2013版高中全程复习方略配套：8.8直线与圆锥曲线(人教B版·数学理)ppt课件

1、第八节 直线与圆锥曲线三年三年7 7考考 高考指数高考指数: :1.1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法. .2.2.了解圆锥曲线的简单应用了解圆锥曲线的简单应用. .3.3.理解数形结合的思想理解数形结合的思想. .1.1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是高考的重点，常常与平面向量、三角函直线与椭圆、抛物线的位置关系是高考的重点，常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题；数、函数的性质、不等式等知识交汇命题；2.2.直线与圆锥曲线相交，求其弦长、中点、定点、定值、最值、面积、对称、直线与圆锥曲线相交，求其弦长、中点、

2、定点、定值、最值、面积、对称、存在性等问题是高考的热点；存在性等问题是高考的热点；3.3.以解答题的形式出现，多属于中、高档题目，重点考查学生分析问题、解以解答题的形式出现，多属于中、高档题目，重点考查学生分析问题、解决问题的能力决问题的能力. .1.1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x x( (或或y)y)的一元方程：的一元方程：axax2 2+bx+c=0(+bx+c=0(或或ayay2 2+by+c=0).+by+c=0).(1)(1)当当a0a0，可考虑一元

3、二次方程的判别式，可考虑一元二次方程的判别式，有，有0 0直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线_；=0=0直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线_；0 0直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线_._.相交相交相切相切相离相离(2)(2)当当a=0a=0，b0b0时，即得到一个一元一次方程，则直线时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥与圆锥曲线曲线E E相交，且只有一个交点，相交，且只有一个交点，若若E E为双曲线，则直线为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是与双曲线的渐近线的位置关系是_；若若E E为抛物线，则直线为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是与抛物线的对称轴的位置关系是_._.平行平行平行或

4、重合平行或重合【即时应用即时应用】(1)(1)思考：直线与圆锥曲线有一个公共点是直线与圆锥曲线相切的什么条件？思考：直线与圆锥曲线有一个公共点是直线与圆锥曲线相切的什么条件？提示：必要不充分条件提示：必要不充分条件. .因为当直线与圆锥曲线相切时，直线与圆锥曲线有因为当直线与圆锥曲线相切时，直线与圆锥曲线有一个公共点；当直线与圆锥曲线有一个公共点时，直线与圆锥曲线不一定相一个公共点；当直线与圆锥曲线有一个公共点时，直线与圆锥曲线不一定相切，如与抛物线对称轴平行切，如与抛物线对称轴平行( (或重合或重合) )的直线与抛物线只有一个公共点，此时的直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线相交；与

5、双曲线渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点，直线与抛物线相交；与双曲线渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相交此时直线与双曲线相交. .(2)(2)直线直线y=mx+1y=mx+1与椭圆与椭圆x x2 2+4y+4y2 2=1=1有且只有一个交点，则有且只有一个交点，则m m2 2=_.=_.【解析解析】直线直线y=mx+1y=mx+1与椭圆与椭圆x x2 2+4y+4y2 2=1=1联立，消去联立，消去y y得：得：(1+4m(1+4m2 2)x)x2 2+8mx+3=0.+8mx+3=0.又因为其又因为其=(8m)=(8m)2 2-12(1+4m-12(1+4m2 2

6、)=16m)=16m2 2-12=0-12=0，解得：解得：m m2 2= =答案：答案： 3.4342.2.圆锥曲线的弦长圆锥曲线的弦长设斜率为设斜率为k(k0)k(k0)的直线的直线l与圆锥曲线与圆锥曲线C C相交于相交于A A、B B两点，两点，A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则|AB|=_|AB|=_=_=_= =_.=_.2121k |xx |2212121k(xx )4x x21212211yy4y yk12211| yy |k【即时应用即时应用】(1)(1)抛物线抛物线y y2 2=4x=4x被直线被直线y=2x+ky=2x+k截

7、得的弦长为截得的弦长为 则则k k值为值为_._.(2)(2)过椭圆过椭圆 的左焦点且倾斜角为的左焦点且倾斜角为 的直线被椭圆所截的直线被椭圆所截得的弦长为得的弦长为_._.【解析解析】(1)(1)直线方程与抛物线方程联立，消去直线方程与抛物线方程联立，消去y y得：得：4x4x2 2-4(1-k)x+k-4(1-k)x+k2 2=0=0，所以，所以x x1 1+x+x2 2=1-k=1-k，x x1 1x x2 2= =依题意得：依题意得：即即9=(x9=(x1 1+x+x2 2) )2 2-4x-4x1 1x x2 2=(1-k)=(1-k)2 2-k-k2 2，解得：解得：k=-4.k=

8、-4.3 5，22xy1962k.42123 512 |xx |，(2)(2)设直线与椭圆设直线与椭圆 的交点分别为的交点分别为A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2).).由椭圆方程由椭圆方程 得：得：a=3a=3，b=1b=1，所以，所以c=c=因此，直线方程为：因此，直线方程为： 与椭圆与椭圆 联立，消联立，消去去y y得：得：则则x x1 1+x+x2 2= x= x1 1x x2 2= =所以所以答案：答案：(1)-4 (2)2(1)-4 (2)222xy192 2，3y(x2 2)3，22xy1924x12 2x150,3 2，154，211|AB

9、|1| xx |3212122 32 3(xx )4x x18 152.3322xy19 直线与圆锥曲线的位置关系的确定及应用直线与圆锥曲线的位置关系的确定及应用【方法点睛方法点睛】1.1.代数法研究直线与圆锥曲线位置关系代数法研究直线与圆锥曲线位置关系用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法. .直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的直线与圆锥

10、曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题个数问题. .2.2.直线与圆锥曲线相交的两个问题及求解方法直线与圆锥曲线相交的两个问题及求解方法(1)(1)与弦的中点有关的问题与弦的中点有关的问题, ,常利用常利用“点差法点差法”求解；求解；(2)(2)与抛物线焦点弦长有关的问题与抛物线焦点弦长有关的问题, ,要注意应用抛物线的定义要注意应用抛物线的定义. .【提醒提醒】在研究方程组是否有实数解或实数解的个数问题时，要注意用好分在研究方程组是否有实数解或实数解的个数问题时，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法类讨论和数形结合的思想方法. .【例例1 1】(1)(2012(1

11、)(2012济南模拟济南模拟) )过椭圆过椭圆 的右焦点作一的右焦点作一条斜率为条斜率为2 2的直线与椭圆交于的直线与椭圆交于A A，B B两点，两点，O O为坐标原点，则为坐标原点，则OABOAB的面积为的面积为_._.(2)(2)已知抛物线的方程为已知抛物线的方程为y y2 2=4x,=4x,直线直线l过定点过定点P(-2,1)P(-2,1)，斜率为，斜率为k k，k k为何值时，直线为何值时，直线l与抛物线与抛物线y y2 2=4x=4x只有一个公共点；有两个只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？公共点；没有公共点？【解题指南解题指南】(1)(1)由由 故只需求出故只需求出|y|yA

12、 A-y-yB B| |即可；即可；22xy154AOBAB1Sc | yy |2 ，(2)(2)直线与抛物线公共点的个数问题，即为直线方程与抛物线方直线与抛物线公共点的个数问题，即为直线方程与抛物线方程组成的方程组解的个数问题，可将两方程联立求解程组成的方程组解的个数问题，可将两方程联立求解. .【规范解答规范解答】(1)(1)设直线方程为设直线方程为y=2(x-1).y=2(x-1).设设A(xA(x1 1，y y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) )，则则y y1 1+y+y2 2= y= y1 1y y2 2= =222xy13y2y80.54y2 x1由，得2,38,3

13、|y|y1 1-y-y2 2|=|=答案：答案：43210,933OAB1105S1.233 53(2)(2)由题意，得直线由题意，得直线l的方程为的方程为y-1=k(x+2)y-1=k(x+2)，由由 得得kyky2 2-4y+4(2k+1)=0 (-4y+4(2k+1)=0 (* *) )( () )当当k=0k=0时，由方程时，由方程( (* *) )得得y=1,y=1,方程组有一个解方程组有一个解, ,此时，直线与此时，直线与抛物线只有一个公共点抛物线只有一个公共点. .( () )当当k0k0时，方程时，方程( (* *) )的判别式为的判别式为=-16(2k=-16(2k2 2+k

14、-1).+k-1).由由=0=0，即，即2k2k2 2+k-1=0+k-1=0，解得，解得k=-1k=-1或或k=k=当当k=-1k=-1或或k= k= 时，方程组有一个解，时，方程组有一个解，此时，直线与抛物线只有一个公共点此时，直线与抛物线只有一个公共点. .2y 1k(x2)y4x ，1,212由由0,0,得得2k2k2 2+k-1+k-10 0，解得解得-1-1k k当当-1-1k k 且且k0k0时，方程组有两个解，时，方程组有两个解，此时，直线与抛物线有两个公共点此时，直线与抛物线有两个公共点. .由由0 0，得，得2k2k2 2+k-1+k-10,0,解得解得k k-1-1或或k

15、 k当当k k-1-1或或k k 时，方程组无解时，方程组无解, ,此时直线与抛物线没有公共点此时直线与抛物线没有公共点. .1,2121,212综上，当综上，当k=-1k=-1或或k=0k=0或或k= k= 时，直线与抛物线只有一个公共点；时，直线与抛物线只有一个公共点；当当-1-1k k 且且k0k0时，直线与抛物线有两个公共点；时，直线与抛物线有两个公共点；当当k k-1-1或或k k 时，直线与抛物线没有公共点时，直线与抛物线没有公共点. .121212【互动探究互动探究】本例本例(2)(2)的条件不变，求的条件不变，求k k为何值时直线与抛物线为何值时直线与抛物线相交、相切、相离？相

16、交、相切、相离？【解析解析】直线与抛物线相交直线与抛物线相交, ,即直线与抛物线有两个公共点或即直线与抛物线有两个公共点或直线与抛物线的对称轴平行直线与抛物线的对称轴平行( (或重合或重合),),此时直线与抛物线有一个此时直线与抛物线有一个公共点公共点, ,即由直线方程与抛物线方程联立所得方程二次项系数不即由直线方程与抛物线方程联立所得方程二次项系数不为为0 0且且0 0或二次项系数为或二次项系数为0,0,由本例解法知由本例解法知-1-1k k 直线与抛物线相切直线与抛物线相切, ,即直线与抛物线有一个公共点即直线与抛物线有一个公共点, ,且直线与且直线与抛物线的对称轴不平行抛物线的对称轴不平

17、行( (或不重合或不重合),),即由直线方程与抛物线方程即由直线方程与抛物线方程联立所得方程二次项系数不为联立所得方程二次项系数不为0 0且且=0,=0,由本例解法知由本例解法知k=-1k=-1或或1.21k.2直线与抛物线相离直线与抛物线相离, ,即直线与抛物线没有公共点即直线与抛物线没有公共点, ,由本例解法由本例解法知知k k-1-1或或k k综上可知综上可知: :当当-1-1k k 时时, ,直线与抛物线相交直线与抛物线相交, ,当当k=-1k=-1或或k= k= 时时, ,直线与抛物线相切直线与抛物线相切, ,当当k k-1-1或或k k 时时, ,直线与抛物线相离直线与抛物线相离.

18、 .1.2121212【反思反思感悟感悟】1.1.直线与圆锥曲线公共点有零个、一个、两个和直线与圆锥曲线的相离、相切、直线与圆锥曲线公共点有零个、一个、两个和直线与圆锥曲线的相离、相切、相交不是等价关系相交不是等价关系. .2.2.在直线与圆锥曲线所组成的方程组消元后，要注意所得方程的二次项系数是在直线与圆锥曲线所组成的方程组消元后，要注意所得方程的二次项系数是否含有参数否含有参数. .若含参数，需按二次项系数是否为零进行讨论，只有二次项的系若含参数，需按二次项系数是否为零进行讨论，只有二次项的系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以利用判别式的符号来判断方数不为零时，方程才是一元二次方

19、程，后面才可以利用判别式的符号来判断方程解的个数，进而说明直线与圆锥曲线的位置关系程解的个数，进而说明直线与圆锥曲线的位置关系. .【变式备选变式备选】已知中心在原点，一个焦点为已知中心在原点，一个焦点为F(0, )F(0, )的椭圆截的椭圆截直线直线y=3x-2y=3x-2所得弦的中点的横坐标为所得弦的中点的横坐标为 求椭圆的方程求椭圆的方程. .【解析解析】因为椭圆中心在原点，一个焦点为因为椭圆中心在原点，一个焦点为F(0, )F(0, )，所以可，所以可设椭圆的标准方程为设椭圆的标准方程为 其中其中a ab b0 0，且有，且有a a2 2-b-b2 2=50=50，把直线方程代入椭圆方

20、程，消去把直线方程代入椭圆方程，消去y y得：得：(9b(9b2 2+a+a2 2)x)x2 2-12b-12b2 2x+4bx+4b2 2-a-a2 2b b2 2=0.=0.设弦的两个端点设弦的两个端点A(xA(x1 1,y,y1 1) )、B(xB(x2 2,y,y2 2) )，则由根与系数之间的关系有：则由根与系数之间的关系有：5012，2222yx1ab ，502122212bxx9ba，又又ABAB的中点的横坐标为的中点的横坐标为 所以所以解得解得a a2 2=3b=3b2 2，与，与a a2 2-b-b2 2=50=50联立得：联立得：a a2 2=75=75，b b2 2=25

21、=25，所以椭圆方程为所以椭圆方程为12，22212b19ba，22yx1.7525 圆锥曲线中的存在性问题圆锥曲线中的存在性问题【方法点睛方法点睛】1.1.解决存在性问题的方法及注意事项解决存在性问题的方法及注意事项(1)(1)方法：存在性问题方法：存在性问题, ,先假设存在先假设存在, ,推证满足条件的结论推证满足条件的结论, ,若结论正确则存在若结论正确则存在, ,若结论不正确则不存在若结论不正确则不存在. .(2)(2)注意：当条件和结论不唯一时要分类讨论注意：当条件和结论不唯一时要分类讨论. .2.2.存在性问题的解题步骤存在性问题的解题步骤(1)(1)先假设存在先假设存在, ,引入

22、参变量引入参变量, ,根据题目条件列出关于参数的方程或不等式根据题目条件列出关于参数的方程或不等式( (组组).).(2)(2)解此方程或不等式解此方程或不等式( (组组),),若有解即存在若有解即存在, ,若无解则不存在若无解则不存在. .【例例2 2】已知：向量已知：向量 O O为坐标原点，动点为坐标原点，动点M M满足：满足：(1)(1)求动点求动点M M的轨迹的轨迹C C的方程；的方程；(2)(2)已知直线已知直线l1 1、l2 2都过点都过点B(0,1)B(0,1)，且，且l1 1l2 2，l1 1、l2 2与轨迹与轨迹C C分别交于点分别交于点D D、E E，试，试探究是否存在这样

23、的直线使得探究是否存在这样的直线使得BDEBDE是等腰直角三角形是等腰直角三角形. .若存在，指出这样的直若存在，指出这样的直线共有几组线共有几组( (无需求出直线的方程无需求出直线的方程) )；若不存在，请说明理由；若不存在，请说明理由. .OA( 3,0)，|OMOA|OMOA| 4. 【解题指南解题指南】(1)(1)由椭圆的定义可知，点由椭圆的定义可知，点M M的轨迹为椭圆，只需的轨迹为椭圆，只需再确定再确定a a、c c即可即可.(2).(2)可先假设存在，由题意知两条直线的斜率可先假设存在，由题意知两条直线的斜率存在且不为零，可分别设为存在且不为零，可分别设为k k、 由等腰直角三角

24、形满足的条由等腰直角三角形满足的条件求出其值，或经计算得知其值不存在，从而得出结论件求出其值，或经计算得知其值不存在，从而得出结论. .【规范解答规范解答】(1)(1)方法一：设方法一：设A(-3,0)A(-3,0)，则，则 动点动点M M的轨迹为以的轨迹为以A A、AA为焦点，长轴为焦点，长轴长为长为4 4的椭圆的椭圆. .1k，|OMOA |OMOA | |OMOA |OMOA | |A M|AM| 4 2 3, 由由c= 2a=4c= 2a=4，得，得a=2, b= =1.a=2, b= =1.动点动点M M的轨迹的轨迹C C的方程为的方程为方法二方法二: :设点设点M(x,y),M(x

25、,y),则则点点M M的轨迹的轨迹C C是以是以( ,0)( ,0)，( ,0)( ,0)为焦点，长轴长为为焦点，长轴长为4 4的椭圆的椭圆. .a=2,c= ,a=2,c= ,动点动点M M的轨迹的轨迹C C的方程为的方程为3,22ac22xy1.4OMOA(x3 y),OMOA(x3,y), ，2222|OMOA|OMOA| 4(x3)y(x3)y4 2 3. ，33322bac1,22xy1.4(2)(2)轨迹轨迹C C是椭圆是椭圆 点点B(0,1)B(0,1)是它的上顶点，是它的上顶点，设满足条件的直线设满足条件的直线l1 1、l2 2存在，存在，由题意知两直线斜率存在且不为零，由题意

26、知两直线斜率存在且不为零，不妨设直线不妨设直线l1 1的方程为的方程为y=kx+1(ky=kx+1(k0) 0) 则直线则直线l2 2的方程为的方程为 将代入椭圆方程并整理得：将代入椭圆方程并整理得：(1+4k(1+4k2 2)x)x2 2+8kx=0+8kx=0，可得，可得则则 将代入椭圆方程并整理得：将代入椭圆方程并整理得：(4+k(4+k2 2)x)x2 2-8kx=0-8kx=0，可得可得 则则22xy14 ，1yx1k D28kx14k，2D28ky1.14kE28kx4k，E28y1.4k由由BDEBDE是等腰直角三角形得是等腰直角三角形得|BD|=|BE|BD|=|BE|k k3

27、 3+4k=1+4k+4k=1+4k2 2k k3 3-1=4k-1=4k2 2-4k-4k(k-1)(k(k-1)(k2 2+k+1)=4k(k-1) +k+1)=4k(k-1) 22222222224222222222222222222222228k8k8k8()()()()14k14k4k4k64k64k64k64(4k )(4k )14k14kk (1k )1kk1(14k )(4k )(14k )(4k )k114k4kk=1k=1或或k k2 2-3k+1=0 -3k+1=0 方程的判别式方程的判别式=5=50 0，即方程有两个不相等的实根，且不为，即方程有两个不相等的实根，且不为

28、1.1.方程有三个互不相等的实根方程有三个互不相等的实根. .即满足条件的直线即满足条件的直线l1 1、l2 2存在，共有存在，共有3 3组组【反思反思感悟感悟】1.1.本题第本题第(1)(1)问是利用定义法求轨迹方程，解决本题的关键是对问是利用定义法求轨迹方程，解决本题的关键是对 的转化与理解的转化与理解. .2.2.第第(2)(2)问探索存在性问题，此类问题一般是先假设存在，依据问探索存在性问题，此类问题一般是先假设存在，依据题设条件及假设结论进行逻辑推理、论证，若得出矛盾，则说题设条件及假设结论进行逻辑推理、论证，若得出矛盾，则说明不存在；否则就存在明不存在；否则就存在. .|OMOA|

29、OMOA| 4 【变式训练变式训练】(2012(2012宁德模拟宁德模拟) )在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，点中，点P P到两到两点点(0(0，- )- )，(0(0， ) )的距离之和等于的距离之和等于4 4，设点，设点P P的轨迹为的轨迹为C.C.(1)(1)求曲线求曲线C C的方程；的方程；(2)(2)过点过点(0(0， ) )作两条互相垂直的直线作两条互相垂直的直线l1 1、l2 2分别与曲线分别与曲线C C交于交于A A、B B和和E E、D D，以线段，以线段ABAB为直径的圆能否过坐标原点，若能，求直线为直径的圆能否过坐标原点，若能，求直线ABAB的斜率；若不能，说明理

30、由的斜率；若不能，说明理由. .【解析解析】(1)(1)设设P(x,y)P(x,y)，由椭圆定义可知，点，由椭圆定义可知，点P P的轨迹的轨迹C C是以是以(0(0，- )- )，(0(0， ) )为焦点，长半轴为为焦点，长半轴为2 2的椭圆的椭圆. .它的短半轴它的短半轴 故曲线故曲线C C的方程为的方程为3333322b2( 3)1,22yx1.4(2)(2)设直线设直线l1 1：y=kx+ (y=kx+ (经检验当经检验当l1 1, ,l2 2与坐标轴平行或重合时不与坐标轴平行或重合时不合题意，舍去合题意，舍去),),分别交曲线分别交曲线C C于于A(xA(x1 1,y,y1 1),B(

31、x),B(x2 2,y,y2 2),),其坐标满足其坐标满足 故故若以线段若以线段ABAB为直径的圆过坐标原点，则为直径的圆过坐标原点，则 即即x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0.=0.而而y y1 1y y2 2=k=k2 2x x1 1x x2 2+ k(x+ k(x1 1+x+x2 2)+3,)+3,于是于是x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 232222yx1,y(k4)x2 3kx10,4ykx3 消去 并整理得1212222 3k1xx,x x.k4k4 OAOB ，3222221k6k30,k4k4k4 化简得化简得-4k-4k2 2+11=0,+

32、11=0,所以所以即以线段即以线段ABAB为直径的圆能过坐标原点，所求直线为直径的圆能过坐标原点，所求直线ABAB的斜率为的斜率为11k.2 11.2【变式备选变式备选】已知椭圆已知椭圆 的右焦点为的右焦点为F F2 2(1,0)(1,0)，点点N(1, )N(1, )在椭圆上在椭圆上. .(1)(1)求椭圆方程；求椭圆方程；(2)(2)点点M(xM(x0 0,y,y0 0) )在圆在圆O O：x x2 2+y+y2 2=b=b2 2上，且在第一象限，过上，且在第一象限，过M M作圆作圆x x2 2+y+y2 2=b=b2 2的切线交椭圆于的切线交椭圆于P P、Q Q两点，问两点，问|F|F2

33、 2P|+|FP|+|F2 2Q|+|PQ|Q|+|PQ|是否为是否为定值？如果是，求出定值定值？如果是，求出定值; ;如果不是，说明理由如果不是，说明理由. .【解析解析】(1)(1)右焦点为右焦点为F F2 2(1,0)(1,0)，c=1.c=1.左焦点为左焦点为F F1 1(-1,0)(-1,0)，又，又点点N(1, )N(1, )在椭圆上在椭圆上, ,2222xy1(ab0)ab 32322a=|NF2a=|NF1 1|+|NF|+|NF2 2| |a=2,a=2,所以椭圆方程为所以椭圆方程为 (2)(2)设设P(xP(x1 1,y,y1 1),Q(x),Q(x2 2,y,y2 2),

34、),则则 (|x(|x1 1|2).|2).|PF|PF2 2| |2 2=(x=(x1 1-1)-1)2 2+ =(x+ =(x1 1-1)-1)2 2+3(1- )+3(1- )= (x= (x1 1-4)-4)2 2, ,|PF|PF2 2|= (4-x|= (4-x1 1)=2- x)=2- x1 1. .2222331 1( )1 1( )4,2222bac3,22xy1.432211xy14321y21x4141212连接连接OMOM，OPOP，由相切条件知：，由相切条件知：|PM|PM|2 2=|OP|=|OP|2 2-|OM|-|OM|2 2= = |PM|= x |PM|=

35、x1 1. .|PF|PF2 2|+|PM|=2- x|+|PM|=2- x1 1+ x+ x1 1=2.=2.同理可求同理可求|QF|QF2 2|+|QM|=2- x|+|QM|=2- x2 2+ x+ x2 2=2.=2.所以所以|F|F2 2P|+|FP|+|F2 2Q|+|PQ|=2+2=4Q|+|PQ|=2+2=4为定值为定值. .2211xy3222111x1x3(1)3x ,441212121212 圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题【方法点睛方法点睛】 圆锥曲线中常见最值问题及解题方法圆锥曲线中常见最值问题及解题方法(1)(1)圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：涉及距离

36、、面积圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题. .(2)(2)求最值常见的解法有两种：几何法求最值常见的解法有两种：几何法, ,若题目的条件和结论若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，代数法能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，代数法, ,若题目的若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数条件

37、和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值的最值. .【提醒提醒】求最值问题时，一定要注意特殊情况的讨论求最值问题时，一定要注意特殊情况的讨论, ,如直线斜率不存在的情况，如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等二次三项式最高次项的系数的讨论等. .【例例3 3】(2011(2011新课标全国卷新课标全国卷) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，已知中，已知点点A(0,-1)A(0,-1)，B B点在直线点在直线y=-3y=-3上，上，M M点满足点满足 M M点的轨迹为曲线点的轨迹为曲线C.C.(1)(1)求求C C的方程；的方程；

38、(2)P(2)P为为C C上的动点，上的动点，l为为C C在在P P点处的切线，求点处的切线，求O O点到点到l的距离的最小的距离的最小值值. .【解题指南解题指南】(1)(1)可设点可设点M M的坐标为的坐标为(x,y)(x,y)，依已知等式即可得出，依已知等式即可得出曲线曲线C C的方程的方程.(2).(2)可先设点可先设点P P的坐标，求出切线，然后利用点到的坐标，求出切线，然后利用点到直线的距离公式求出距离的解析式，求其最值即可直线的距离公式求出距离的解析式，求其最值即可. .MBOA，MA ABMB BA ，【规范解答规范解答】(1)(1)设设M(x,y),M(x,y),由已知得由已

39、知得B(x,-3),A(0,-1),B(x,-3),A(0,-1),所以所以 =(-x,-1-y), =(0,-3-y), =(x,-2).=(-x,-1-y), =(0,-3-y), =(x,-2).再由再由 可知：可知： 即即(-x,-4-2y)(-x,-4-2y)(x,-2)=0.(x,-2)=0.所以曲线所以曲线C C的方程为的方程为(2)(2)设设P(xP(x0 0,y,y0 0) )为曲线为曲线C C： 上一点，因为上一点，因为y= x,y= x,所以所以l的斜率为的斜率为 因此直线因此直线l的方程为的方程为y-yy-y0 0= x= x0 0(x-x(x-x0 0) )，即即x

40、x0 0 x-2y+2yx-2y+2y0 0- =0.- =0.则则O O点到点到l的距离的距离MA MBAB MA ABMB BA ，(MAMB) AB0, 21yx2.421yx241201x ,21220 x20020|2yx |d.x4又又所以所以当且仅当当且仅当x x0 0=0=0时取等号，所以时取等号，所以O O点到点到l的距离的最小值为的距离的最小值为2.2.2001yx2,4202022001x4142d( x4)2,2x4x4【反思反思感悟感悟】1.1.本题第本题第(1)(1)问是求轨迹方程，采用的是直接法求轨迹方程，问是求轨迹方程，采用的是直接法求轨迹方程，依据题设中的等式

41、求解即可；依据题设中的等式求解即可；2.2.第第(2)(2)问是求点到直线的距离的最值，解决此类问题一般是依据题设条件得问是求点到直线的距离的最值，解决此类问题一般是依据题设条件得出函数解析式，利用函数的单调性或求导数或利用均值不等式求得最值出函数解析式，利用函数的单调性或求导数或利用均值不等式求得最值. .【变式训练变式训练】已知椭圆已知椭圆C C： 经过点经过点M(1M(1， ) )，其，其离心率为离心率为 (1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程；的方程；(2)(2)设直线设直线l与椭圆与椭圆C C相交于相交于A A、B B两点，以线段两点，以线段OAOA，OBOB为邻边作平为邻边作平行四边

42、形行四边形OAPBOAPB，其中顶点，其中顶点P P在椭圆在椭圆C C上，上，O O为坐标原点，求为坐标原点，求O O到直到直线线l距离的最小值距离的最小值. .【解析解析】(1)(1)由已知由已知, , 所以所以3a3a2 2=4b=4b2 2, , 又点又点M(1, )M(1, )在椭圆在椭圆C C上上, ,所以所以 2222xy1(ab0)ab321.22222ab1e,a43222191,a4b由解得由解得a a2 2=4,b=4,b2 2=3.=3.故椭圆故椭圆C C的方程为的方程为(2)(2)当直线当直线l有斜率时有斜率时, ,设设y=kx+m,y=kx+m,则由则由 消去消去y

43、y整理得整理得,(3+4k,(3+4k2 2)x)x2 2+8kmx+4m+8kmx+4m2 2-12=0,-12=0,=64k=64k2 2m m2 2-4(3+4k-4(3+4k2 2)(4m)(4m2 2-12)=48(3+4k-12)=48(3+4k2 2-m-m2 2)0, )0, 设设A A、B B、P P点的坐标分别为点的坐标分别为(x(x1 1,y,y1 1) )、(x(x2 2,y,y2 2) )、(x(x0 0,y,y0 0),),则则: :x x0 0=x=x1 1+x+x2 2= y= y0 0=y=y1 1+y+y2 2=k(x=k(x1 1+x+x2 2)+2m=)

44、+2m=22xy1.4322ykxm.xy14328km,34k26m,34k由于点由于点P P在椭圆在椭圆C C上，所以上，所以从而从而 化简得化简得4m4m2 2=3+4k=3+4k2 2, ,经检验满足式经检验满足式. .又点又点O O到直线到直线l的距离为的距离为: :当且仅当当且仅当k=0k=0时等号成立时等号成立. .当直线当直线l无斜率时，由对称性知，点无斜率时，由对称性知，点P P一定在一定在x x轴上，从而轴上，从而P P点为点为(-2(-2，0)0)，(2(2，0)0)，直线，直线l为为x=x=1,1,所以点所以点O O到直线到直线l的距离为的距离为1 1，所以点所以点O

45、O到直线到直线l的距离最小值为的距离最小值为2200 xy143 ，222222216k m12m1(34k )(34k )，22223k|m|1134d114(1k )421k1k3.2【满分指导满分指导】直线与圆锥曲线综合问题的规范解答直线与圆锥曲线综合问题的规范解答【典例典例】(12(12分分)(2011)(2011湖南高考湖南高考) )已知平面内一动点已知平面内一动点P P到点到点F(1F(1，0)0)的距离与点的距离与点P P到到y y轴的距离的差等于轴的距离的差等于1 1(1)(1)求动点求动点P P的轨迹的轨迹C C的方程；的方程；(2)(2)过点过点F F作两条斜率存在且互相垂

46、直的直线作两条斜率存在且互相垂直的直线l1 1，l2 2, ,设设l1 1与轨迹与轨迹C C相交于点相交于点A,BA,B，l2 2与轨迹与轨迹C C相交于点相交于点D,ED,E，求，求 的最小值的最小值AD EB 【解题指南解题指南】(1)(1)依题设可知，利用直接法求轨迹方程；依题设可知，利用直接法求轨迹方程；(2)(2)先设先设直线直线l1 1的斜率为的斜率为k k，依题设条件可求出，依题设条件可求出 关于关于k k的解析式，利的解析式，利用均值不等式求最值用均值不等式求最值. .【规范解答规范解答】(1)(1)设动点设动点P P的坐标为的坐标为(x,y)(x,y)，由题意得，由题意得 2

47、 2分分化简得化简得y y2 2=2x+2|x|,=2x+2|x|,当当x0 x0时，时，y y2 2=4x;=4x;当当x x0 0时，时，y=0.y=0.所以动点所以动点P P的轨迹的轨迹C C的方程为的方程为y y2 2=4x(x0)=4x(x0)和和y=0(xy=0(x0). 0). 5 5分分AD EB 22(x1)y| x | 1.(2)(2)由题意知，直线由题意知，直线l1 1的斜率存在且不为的斜率存在且不为0 0，设为，设为k k，则，则l1 1的方程为的方程为y=k(x-1)y=k(x-1)由由 得得k k2 2x x2 2-(2k-(2k2 2+4)x+k+4)x+k2 2

48、=0. =0. 7 7分分设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 1,x,x2 2是上述方程的两个实根，于是是上述方程的两个实根，于是x x1 1+x+x2 2=2+ ,x=2+ ,x1 1x x2 2=1=1因为因为l1 1l2 2，所以，所以l2 2的斜率为的斜率为设设D(xD(x3 3,y,y3 3),E(x),E(x4 4,y,y4 4),),则同理可得则同理可得x x3 3+x+x4 4=2+4k=2+4k2 2,x,x3 3x x4 4=1. =1. 9 9分分2yk(x1)y4x，24k1k =(x=(x1 1+1)(x+

49、1)(x2 2+1)+(x+1)+(x3 3+1)(x+1)(x4 4+1)+1)=x=x1 1x x2 2+(x+(x1 1+x+x2 2)+1+x)+1+x3 3x x4 4+(x+(x3 3+x+x4 4)+1)+1 11 11分分故当且仅当故当且仅当 即即k=k=1 1时，时， 取最小值，即取最小值，即16. 16. 1212分分AD EBAFFD (EFFB)AF EFAF FBFD EFFD FBAF FBFD EF |AF| |FB|FD| |EF| 22222241(2)1 124k1k1184(k)84 2 k16kk 221kkAD EB 【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过高考中

50、的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：示和备考建议：失失分分警警示示解答本题时有以下两点容易造成失分解答本题时有以下两点容易造成失分: :(1)(1)在第在第(1)(1)问求轨迹方程时，点问求轨迹方程时，点P P到到y y轴的距离易写成轴的距离易写成x x，从而结果出错；，从而结果出错；(2) (2) 不会转化为不会转化为 从而思路受阻，解题不完整，从而思路受阻，解题不完整，造成失分造成失分. .AD EB (AFFD) (EFFB) ，备备考考建建议议解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意以下几点：解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意以下几点：(1)(1)注意点到两坐标轴的距离，两点所在直线与坐标轴平行时的距离；注意点到两坐标轴的距离，两点所在直线与坐标轴平行时的距离；(2)(2)涉及平面向量运算时，一定要注意平面几何性质的运用，如垂直、涉及平面向量运算时，一定要注意平面几何性质的运用，如垂直、中点等中点等. .1.(20111.(2011广东高考广东高考) )设圆设圆C C与圆与圆x x