、态，若体系具有一系列不同的可能状态，1 1, , 2 2 ， 则它们的线性组合则它们的线性组合 = =c c1 1 1 1,+c,+c2 2 2 2+ + 也是该体系的一个可能也是该体系的一个可能的状态。其中的状态。其中c c1 1, c, c2 2 为任意复常数。为任意复常数。65对电子双缝衍射实验的说明对电子双缝衍射实验的说明: :只开缝只开缝1-1-强度分布为强度分布为i i1 1只开缝只开缝2-2-强度分布为强度分布为i i2 2电子枪电子枪1 12 2i i2 2i i1 1+ +分布分布双缝干涉双缝干涉 分布分布电子有粒子性电子有粒子性, ,一个电子只能从一个缝通过一个电子只能从一

44、个缝通过, ,电子有波动性电子有波动性, ,其状态服从叠加原理其状态服从叠加原理. .( (状态为状态为 1,1,分布为分布为 1 1 2 2 ) )( (状态为状态为 2,2,分布为分布为 2 2 2 2 ) )( (状态为状态为 1 1 + + 2, 2, 分布为分布为 1 1 + + 2 2 2 2 ) )同时开缝同时开缝1,2-1,2-分布不是分布不是i i1 1+ i+ i2,2,而是双缝干涉分布。而是双缝干涉分布。66 6.6 6.6 不确定关系不确定关系一一. .不确定关系不确定关系波动性使微观粒子没有确定的轨道，波动性使微观粒子没有确定的轨道，即坐标和动量不能同时取确定值，即坐

45、标和动量不能同时取确定值，存在一个存在一个不确定关系。不确定关系。 下面以电子的单缝衍射实验下面以电子的单缝衍射实验 为例来说明为例来说明不确定关系不确定关系：67电子沿电子沿z z方向通过狭缝后，假设全部散布在方向通过狭缝后，假设全部散布在中央亮纹的范围内中央亮纹的范围内以电子的单缝衍射实验为例来说明：以电子的单缝衍射实验为例来说明：衍射角衍射角 1 1、缝宽、缝宽a a和入射波波长和入射波波长 间满足间满足 a sina sin 1 1 = = p p 1 1x xa a电子电子 p px x68狭缝处的电子狭缝处的电子 x x 坐标不确定范围：坐标不确定范围： x xa a x x 方向

46、动量的不确定范围方向动量的不确定范围: :可由电子能到达可由电子能到达 屏上的位置来估算屏上的位置来估算 p px xp sin p sin 1 1xhxhxpapppx 1sin x x p px xh h对坐标对坐标 x x 测量得越精确（测量得越精确（ x x 越小），越小），动量不确定性动量不确定性 p px x 就越大就越大( (衍射越厉害衍射越厉害) )。得得69严格的理论给出严格的理论给出坐标与动量的不确定关系为坐标与动量的不确定关系为 x x p px x /2 /2 y y p py y /2 /2 z z p pz z /2 /2 时间与能量的不确定关系时间与能量的不确定关

47、系如果对电子测量能量的时间为如果对电子测量能量的时间为 t t，则测得的电子能量有不确定范围则测得的电子能量有不确定范围 e e。 t te e /2 /2( (作习题用作习题用) )70 能级宽度和能级寿命的不确定关系能级宽度和能级寿命的不确定关系设原子处于某能级状态的寿命为设原子处于某能级状态的寿命为 （显然，测量能量（显然，测量能量 只能在此时间范围内只能在此时间范围内 进行，不能超过进行，不能超过 ），）， e e /2 /2 t te e /2 /2若测量能量的时间为若测量能量的时间为 ，则测得的能级的则测得的能级的 能量必有宽度为能量必有宽度为 e e 的不确定程度，的不确定程度，

48、满足关系满足关系71二二 . .用不确定关系作数量级估算用不确定关系作数量级估算 （自学例题）（自学例题）补例：补例：威尔逊云室是一个充满威尔逊云室是一个充满“过饱和蒸气过饱和蒸气” 的容器。射入高速电子，可看到一条的容器。射入高速电子，可看到一条 白亮的带状的痕迹白亮的带状的痕迹粒子的轨道？粒子的轨道？ 测出径迹的线度测出径迹的线度1010-4-4cmcm， 所以电子位置的不确定程度所以电子位置的不确定程度 电子动量的不确定程度为电子动量的不确定程度为smkgxpx/10228 x10 x10-4-4cmcm72另另 测出云室中该电子的动能测出云室中该电子的动能 t t10108 8 eve

49、v，则电子动量为（用非相对论估算）则电子动量为（用非相对论估算）smkgmtp/108 . 1223 有有 p p p px x所以，所以， 坐标和动量的取值基本上可以认为是坐标和动量的取值基本上可以认为是确定的，对云室问题可以使用确定的，对云室问题可以使用“轨道轨道”的概念。的概念。 电视显象管中电子的运动可以使用轨道的电视显象管中电子的运动可以使用轨道的 概念概念, ,其表现跟经典粒子一样。其表现跟经典粒子一样。 氢原子中电子的运动必须抛弃轨道的概念氢原子中电子的运动必须抛弃轨道的概念, , 代之以说明电子在空间的概率分布的代之以说明电子在空间的概率分布的 电子云图象。电子云图象。73微观

50、粒子具有微观粒子具有波粒二象性波粒二象性 ( (补图补图)“)“少女与老妇少女与老妇” ( (不太恰当的比喻不太恰当的比喻) )6.7 6.7 薛定格方程薛定格方程一. 薛定格方程薛定格方程描述微观粒子有波粒二象性状态的波函数描述微观粒子有波粒二象性状态的波函数 一般是空间和时间的函数，即一般是空间和时间的函数，即 = = ( (x,y,z,t)x,y,z,t) 微观粒子在不同条件下微观粒子在不同条件下( (例如，处于不同的例如，处于不同的 外场中外场中) )的运动状态是不同的，的运动状态是不同的，如何找到如何找到 微观粒子在不同条件下的波函数？微观粒子在不同条件下的波函数？741932年年

51、诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖 获得者获得者为量子力学为量子力学创立的贡献创立的贡献海森伯（海森伯（ heisenberg 德国人德国人 1901-1976）在波函数在波函数 所满足的方程中，应反映出所满足的方程中，应反映出微观粒子所处的不同条件微观粒子所处的不同条件。7519261926年，奥地利物理学家薛定格年，奥地利物理学家薛定格 （schrodinger 1887-19611887-1961）得出的方程称为得出的方程称为薛定格方程。薛定格方程。量子力学量子力学找到微观粒子找到微观粒子在不同条件下的波函数在不同条件下的波函数的方法，归结为求各种的方法，归结为求各种条件下薛定格方程的解。条件

52、下薛定格方程的解。19331933年薛定格获年薛定格获 诺贝尔物理奖诺贝尔物理奖。76薛定格方程的非相对论形式为薛定格方程的非相对论形式为 ),(),(2),(22trtrumtrti 式中式中 m m粒子的质量粒子的质量 u u粒子在外力场中的势能函数（所处条件）粒子在外力场中的势能函数（所处条件） 2 2拉普拉斯算符拉普拉斯算符 2222222zyx （1 1）它是一个复数偏微分方程；）它是一个复数偏微分方程； 其解波函数其解波函数 是一个复函数。是一个复函数。（2 2）它并非推导所得，是量子力学中最基本的方程。）它并非推导所得，是量子力学中最基本的方程。77二二 . .定态薛定格方程定态

53、薛定格方程常常遇到微观粒子的势能函数常常遇到微观粒子的势能函数 u u 与时间与时间t t无关的稳定的势场问题，例如无关的稳定的势场问题，例如 自由运动粒子自由运动粒子u u = 0 = 0 氢原子中的电子氢原子中的电子reu2041 这时波函数这时波函数 可以用可以用分离变量法分离变量法分离为分离为一个空间坐标的函数和一个时间函数的一个空间坐标的函数和一个时间函数的乘积。乘积。78例如，对于例如，对于一维一维运动的情况，波函数可写成运动的情况，波函数可写成 )()(),(tfxtx 将其代入薛定格方程将其代入薛定格方程, ,得得fudxdmdtdfi 2222两边除以两边除以 ，得，得 ud

54、xdmdtdffi222211= = e e ( (常数常数) )可得含变量可得含变量 t t和变量和变量 x x 的的两个方程两个方程：79 一个是变量为一个是变量为t t的方程的方程 edtfdfi 其解为其解为 etiaef （a a 是待定复常数，是待定复常数， e e 有能量量纲有能量量纲, ,以后可知是粒子的总能量）以后可知是粒子的总能量） eudxdm 22220)(2222 uemdxd即即（）（）（）（） 一个是变量为一个是变量为x x的方程的方程8022)()(),(xextxti 即此时，概率密度也可以用即此时，概率密度也可以用 ( (x)x) 2 2来表示，来表示， (

55、x)(x)称为定态波函数，称为定态波函数， 对势能函数对势能函数 u u 与时间与时间t t 无关的一维定态问题，无关的一维定态问题， 只须解定态薛定格方程（）式，再利用只须解定态薛定格方程（）式，再利用（）式即可得波函数（）式即可得波函数 ( (x,t)x,t)。由上面可以看出由上面可以看出: :（）式是（）式是 (x)(x)满足的方程，满足的方程， 称为定态薛定格方程。称为定态薛定格方程。 81例例. .一维自由运动微观粒子的波函数。一维自由运动微观粒子的波函数。 其定态薛定格方程为其定态薛定格方程为02222 emdxd二阶常系数二阶常系数 常微分方程常微分方程结合最简单的问题，介绍量子

56、力学处理问题的结合最简单的问题，介绍量子力学处理问题的最基本方法，并得出一些重要的结论。最基本方法，并得出一些重要的结论。晶体晶体衍射屏衍射屏自由运动区自由运动区 u u = 0= 0电子枪电子枪k ka a8222pme 令令02222 pdxd得得它有两个特解它有两个特解: :xpie1 xpie2 02222 emdxd83)xkt( itixkiteixpi11eaeeaeea)t (f)x()t ,x( 沿沿 + x + x 方向的平面单色波方向的平面单色波)()()(),(xktitixkiteixpieaeeaeeatfxtx 22沿沿 - x - x 方向的平面单色波方向的平面

57、单色波所以，一维自由运动微观粒子的波函数所以，一维自由运动微观粒子的波函数有如下两个解有如下两个解: :846 68 8 势阱中的粒子势阱中的粒子一一. .一维无限深势阱中粒子的波函数与能量一维无限深势阱中粒子的波函数与能量金属中自由电子的运动金属中自由电子的运动, ,是被限制在是被限制在一个有限的范围一个有限的范围 称为称为束缚态。束缚态。作为粗略的近似，我们认为这些电子作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深势阱中运动，在一维无限深势阱中运动，即它的势能函数为即它的势能函数为 axxaxxu, 000)( 区区 区区 区区85这种势场表示粒子可以在势阱中运动，这种势场表示粒子可以在势阱

58、中运动，但不能越出势阱，因为但不能越出势阱，因为 x x 0 ,x 0 ,x a a 区域的势能为无穷大。区域的势能为无穷大。 （这是一个理想化的模型）（这是一个理想化的模型）作为对定态薛定格方程应用的例子，我们来作为对定态薛定格方程应用的例子，我们来具体求出微观粒子在此势阱中的波函数解。具体求出微观粒子在此势阱中的波函数解。按照一维定态薛定格方程按照一维定态薛定格方程0)(2222 uemdxd（）（）86由于在由于在 i i、 iii iii 两区的两区的 u u(x)(x) ，为保证波函数有限的物理条件，显然应为保证波函数有限的物理条件，显然应 = = 0;0; = = 0 00)(22

59、22 uemdxd由于由于 区的区的u u(x)= 0(x)= 0，因此该区薛定格方程为，因此该区薛定格方程为02222 emdxdemk222 令令则则0222 kdxd87 a a、b b是由物理（自然）条件来决定的是由物理（自然）条件来决定的 常数常数( (可将通解上式代入方程，以证明之可将通解上式代入方程，以证明之) ) 有限、单值有限、单值自然满足自然满足 连续连续？这一方程的通解为这一方程的通解为 kxbkxasincos 0222 kdxd 由于由于，）（处处必必须须连连续续，在在000)(1 xx 因此有因此有 0)0(11 a 88，）（处处必必须须连连续续，在在0)(11

60、aaxx 又由于又由于0sin)(11 kaba 因此有因此有 0 b因为因为 所以必有所以必有 sin sin k ka = 0, = 0, 即即k ka = n = n ank (n =1,2,3,(n =1,2,3,称为量子数称为量子数) ) 因此因此 区波函数的形式为区波函数的形式为xanbx sin)(11 89再由归一化条件再由归一化条件 12 dxx 121)(sin2202 abdxxanba ab2 所以所以 将脚标将脚标 去掉，代之去掉，代之以量子数以量子数 n n ，最后得，最后得 无限深势阱内无限深势阱内 粒子的粒子的定态波函数为定态波函数为xanaxn sin2)(