求数列通项公式的6种方法

1、求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一.利用递推关系式求数列通项的 7种方法：累加法、累乘法、待定系数法、倒数变换法、由和求通项定义法（根据各班情况适当讲）二。基本数列：等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的 方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三. 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列 或等比数列。四. 求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五. 数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法1适用于：am an f（n） 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。例1已知数列

2、an满足am an 2n 1, 1，求数列务的通项公式。解：由 an 1 an 2n 1 得 a. i a. 2n 1 则所以数列an的通项公式为an n2。例2已知数列an满足am an 2 3n 1,务3，求数列a.的通项公式解法一：由 an 1 an 2 3n 1 得 an 1 an 2 3n 1 则an(anan 1) (an 1an 2) L(a3a?)(a2 a1) a1n 1(2 31) (2n 231)L(23211) (2 31)2(3n 13n 2 L32 31)(n1)3323(13n1)(n13n33n 131) 3所以 an3nn 1.解法二：a1 3an2 3&qu

3、ot; 1两边除以3n1，得那an则am3n 1an23n3_13'2(n 1)3扌(1 3n1)1 32n313n则an练习an的首项为1,且an1an2n(n)写出数列的通项公式.2答案：n练习2.已知数列an满足a13ana刀，求此数列的通项公式an答案：裂项求和评注：已知a1an 1 an f (n)其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函 若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和； 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。二、累乘法1.适用于：a

4、ni f(n)an 这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2.若也ana3f(n)，则屯 f(1),af(2) ,Laa?L an 1 J ?anf(n)两边分别相乘得,也 a1f(k)a1 k 1例4.设an是首项为1的正项数列,1 a；2nan an 1an 0(n=1,2,3,),则它的通项公式是an解：已知等式可化为:(a n 1an) (n1)an 1naan(n+1)an 1anan1na. 0 ,即 an2时,ana n 1ana n 1an 1an 2a2a1a11 n 21,11 n 12= n般情况时用求评注：本题是关于an和an1的二次齐次式，可以通过因式分解(

5、根公式)得到an与an 1的更为明显的关系式，从而求出an.练习.已知(n 1)an 1nan,a1 1,求数列an的通项公式.n 1三、待定系数法适用于an 1 qan f (n)基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域 是自然数集的一个函数。1.形如 an 1 can d,(c 0,其中 ai a)型例6已知数列an中，ai 1,an 2% 1 1(n 2)，求数列的通项公式。解法一：Qan 2an 1 1(n 2),又Qa1 1 2, an 1是首项为2,公比为2的等比数列an 1 2n，即 an 2n 1解法二：Qan 2务1 1(n 2),两式相减得am

6、an 2(an am)(n 2)，故数列寺1 %是首项为2,公比为2的等比数 列，再用累加法的c11a 2 a a练习.已知数列an中，1' n1 2 n 2'求通项肌。答案：an（扩12.形如：an 1 p an q （其中q是常数，且n 0,1）n 若p=1时，即：an 1 an q，累加即可. 若P 1时，即：am P an qn ,、.n 1求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以p .目的是把所求数列构造成等差 数列an 1 an 1 z p即:产 J令bn 1 bn和黑，然后类型1,累加求通项.ii.两边同除以q.目的是把所求数列构造成等差数列。即:an 1 pan

7、n 1nq qqannq ,则可化为bn1 Ebn 1qq.然后转化为类型5来解,iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列n 1qp(annp）.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求q,否则待定系数法会失效。例7已知数列an满足an1 2an1，a1 1，求数列的通项公式。解法（待定系数法）：设an1i3nn 12（an 3 ），比较系数得14，2 2 ,则数列n 1an 4 3是首项为4 31 15，公比为2的等比数列,所以an4 3n 15 2n 1即 an 4 35 2n 1解法二（两边同除以1）：两边同时除以an 1解法三（两边同除以1）：两

8、边同时除以2n*3 .形如 an 1 pankn例8在数列an中,ai1 得:1 得:b（其中k,b是常数，且k1,an 1 3an 2n,求通项 anan 1°)2j4孑刁宁，下面解法略an 42n 3n，下面解法略（逐项相减法）解：，an 1 3an 2n,n 2 时 an 3an 12(n1)两式相减得an1 an3(anan 1 )2 令bna n 1 an 则bn3bn12利用类型5的方法知bn 5 32即1 % 5 31an - 3n 1 n 丄an - 3n 1 n 丄再由累加法可得 22.亦可联立解出22.*5.形如an 2 pan 1 qan时将a.作为f (n)求

9、解分析：原递推式可化为an 2 an 1 (p )(an 1 an)的形式，比较系数可求得，数列an1an为等比数列。例11已知数列an满足an 2解：设an 2an 1(5)(an 1an)比较系数得不妨取2，(取-3结果形式可能不同，但本质相同)则 an 2 2an 13(an 1 2an)则 an 1 2an是首项为4,公比为3的等比数列an 1 2an 4n 1n 13 ，所以 an 4 35 25am 6an，a11，a2 2，求数列an的通项公式。练习数列g中，若a1 8，a2 2,且满足an 2 4an 1 3an °,求an.答案：an 11 F四、倒数变换法适用于分

10、式关系的递推公式，分子只有一项例16已知数列啣满足齢a- 1 '求数列啣的通项公式解：求倒数得丄an 1丄an1an 111an2丄丄为等差数列,an 1 an首项丄1，公差为1，a1212(n1),五、由和求通项已知数列an的各项均为正数，且前公式。n项和Sn满足Sn 3n2 2n, a1 2求数列a.的通项例19已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn g (寺1)何2)，且a2,a4,a9 成等比数列，求数列an的通项公式。解：T对任意n N有Sn -(an 1)(an 2)6二当 n=1 时，Si a- -(a- 1)(a- 2),解得 a- 1 或 a- 261当 nA2 时，Sm -(am 1)(am 2)6-整理得：(an an1)(an an 1 3) 0T an各项均为正数，二an an 1 3当a1 1时，an 3n 2，此时a： a?a9